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2021届北京市海淀区高考二模数学试卷（解析版）
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这是一份2021届北京市海淀区高考二模数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题.，解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2021年北京市海淀区高考数学二模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
2．设a∈R．若（2+i）（a﹣i）＝﹣1﹣3i，则a＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
3．已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
4．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，则（ ）
A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，+∞） C．y0∈（2，+∞） D．y0∈（﹣∞，2）
5．向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则＝（ ）
A．1.5 B．2 C．﹣4.5 D．﹣3
6．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
7．已知指数函数f（x）＝ax，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1（如图1），点P在侧面CDD1C1内（包括边界）．若三棱锥B1﹣ABP的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数α，β，“α+β＝2kπ，k∈Z”是“sin（α+β）＝sinα+sinβ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知数列{an}满足a1＝2，an+1﹣2an＝0（n＝1，2，⋯），则{an}的前6项和为 ．
12．已知（1+2x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n＝ ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
13．在△ABC中，a＝3，b＝7，∠B＝，则△ABC的面积为 ．
14．已知双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．若四边形F1ABO为菱形，则双曲线M的离心率为 ．
15．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列的后一项由前一项的外观产生．以i（i∈N，0≤i≤9）为首项的“外观数列”记作Ai，其中A1为1，11，21，1211，111221，⋯，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它Ai，例如A3为3，13，1113，3113，132113，⋯．给出下列四个结论：
①若Ai的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中2≤i＜j≤9，则∀n∈N*，an﹣bn＝i﹣j；
②A1中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；
③A1的每一项中均不含数字4；
④对于k≥2，i≠1，Ai的第k项的首位数字与A1的第k+2项的首位数字相同．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥AC，BC⊥PC，AC＝BC＝6，PA＝PC＝5，D，E分别是AC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）直接写出ω的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值．
条件①：直线x＝为函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；
条件②：（，0）为函数y＝f（x）的图象的一个对称中心．
18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
（Ⅱ）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；
（Ⅲ）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1＞μ2，说明理由．
19．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，E是椭圆C上一点，且|F1F2|＝2，|EF1|+|EF2|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M，N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），∠MF1N＝∠MEN＝90°，直线EM交x轴于点P，求的值．
20．已知函数f（x）＝x﹣alnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程x﹣alnx＝0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x0，求证：（a﹣1）x0＞a．
21．已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．
（Ⅰ）若X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，求集合X﹣Y和Y﹣X，以及|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|的值；
（Ⅱ）给定正整数n，集合S＝{1，2，⋯，n}．对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．
①求证：|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1；
②求|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|的最小值．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），
所以cosθ＝＝﹣．
故选：C．
2．设a∈R．若（2+i）（a﹣i）＝﹣1﹣3i，则a＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
解：由（2+i）（a﹣i）＝﹣1﹣3i，
得2a﹣2i+ai﹣i2＝（2a+1）+（a﹣2）i＝﹣1﹣3i，
∴，解得a＝﹣1．
故选：A．
3．已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解：∵0＜a＝0.31.5＜0.30＝1，
b＝log1.50.3＜log1.51＝0，
c＝1.50.3＞1.50＝1，
∴b＜a＜c．
故选：B．
4．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，则（ ）
A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，+∞） C．y0∈（2，+∞） D．y0∈（﹣∞，2）
解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
准线l为x＝﹣1，
P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，
则由抛物线的定义，可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），
即有x0+1＞2，
解得，x0＞1，
故选：B．
5．向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则＝（ ）
A．1.5 B．2 C．﹣4.5 D．﹣3
解：建立坐标系如图，＝（﹣1，1），＝（﹣2，﹣1），
＝（﹣1﹣2，1﹣1）•（1，0）＝﹣3．
故选：D．
6．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
解：根据题意，x2+y2+4x﹣6y+12＝0，即（x+2）2+（y﹣3）2＝1，
则有﹣1≤x+2≤1，解可得﹣3≤x≤﹣1，
即x的最大值是﹣1，
故选：C．
7．已知指数函数f（x）＝ax，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
解：将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝3ax，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3ax﹣2＝•ax，
所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，
则＝1，即a2＝3，a＝，
故选：D．
8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1（如图1），点P在侧面CDD1C1内（包括边界）．若三棱锥B1﹣ABP的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可知P在侧棱DD1上，如果P与D重合，左视图为A；
如果P与D1重合，左视图为：B；
如果P在DD1的中点时，左视图为C；
所以左视图不可能为D；
故选：D．
9．已知实数α，β，“α+β＝2kπ，k∈Z”是“sin（α+β）＝sinα+sinβ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由“α+β＝2kπ（k∈Z）”⇒sin（α+β）＝0，sinα+sinβ＝sinα+sin（2kπ﹣α）＝sinα﹣sinα＝0．∴sin（α+β）＝sinα+sinβ．
反之不成立：若sin（α+β）＝sinα+sinβ，则2sincos＝2sincos，可得：sin（cos﹣cos）＝0，可得：＝kπ，或＝2kπ±．
化为：α+β＝2kπ，或β＝2kπ，或α＝2kπ，（k∈Z）．
∴“α+β＝2kπ（k∈Z）”是“sin（α+β）＝sinα+sinβ”的充分不必要条件．
故选：A．
10．已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
解：函数y＝|x+a|的图象形状大致如下，
①当a＞0时，要使f（x）＝k有两个不相等的实数根，即f（x）的图象与直线y＝k有两个交点，如图，
当y＝x2﹣ax+2的对称轴在x＝a的左边，且两段在a处相交时，可满足题意，此时，解得a＝1；
②当a＜0时，如图，
要满足条件，需在x＝a处相接，且y＝x2﹣ax+2在处的函数值为0，则，无解；
③当a＝0时，，显然不合题意；
综上，满足条件的a有1个．
故选：B．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知数列{an}满足a1＝2，an+1﹣2an＝0（n＝1，2，⋯），则{an}的前6项和为 126 ．
解：数列{an}中，a1＝2，an+1﹣2an＝0，所以＝2，
所以数列{an}是公比为2的等比数列，
其前6项和为S6＝＝＝27﹣2＝126．
故答案为：126．
12．已知（1+2x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n＝ 4 ；各项系数之和为 81 ．（用数字作答）
解：（1+2x）n的展开式中二项式系数之和为2n，
∴2n＝16，解得n＝4，
∴（1+2x）n＝（1+2x）4，令x＝1可得各项系数之和为：34＝81，
故答案为4，81．
13．在△ABC中，a＝3，b＝7，∠B＝，则△ABC的面积为 ．
解：∵b2＝a2+c2﹣2accosB，
∴49＝9+c2﹣6c•（﹣），解得：c＝5或c＝﹣8（舍），
∴S△ABC＝acsinB＝×3×5×＝，
故答案为：．
14．已知双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．若四边形F1ABO为菱形，则双曲线M的离心率为 ．
解：双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．
四边形F1ABO为菱形，可得A（﹣，c），B（，），
所以，
即e4﹣8e2+4＝0，e＞1，
可得e2＝4+2，
所以e＝．
故答案为：．
15．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列的后一项由前一项的外观产生．以i（i∈N，0≤i≤9）为首项的“外观数列”记作Ai，其中A1为1，11，21，1211，111221，⋯，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它Ai，例如A3为3，13，1113，3113，132113，⋯．给出下列四个结论：
①若Ai的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中2≤i＜j≤9，则∀n∈N*，an﹣bn＝i﹣j；
②A1中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；
③A1的每一项中均不含数字4；
④对于k≥2，i≠1，Ai的第k项的首位数字与A1的第k+2项的首位数字相同．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
解：对于①，a1＝i，a2＝1i，a3＝111i，a4＝311i，•••，an＝•••i，
b1＝j，b2＝1j，b3＝111j，b4＝311j，•••，bn＝•••j，
由递推右，随着n的增大，an和bn每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同，
∴an﹣bn＝i﹣j，故①正确；
对于②，若A1中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为3，即an＝•••333••，
由题中定义可知，an﹣1必有连续三个位置上的数字均为3，即an﹣1＝•••333•••，•••，
以此类推可知，a1中必有三个位置上的数字均为3，这与a1＝1矛盾，故②错误；
对于③，由②知，A1中的每一项不会出现某连续三个数位上都是3，
故A1中每一项只会出现1，2，3，故③正确；
对于④，对于k≥2，i≠1，有a1＝i，a2＝1i，a3＝111i，a4＝311i，a5＝13211i，a6＝111312211i，•••，
由上可知，记数列{an}的首位数字构成数列{cn}，
则数列{cn}为：i，1，1，3，1，1，3，•••，且当k≥2时，ck+3＝ck；
记A1的第k项为bk，则b1＝1，b2＝11，b3＝21，b4＝1211，b5＝111221，b6＝312211，b7＝13112221，b8＝1113213211，•••
记数列{bn}的首位数字构成数列{dn}．
则{dn}为：1，1，2，1，1，3，1，1，3，•••，且当k≥4时，dk+3＝dk，
由上可知，c2＝d4，c3＝d5，c4＝d6，•••，
∴当k≥2时，ck＝dk+2，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥AC，BC⊥PC，AC＝BC＝6，PA＝PC＝5，D，E分别是AC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．
解：（Ⅰ）因为BC⊥AC，BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）连接PD，因为PA＝PC，D是AC的中点，所以AD＝DC，PD⊥AC；
过C作CH∥PD，则CH⊥AC，
因为BC⊥平面PAC，CH⊂平面PAC，所以BC⊥CH；
又因为BC⊥AC，
以C为坐标原点，分别以CB、CA、CH为x、y、x轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为AC＝6，PC＝5，所以PD＝4，
因为BC＝6，所以C（0，0，0），B（6，0，0），A（0，6，0），D（0，3，0），P（0，3，4），
因为E是PC的中点，所以E（0，，2），
所以＝（0，﹣，2），＝（6，﹣3，0）．
设平面DEB的法向量为＝（x，y，z），则，
即，令x＝﹣2，则y＝﹣4，z＝﹣3，所以＝（﹣2，﹣4，﹣3）．
由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，取平面ADE的一个法向量为＝（1，0，0），
计算cos＜，＞＝＝＝﹣；
所以二面角A﹣DE﹣B的余弦值是﹣．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）直接写出ω的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值．
条件①：直线x＝为函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；
条件②：（，0）为函数y＝f（x）的图象的一个对称中心．
解：（Ⅰ）由图象可得＝，所以T＝π，
所以ω＝＝2．
（Ⅱ）条件①：直线x＝为函数y＝f（x）的图象的一条对称轴，
所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝﹣+kπ，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f（x）＝Asin（2x+），由图象过点（0，），
所以Asin＝，解得A＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+），
当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]，
sin（2x+）∈[，1]，所以f（x）∈[1，2]，
所以f（x）在区间[﹣，]上的最小值为1．
条件②：（，0）为函数y＝f（x）的图象的一个对称中心，
所以2×+φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ﹣，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f（x）＝Asin（2x+），由图象过点（0，），
所以Asin＝，解得A＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+），
当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]，
sin（2x+）∈[，1]，所以f（x）∈[1，2]，
所以f（x）在区间[﹣，]上的最小值为1．
18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
（Ⅱ）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；
（Ⅲ）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1＞μ2，说明理由．
解：（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名，
∴随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为，
∴从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，
该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为．
（Ⅱ）记Ai（i＝1，2）表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，
Bj（j＝1，2）表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，
C表示“这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”，
同（Ⅰ），从该地区参加该活动的女生中随机选1人，该生生竞赛成绩在90分以上的概率估计为＝，
则这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率为：
P（C）＝P（++++）
＝++++
＝+++（1﹣）×+
＝．
（Ⅲ）不能认为μ1＞μ2，理由如下：
上述10名男生，10名女生的竞赛成绩的数据是随机的，
∴μ1，μ2是随机的，
∴无法确定是否有μ1＞μ2．
19．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，E是椭圆C上一点，且|F1F2|＝2，|EF1|+|EF2|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M，N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），∠MF1N＝∠MEN＝90°，直线EM交x轴于点P，求的值．
解：（Ⅰ）由|F1F2|＝2，即2c＝2，c＝1，
由|EF1|+|EF2|＝4，可得2a＝4，即a＝2，b＝＝，
所以椭圆的方程为+＝1；
（Ⅱ）设M（0，m），N（0，n），E（x0，y0），则+＝1，
由F1（﹣1，0），F2（1，0），因为∠MF1N＝90°，所以•＝（1，m）•（1，n）＝1+mn＝0，即mn＝﹣1，
又因为∠MEN＝90°，所以•＝（x0，y0﹣m）•（x0，y0﹣n）＝x02+y02﹣（m+n）y0+mn＝0，
因为mn＝﹣1，所以n＝﹣，且m≠0，所以x02+y02﹣（m﹣）y0﹣1＝0，
因为+＝1，所以x02＝4﹣y02，
所以4﹣y02+y02﹣（m﹣）y0﹣1＝0，
即y02+3（m﹣）y0﹣9＝0，即（y0+3m）（y0﹣）＝0，
因为M，E位于x轴的两侧，y0与m异号，所以y0＝﹣3m，
即＝＝3．
20．已知函数f（x）＝x﹣alnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程x﹣alnx＝0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x0，求证：（a﹣1）x0＞a．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x﹣alnx，可得f′（x）＝1﹣，
则f′（1）＝1﹣a，又f（1）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣1），
即y＝（1﹣a）x+a．
（Ⅱ）解：f（x）＝x﹣alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当a＞0时，f（x）＝x﹣alnx＝0才有两个不相等的实根，且x0＞0，
则要证（a﹣1）x0＞a，即证＞，即证1﹣＞，
而x0﹣alnx0＝0，则a＝（x0≠1，否则方程不成立），
所以即证1﹣＞，化简得x0﹣lnx0﹣1＞0，
令g（x0）＝x0﹣lnx0﹣1，则g′（x0）＝1﹣＝，
当0＜x0＜1时，g′（x0）＜0，g（x0）单调递减，
当x0＞1时，g′（x0）＞0，g（x0）单调递增，
所以g（x0）≥g（1）＝0，而x0≠1，
所以g（x0）＞0，
所以（a﹣1）x0＞a，得证．
21．已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．
（Ⅰ）若X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，求集合X﹣Y和Y﹣X，以及|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|的值；
（Ⅱ）给定正整数n，集合S＝{1，2，⋯，n}．对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．
①求证：|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1；
②求|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|的最小值．
解：（Ⅰ）X﹣Y＝{1，2}，Y﹣X＝{5}，|（X﹣Y）∪（Y﹣X）}＝3；
（Ⅱ）①证明：显然|X|≥0，
若A∪B中含有一个不在S中的元素，则|A﹣S|+|B﹣S|≥1，即|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1，；
若A⊆S，且B⊆S，则|A﹣S|＝|B﹣S|＝0，此时A中最小的元素a≥1，B中最小的元素b≥1，
∴C中最小的元素a+b≥2，
∴1∉C，
∵S＝{1，2，……，n}，
∴|S﹣C|≥1，即|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1，
综上，|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1；
②由①知，|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1，
∴|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|＝|A﹣S|+|S﹣A|+|B﹣S|+|S﹣B|+|C﹣S|+|S﹣C|
≥|S﹣A|+|S﹣B|+|C﹣S|+1，
若A∩S＝∅，或B∩S＝∅，则|S﹣A|+|S﹣B|≥n，
若A∩S≠∅，且B∩S≠∅，设A∩S＝{a1，a2，……，as}，B∩S＝{b1，b2，……，bl}，
且1≤a1＜a2＜……＜as≤n，1≤b1＜b2＜……＜bl≤n，
则|S﹣A|＝n﹣s，|S﹣B|＝n﹣l，
若s+l≤n，则|S﹣A|+|S﹣B|＝2n﹣s﹣l≥n，
若s+l＞n，因为2≤a1+b1＜a2+b2＜……＜as+bl，
∴a1+b1，a1+b2，……，a1+bl，a2+bl，a3+bl，……，as+al这s+l﹣1个数一定在集合C中，且均不等于1，
∴|C﹣S|≥s+l﹣1﹣（n﹣1）＝s+l﹣n，
∴|S﹣A|+|S﹣B|+|C﹣S|≥2n﹣s﹣l+（s+l﹣n）＝n，
∴|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|≥|S﹣A|+|S﹣B|+|C﹣S|+1≥n+1；
当A＝B＝S，C＝{2，3，……，2n}时，
|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|＝n+1，
∴|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|的最小值是n+1．
2021年北京市海淀区高考数学二模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
2．设a∈R．若（2+i）（a﹣i）＝﹣1﹣3i，则a＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
3．已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
4．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，则（ ）
A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，+∞） C．y0∈（2，+∞） D．y0∈（﹣∞，2）
5．向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则＝（ ）
A．1.5 B．2 C．﹣4.5 D．﹣3
6．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
7．已知指数函数f（x）＝ax，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1（如图1），点P在侧面CDD1C1内（包括边界）．若三棱锥B1﹣ABP的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数α，β，“α+β＝2kπ，k∈Z”是“sin（α+β）＝sinα+sinβ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知数列{an}满足a1＝2，an+1﹣2an＝0（n＝1，2，⋯），则{an}的前6项和为 ．
12．已知（1+2x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n＝ ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
13．在△ABC中，a＝3，b＝7，∠B＝，则△ABC的面积为 ．
14．已知双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．若四边形F1ABO为菱形，则双曲线M的离心率为 ．
15．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列的后一项由前一项的外观产生．以i（i∈N，0≤i≤9）为首项的“外观数列”记作Ai，其中A1为1，11，21，1211，111221，⋯，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它Ai，例如A3为3，13，1113，3113，132113，⋯．给出下列四个结论：
①若Ai的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中2≤i＜j≤9，则∀n∈N*，an﹣bn＝i﹣j；
②A1中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；
③A1的每一项中均不含数字4；
④对于k≥2，i≠1，Ai的第k项的首位数字与A1的第k+2项的首位数字相同．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥AC，BC⊥PC，AC＝BC＝6，PA＝PC＝5，D，E分别是AC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）直接写出ω的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值．
条件①：直线x＝为函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；
条件②：（，0）为函数y＝f（x）的图象的一个对称中心．
18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
（Ⅱ）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；
（Ⅲ）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1＞μ2，说明理由．
19．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，E是椭圆C上一点，且|F1F2|＝2，|EF1|+|EF2|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M，N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），∠MF1N＝∠MEN＝90°，直线EM交x轴于点P，求的值．
20．已知函数f（x）＝x﹣alnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程x﹣alnx＝0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x0，求证：（a﹣1）x0＞a．
21．已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．
（Ⅰ）若X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，求集合X﹣Y和Y﹣X，以及|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|的值；
（Ⅱ）给定正整数n，集合S＝{1，2，⋯，n}．对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．
①求证：|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1；
②求|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|的最小值．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），
所以cosθ＝＝﹣．
故选：C．
2．设a∈R．若（2+i）（a﹣i）＝﹣1﹣3i，则a＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
解：由（2+i）（a﹣i）＝﹣1﹣3i，
得2a﹣2i+ai﹣i2＝（2a+1）+（a﹣2）i＝﹣1﹣3i，
∴，解得a＝﹣1．
故选：A．
3．已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解：∵0＜a＝0.31.5＜0.30＝1，
b＝log1.50.3＜log1.51＝0，
c＝1.50.3＞1.50＝1，
∴b＜a＜c．
故选：B．
4．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，则（ ）
A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，+∞） C．y0∈（2，+∞） D．y0∈（﹣∞，2）
解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
准线l为x＝﹣1，
P（x0，y0）是该抛物线上的一点．若|PF|＞2，
则由抛物线的定义，可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），
即有x0+1＞2，
解得，x0＞1，
故选：B．
5．向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则＝（ ）
A．1.5 B．2 C．﹣4.5 D．﹣3
解：建立坐标系如图，＝（﹣1，1），＝（﹣2，﹣1），
＝（﹣1﹣2，1﹣1）•（1，0）＝﹣3．
故选：D．
6．已知实数x，y满足x2+y2+4x﹣6y+12＝0，则x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3
解：根据题意，x2+y2+4x﹣6y+12＝0，即（x+2）2+（y﹣3）2＝1，
则有﹣1≤x+2≤1，解可得﹣3≤x≤﹣1，
即x的最大值是﹣1，
故选：C．
7．已知指数函数f（x）＝ax，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
解：将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝3ax，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3ax﹣2＝•ax，
所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，
则＝1，即a2＝3，a＝，
故选：D．
8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1（如图1），点P在侧面CDD1C1内（包括边界）．若三棱锥B1﹣ABP的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可知P在侧棱DD1上，如果P与D重合，左视图为A；
如果P与D1重合，左视图为：B；
如果P在DD1的中点时，左视图为C；
所以左视图不可能为D；
故选：D．
9．已知实数α，β，“α+β＝2kπ，k∈Z”是“sin（α+β）＝sinα+sinβ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由“α+β＝2kπ（k∈Z）”⇒sin（α+β）＝0，sinα+sinβ＝sinα+sin（2kπ﹣α）＝sinα﹣sinα＝0．∴sin（α+β）＝sinα+sinβ．
反之不成立：若sin（α+β）＝sinα+sinβ，则2sincos＝2sincos，可得：sin（cos﹣cos）＝0，可得：＝kπ，或＝2kπ±．
化为：α+β＝2kπ，或β＝2kπ，或α＝2kπ，（k∈Z）．
∴“α+β＝2kπ（k∈Z）”是“sin（α+β）＝sinα+sinβ”的充分不必要条件．
故选：A．
10．已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
解：函数y＝|x+a|的图象形状大致如下，
①当a＞0时，要使f（x）＝k有两个不相等的实数根，即f（x）的图象与直线y＝k有两个交点，如图，
当y＝x2﹣ax+2的对称轴在x＝a的左边，且两段在a处相交时，可满足题意，此时，解得a＝1；
②当a＜0时，如图，
要满足条件，需在x＝a处相接，且y＝x2﹣ax+2在处的函数值为0，则，无解；
③当a＝0时，，显然不合题意；
综上，满足条件的a有1个．
故选：B．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知数列{an}满足a1＝2，an+1﹣2an＝0（n＝1，2，⋯），则{an}的前6项和为 126 ．
解：数列{an}中，a1＝2，an+1﹣2an＝0，所以＝2，
所以数列{an}是公比为2的等比数列，
其前6项和为S6＝＝＝27﹣2＝126．
故答案为：126．
12．已知（1+2x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n＝ 4 ；各项系数之和为 81 ．（用数字作答）
解：（1+2x）n的展开式中二项式系数之和为2n，
∴2n＝16，解得n＝4，
∴（1+2x）n＝（1+2x）4，令x＝1可得各项系数之和为：34＝81，
故答案为4，81．
13．在△ABC中，a＝3，b＝7，∠B＝，则△ABC的面积为 ．
解：∵b2＝a2+c2﹣2accosB，
∴49＝9+c2﹣6c•（﹣），解得：c＝5或c＝﹣8（舍），
∴S△ABC＝acsinB＝×3×5×＝，
故答案为：．
14．已知双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．若四边形F1ABO为菱形，则双曲线M的离心率为 ．
解：双曲线M：＝1的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点．
四边形F1ABO为菱形，可得A（﹣，c），B（，），
所以，
即e4﹣8e2+4＝0，e＞1，
可得e2＝4+2，
所以e＝．
故答案为：．
15．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列的后一项由前一项的外观产生．以i（i∈N，0≤i≤9）为首项的“外观数列”记作Ai，其中A1为1，11，21，1211，111221，⋯，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它Ai，例如A3为3，13，1113，3113，132113，⋯．给出下列四个结论：
①若Ai的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中2≤i＜j≤9，则∀n∈N*，an﹣bn＝i﹣j；
②A1中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；
③A1的每一项中均不含数字4；
④对于k≥2，i≠1，Ai的第k项的首位数字与A1的第k+2项的首位数字相同．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
解：对于①，a1＝i，a2＝1i，a3＝111i，a4＝311i，•••，an＝•••i，
b1＝j，b2＝1j，b3＝111j，b4＝311j，•••，bn＝•••j，
由递推右，随着n的增大，an和bn每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同，
∴an﹣bn＝i﹣j，故①正确；
对于②，若A1中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为3，即an＝•••333••，
由题中定义可知，an﹣1必有连续三个位置上的数字均为3，即an﹣1＝•••333•••，•••，
以此类推可知，a1中必有三个位置上的数字均为3，这与a1＝1矛盾，故②错误；
对于③，由②知，A1中的每一项不会出现某连续三个数位上都是3，
故A1中每一项只会出现1，2，3，故③正确；
对于④，对于k≥2，i≠1，有a1＝i，a2＝1i，a3＝111i，a4＝311i，a5＝13211i，a6＝111312211i，•••，
由上可知，记数列{an}的首位数字构成数列{cn}，
则数列{cn}为：i，1，1，3，1，1，3，•••，且当k≥2时，ck+3＝ck；
记A1的第k项为bk，则b1＝1，b2＝11，b3＝21，b4＝1211，b5＝111221，b6＝312211，b7＝13112221，b8＝1113213211，•••
记数列{bn}的首位数字构成数列{dn}．
则{dn}为：1，1，2，1，1，3，1，1，3，•••，且当k≥4时，dk+3＝dk，
由上可知，c2＝d4，c3＝d5，c4＝d6，•••，
∴当k≥2时，ck＝dk+2，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥AC，BC⊥PC，AC＝BC＝6，PA＝PC＝5，D，E分别是AC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．
解：（Ⅰ）因为BC⊥AC，BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）连接PD，因为PA＝PC，D是AC的中点，所以AD＝DC，PD⊥AC；
过C作CH∥PD，则CH⊥AC，
因为BC⊥平面PAC，CH⊂平面PAC，所以BC⊥CH；
又因为BC⊥AC，
以C为坐标原点，分别以CB、CA、CH为x、y、x轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为AC＝6，PC＝5，所以PD＝4，
因为BC＝6，所以C（0，0，0），B（6，0，0），A（0，6，0），D（0，3，0），P（0，3，4），
因为E是PC的中点，所以E（0，，2），
所以＝（0，﹣，2），＝（6，﹣3，0）．
设平面DEB的法向量为＝（x，y，z），则，
即，令x＝﹣2，则y＝﹣4，z＝﹣3，所以＝（﹣2，﹣4，﹣3）．
由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，取平面ADE的一个法向量为＝（1，0，0），
计算cos＜，＞＝＝＝﹣；
所以二面角A﹣DE﹣B的余弦值是﹣．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）直接写出ω的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值．
条件①：直线x＝为函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；
条件②：（，0）为函数y＝f（x）的图象的一个对称中心．
解：（Ⅰ）由图象可得＝，所以T＝π，
所以ω＝＝2．
（Ⅱ）条件①：直线x＝为函数y＝f（x）的图象的一条对称轴，
所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝﹣+kπ，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f（x）＝Asin（2x+），由图象过点（0，），
所以Asin＝，解得A＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+），
当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]，
sin（2x+）∈[，1]，所以f（x）∈[1，2]，
所以f（x）在区间[﹣，]上的最小值为1．
条件②：（，0）为函数y＝f（x）的图象的一个对称中心，
所以2×+φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ﹣，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f（x）＝Asin（2x+），由图象过点（0，），
所以Asin＝，解得A＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+），
当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]，
sin（2x+）∈[，1]，所以f（x）∈[1，2]，
所以f（x）在区间[﹣，]上的最小值为1．
18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
（Ⅱ）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；
（Ⅲ）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1＞μ2，说明理由．
解：（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名，
∴随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为，
∴从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，
该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为．
（Ⅱ）记Ai（i＝1，2）表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，
Bj（j＝1，2）表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，
C表示“这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”，
同（Ⅰ），从该地区参加该活动的女生中随机选1人，该生生竞赛成绩在90分以上的概率估计为＝，
则这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率为：
P（C）＝P（++++）
＝++++
＝+++（1﹣）×+
＝．
（Ⅲ）不能认为μ1＞μ2，理由如下：
上述10名男生，10名女生的竞赛成绩的数据是随机的，
∴μ1，μ2是随机的，
∴无法确定是否有μ1＞μ2．
19．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，E是椭圆C上一点，且|F1F2|＝2，|EF1|+|EF2|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M，N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），∠MF1N＝∠MEN＝90°，直线EM交x轴于点P，求的值．
解：（Ⅰ）由|F1F2|＝2，即2c＝2，c＝1，
由|EF1|+|EF2|＝4，可得2a＝4，即a＝2，b＝＝，
所以椭圆的方程为+＝1；
（Ⅱ）设M（0，m），N（0，n），E（x0，y0），则+＝1，
由F1（﹣1，0），F2（1，0），因为∠MF1N＝90°，所以•＝（1，m）•（1，n）＝1+mn＝0，即mn＝﹣1，
又因为∠MEN＝90°，所以•＝（x0，y0﹣m）•（x0，y0﹣n）＝x02+y02﹣（m+n）y0+mn＝0，
因为mn＝﹣1，所以n＝﹣，且m≠0，所以x02+y02﹣（m﹣）y0﹣1＝0，
因为+＝1，所以x02＝4﹣y02，
所以4﹣y02+y02﹣（m﹣）y0﹣1＝0，
即y02+3（m﹣）y0﹣9＝0，即（y0+3m）（y0﹣）＝0，
因为M，E位于x轴的两侧，y0与m异号，所以y0＝﹣3m，
即＝＝3．
20．已知函数f（x）＝x﹣alnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程x﹣alnx＝0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x0，求证：（a﹣1）x0＞a．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x﹣alnx，可得f′（x）＝1﹣，
则f′（1）＝1﹣a，又f（1）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣1），
即y＝（1﹣a）x+a．
（Ⅱ）解：f（x）＝x﹣alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当a＞0时，f（x）＝x﹣alnx＝0才有两个不相等的实根，且x0＞0，
则要证（a﹣1）x0＞a，即证＞，即证1﹣＞，
而x0﹣alnx0＝0，则a＝（x0≠1，否则方程不成立），
所以即证1﹣＞，化简得x0﹣lnx0﹣1＞0，
令g（x0）＝x0﹣lnx0﹣1，则g′（x0）＝1﹣＝，
当0＜x0＜1时，g′（x0）＜0，g（x0）单调递减，
当x0＞1时，g′（x0）＞0，g（x0）单调递增，
所以g（x0）≥g（1）＝0，而x0≠1，
所以g（x0）＞0，
所以（a﹣1）x0＞a，得证．
21．已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．
（Ⅰ）若X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，求集合X﹣Y和Y﹣X，以及|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|的值；
（Ⅱ）给定正整数n，集合S＝{1，2，⋯，n}．对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．
①求证：|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1；
②求|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|的最小值．
解：（Ⅰ）X﹣Y＝{1，2}，Y﹣X＝{5}，|（X﹣Y）∪（Y﹣X）}＝3；
（Ⅱ）①证明：显然|X|≥0，
若A∪B中含有一个不在S中的元素，则|A﹣S|+|B﹣S|≥1，即|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1，；
若A⊆S，且B⊆S，则|A﹣S|＝|B﹣S|＝0，此时A中最小的元素a≥1，B中最小的元素b≥1，
∴C中最小的元素a+b≥2，
∴1∉C，
∵S＝{1，2，……，n}，
∴|S﹣C|≥1，即|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1，
综上，|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1；
②由①知，|A﹣S|+|B﹣S|+|S﹣C|≥1，
∴|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|＝|A﹣S|+|S﹣A|+|B﹣S|+|S﹣B|+|C﹣S|+|S﹣C|
≥|S﹣A|+|S﹣B|+|C﹣S|+1，
若A∩S＝∅，或B∩S＝∅，则|S﹣A|+|S﹣B|≥n，
若A∩S≠∅，且B∩S≠∅，设A∩S＝{a1，a2，……，as}，B∩S＝{b1，b2，……，bl}，
且1≤a1＜a2＜……＜as≤n，1≤b1＜b2＜……＜bl≤n，
则|S﹣A|＝n﹣s，|S﹣B|＝n﹣l，
若s+l≤n，则|S﹣A|+|S﹣B|＝2n﹣s﹣l≥n，
若s+l＞n，因为2≤a1+b1＜a2+b2＜……＜as+bl，
∴a1+b1，a1+b2，……，a1+bl，a2+bl，a3+bl，……，as+al这s+l﹣1个数一定在集合C中，且均不等于1，
∴|C﹣S|≥s+l﹣1﹣（n﹣1）＝s+l﹣n，
∴|S﹣A|+|S﹣B|+|C﹣S|≥2n﹣s﹣l+（s+l﹣n）＝n，
∴|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|≥|S﹣A|+|S﹣B|+|C﹣S|+1≥n+1；
当A＝B＝S，C＝{2，3，……，2n}时，
|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|＝n+1，
∴|（A﹣S）∪（S﹣A）|+|（B﹣S）∪（S﹣B）|+|（C﹣S）∪（S﹣C）|的最小值是n+1．
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