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    2021全国甲卷文科数学真题

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    这是一份2021全国甲卷文科数学真题,共7页。

    文科数学
    注意事项:
    1、答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应答案的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.设集合M={1,3,5,7,9}. N={x|2x >7},则M∩N=
    A.{7,9}
    B.{5,7,9)
    C.{3,5,7,9}
    D.{1,3,5,7,9}
    2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
    根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是
    A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
    B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
    C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
    D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
    3.已知(1-i)2z =3+2i,则z =
    A. -1-i
    B. -1+i
    C. -+i
    D. --i
    4.下列函数中是增函数的为
    A.f(x)= -x
    B.f(x)=
    C.f(x)=x2
    D.f(x)= 3x
    5.点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为
    A.
    B.
    C.
    D.
    6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为1010≈1.259
    A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
    7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G,该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如右图所示,则相应的侧视图是
    A.
    B.
    C.
    D.
    8.在∆ABC中,已知B=120°, AC=19, AB=2, 则BC=
    A. 1 B. 2 C. 5 D. 3
    9.记Sn为等比数列an的前n项和。若S2=4, S4=6,则S6=
    A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
    10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为
    A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
    11、若α∈(0,π2),tan2α=csα2-sinα,则tanα=
    A.1515 B. 55 C. 53 D. 153
    12.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(- 13)= 13,则f(53)=
    A.- 53 B.- 13 C. 13 D. 53
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.若向量a,b满足a=3, a-b=5,a·b=1,则b=________.
    14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为________.
    15.已知函数f(x)=2csωx+ϕ的部分图像如图所示,则f(π2)=____________.
    16.已知F1,F2为椭圆C: x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且PQ= F1F2,则四边形PF1QF2的面积为_________.
    三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。
    (一)必考题:共60分。
    17.(12 分)
    甲、乙两台机床生产同种产品产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品产品的质量情况统计如下表:
    (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
    (2)能否有99%的把握为机品质量与乙机床的产品质量有差异?
    附:K2=n(ad-bc)2(a +b)(c +d)(a+c)(b+d),
    18.(12 分)
    记Sn,为数列an的前n项和,已知an,>0,a3=3a1,,且数列{Sn}是等差数列,证明:an是等差数列.
    19.(12分)
    已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面,AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1,

    (1)求三棱锥F-EBC的体积:
    (2)已知D为棱A1B1上的点,证明: BF⊥DE.
    20.(12分)
    设函数f(x)=a2 x2+ax-3lnx+1,其中a>0。
    (1)讨论f(x)的单调性;
    (2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围。
    21.(12分)
    抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,已知点M(2,0),且⊙M与l相切。
    (1)求C,⊙M的方程;
    (2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A2A3均与⊙M相切,判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由。
    (二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分。
    22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
    在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=22csθ。
    (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
    (2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足AP=2AM,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点。
    23. [选修4-5:不等式选讲](10分)
    已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|。
    (1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;
    (2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围。
    一级品
    二级品
    合计
    甲机床
    150
    50
    200
    乙机床
    120
    80
    200
    合计
    270
    130
    400
    P(K2≥k)
    0.050
    0.010
    0.001
    k
    3.841
    6.635
    10.828
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