2021年高考数学真题分类汇编：专题（08）导数及应用（纯Word版，含解析）

2021年高考数学真题分类汇编专题08：导数及应用

一、单选题

1.若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（   ）           

A. eb<a                                B. ea<b                                C. 0<a<eb                                D. 0<b<ea

二、填空题

2.曲线 在点（-1，-3）处的切线方程为________。   

3.函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为________   

4.已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是________．   

三、解答题

5.设函数 ，其中a>0．   

（1）讨论f(x)的单调性；   

（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．   

6.己知a＞0且a≠1，函数f（x）= （x＞0），   

（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；   

（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.   

7.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。   

（1）求a；   

（2）设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.   

8.已知函数 .   

（1）讨论 的单调性；   

（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.   

9.已知函数f(x)=x（1-lnx)   

（1）讨论f(x)的单调性   

（2）设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b证明:    

10.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．   

（1）已知 ，求 ；   

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；   

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．   

11.已知函数 ．   

（1）讨论 的单调性；   

（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点 

① ；

② ．

12.已知函数 ．   

（1）若 ，求 在 处切线方程；   

（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．   

13.设a  ， b为实数，且 ，函数   

(注： 是自然对数的底数)

（1）求函数 的单调区间；   

（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；   

（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .   

14.已知   ， 函数 ．   

（1）求曲线 在点 处的切线方程：   

（2）证明 存在唯一的极值点   

（3）若存在a  ， 使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 D  

解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为x=0，当x趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
二、填空题

2.【答案】 5x-y+2=0  

解：由题意得  ， 所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
3.【答案】 1  

解：①当时，f（x）=2x-1-2lnx，则  ，
当x>1时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f（x）min=f（1）=1；
②当时，f（x）=1-2x-2lnx，则  ，
此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=  ，
综上，f（x）min=1
故答案为：1
4.【答案】   

解：由题意得  ， 则  ，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1  ， KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以  ，
同理
所以
故答案为：（0,1）
三、解答题

5.【答案】 （1）函数的定义域为 ，

又 ，

因为 ，故 ，

当 时， ；当 时， ；

所以 的减区间为 ，增区间为 .

（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，

所以 的图象在 轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得 ，

故 即 .

6.【答案】 （1）当 时， ,

令 得 ,当 时， ,当 时， ,

∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；

（2） ,设函数 ,

则 ,令 ，得 ,

在 内 , 单调递增；

在 上 , 单调递减；

,

又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，

所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ,这即是 ,

所以 的取值范围是 .

7.【答案】 （1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1

当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0

故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，

则f′(t)=-1- -[(-1)lnt+ ]=-1+ +lnt- =lnt

所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。

8.【答案】 （1）由函数的解析式可得： ，

导函数的判别式 ，

当 时， 在R上单调递增，

当 时， 的解为： ，

当 时， 单调递增；

当 时， 单调递减；

当 时， 单调递增；

综上可得：当 时， 在R上单调递增，

当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.

（2）由题意可得： ， ，

则切线方程为： ，

切线过坐标原点，则： ,

整理可得： ，即： ，

解得： ，则 ，

即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 .

9.【答案】 （1）  

在 单调递增， 在 单调递减

（2）由 ，得   

即

令 ，

则 为 的两根，其中 ．

不妨令 ， ，则

先证 ，即证

即证

令

则

恒成立，

得证

同理，要证

即证

令

则 ，令

又 ， ，且

故 ， ，

恒成立

得证

10.【答案】 （1） .
（2）设 ， 

因为 ，故 ，

若 ，则 ，故 .

，

因为 ， ，

故 有两个不同零点 ，且 ，

且 时， ； 时， ；

故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，

若 ，因为 在 为增函数且 ，

而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，

故 为 的一个最小正实根，

若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，

综上，若 ，则 .

若 ，则 ，故 .

此时 ， ，

故 有两个不同零点 ，且 ，

且 时， ； 时， ；

故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，

而 ，故 ，

又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .

所以 为 的一个最小正实根，此时 ，

故当 时， .

（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.  

11.【答案】 （1）由函数的解析式可得： ， 

当 时，若 ，则 单调递减，

若 ，则 单调递增；

当 时，若 ，则 单调递增，

若 ，则 单调递减，

若 ，则 单调递增；

当 时， 在 上单调递增；

当 时，若 ，则 单调递增，

若 ，则 单调递减，

若 ，则 单调递增；

（2）若选择条件①：

由于 ，故 ，则 ，

而 ，

而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.

，

由于 ， ，故 ，

结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于 ，故 ，则 ，

当 时， ， ，

而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.

当 时，构造函数 ，则 ，

当 时， 单调递减，

当 时， 单调递增，

注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：

  ，

当 时， ，

取 ，则 ，

即： ，

而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.

，

由于 ， ，故 ，

结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

12.【答案】 （1）当 时， ，则 ， ， ， 

此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；

（2）因为 ，则 ， 

由题意可得 ，解得 ，

故 ， ，列表如下：

所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .

当 时， ；当 时， .

所以， ， .

13.【答案】 （1）解： ， 

①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；

②若 ，

当 时， 单调递减，

当 时， 单调递增.

综上可得， 时， 在 上单调递增；

时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为

（2）解： 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解， 

令 ，则 ，

记 ，

记 ，

又 ，所以 时， 时， ，

则 在 单调递减， 单调递增， ，

.

即实数 的取值范围是

（3）解： 有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数. 

由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，

，

注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，

故 ，又由 知 ，

，

要证 ，只需 ，

且关于 的函数 在 上单调递增，

所以只需证 ，

只需证 ，

只需证 ，

，只需证 在 时为正，

由于 ，故函数 单调递增，

又 ，故 在 时为正，

从而题中的不等式得证.

14.【答案】 （1） ，则 ， 

又 ，则切线方程为 ；

（2）令 ，则 ， 

令 ，则 ，

当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，

当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：

所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，

当 时， ，则 ， 单调递增，

当 时， ，则 ， 单调递减，

  为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；

（3）由（II）知 ，此时 ， 

所以 ，

令 ，

若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，

， ，

当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，

所以 ，故 ，

所以实数b的取值范围 .