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2016年四川省高考数学试卷（文科）
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这是一份2016年四川省高考数学试卷（文科），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2016年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）
A．0 B．2 C．2i D．2+2i
2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度
5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．35 B．20 C．18 D．9
9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）sin750°= ．
12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是 ．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）= ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
19．（12分）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
2016年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）
A．0 B．2 C．2i D．2+2i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用交集的运算性质即可得出．
【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，
则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．
∴集合A∩Z中元素的个数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度
【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．
【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，
平移后函数解析式为：y=sin（x+），
可得平移量为向左平行移动个单位长度，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．
5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．
【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴x=2是f（x）的极小值点；
又a为f（x）的极小值点；
∴a=2．
故选：D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．
【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞=3.8．
取n=2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．35 B．20 C．18 D．9
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=3，
故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，
满足进行循环的条件，v=9，i=0，
满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1
不满足进行循环的条件，
故输出的v值为：
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
B（0，0），C．
A．
∵M满足||=1，
∴点P的轨迹方程为：=1，
令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．
又=，则M，
∴||2=+=+3sin≤．
∴||2的最大值是．
也可以以点A为坐标原点建立坐标系．
解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．
【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），
当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，
∴l1的斜率，l2的斜率，
∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，
∴，即x1x2=1．
直线l1：，l2：．
取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，
∴|AB|•|xP|==．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，
∴，则，
∴．
∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）sin750°= ．
【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．
【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，
故答案为：．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，
∴棱锥的体积V=Sh==．
故答案为：．
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．
13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是 ．
【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数，由此能求出logab为整数的概率．
【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，
基本事件总数n==12，
logab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，
∴logab为整数的概率p=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）= ﹣2 ．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，
∴f（2）=f（0）=0，
f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，
则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ②③ ．
【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．
【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），
而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，
②若点在单位圆上，则x2+y2=1，
即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），
满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，
③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），
则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），
则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，
④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，
∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），
（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），
则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，
故答案为：②③
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；
（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．
【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，
整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量为30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，
0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，
解得x=0.04；
∴中位数是2+0.04=2.04．
【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；
（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．
【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．
取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，
∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴ME∥平面PAB．
∵AD∥BC，BC=AE，
∴ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB．
∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB，
∵CM⊂平面CME，
∴CM∥平面PAB
若M为AD的中点，连接CM，
由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB，
CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BD⊥平面PAB，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19．（12分）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得an=2an﹣1，即可得数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得an=qan﹣1，分析可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，分析可得e2==2，
解可得a2的值，由an=qn﹣1可得q的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1，
又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，
又有S3=qS2+1，则有a3=q2，
若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），
则可得q2=2q，（q＞0），
解可得q=2，
则有Sn+1=2Sn+1，①
进而有Sn=2Sn﹣1+1，②
①﹣②可得an=2an﹣1，
则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，
则an=1×2n﹣1=2n﹣1；
（Ⅱ）根据题意，有Sn+1=qSn+1，③
同理可得Sn=qSn﹣1+1，④
③﹣④可得：an=qan﹣1，
又由q＞0，
则数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1；
若e2=2，则e2==2，
解可得a2=，
则a2=q=，即q=，
an=1×qn﹣1=qn﹣1=（）n﹣1，
则en2=1+an2=1+3n﹣1，
故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为（|AB|）2，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．
【解答】（Ⅰ）解：如图，
由题意可得，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，
联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．
∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则，
|AB|==．
∴x0=﹣m，，即M（），
则OM所在直线方程为y=﹣，
联立，得或．
∴C（﹣，），D（，﹣）．
则︳MC︳•︳MD︳=
==．
而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．
∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；
（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；
当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，
即证，也就是证，
令h（x）=，则h′（x）=，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，
即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，
设t（x）=，
由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，
∵t（1）=0，
∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，
令φ（x）=，
则φ′（x）=2a=，
当x≥2时，φ′（x）＞0，
令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=﹣1．
e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，
综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，
∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，
由2a﹣1≥0，
∴a≥．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．
2016年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）
A．0 B．2 C．2i D．2+2i
2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度
5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．35 B．20 C．18 D．9
9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）sin750°= ．
12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是 ．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）= ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
19．（12分）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
2016年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）
A．0 B．2 C．2i D．2+2i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用交集的运算性质即可得出．
【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，
则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．
∴集合A∩Z中元素的个数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度
【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．
【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，
平移后函数解析式为：y=sin（x+），
可得平移量为向左平行移动个单位长度，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．
5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．
【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴x=2是f（x）的极小值点；
又a为f（x）的极小值点；
∴a=2．
故选：D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．
【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞=3.8．
取n=2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．35 B．20 C．18 D．9
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=3，
故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，
满足进行循环的条件，v=9，i=0，
满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1
不满足进行循环的条件，
故输出的v值为：
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
B（0，0），C．
A．
∵M满足||=1，
∴点P的轨迹方程为：=1，
令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．
又=，则M，
∴||2=+=+3sin≤．
∴||2的最大值是．
也可以以点A为坐标原点建立坐标系．
解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．
【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），
当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，
∴l1的斜率，l2的斜率，
∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，
∴，即x1x2=1．
直线l1：，l2：．
取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，
∴|AB|•|xP|==．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，
∴，则，
∴．
∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）sin750°= ．
【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．
【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，
故答案为：．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，
∴棱锥的体积V=Sh==．
故答案为：．
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．
13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是 ．
【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数，由此能求出logab为整数的概率．
【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，
基本事件总数n==12，
logab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，
∴logab为整数的概率p=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）= ﹣2 ．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，
∴f（2）=f（0）=0，
f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，
则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ②③ ．
【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．
【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），
而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，
②若点在单位圆上，则x2+y2=1，
即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），
满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，
③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），
则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），
则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，
④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，
∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），
（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），
则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，
故答案为：②③
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；
（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．
【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，
整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量为30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，
0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，
解得x=0.04；
∴中位数是2+0.04=2.04．
【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；
（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．
【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．
取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，
∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴ME∥平面PAB．
∵AD∥BC，BC=AE，
∴ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB．
∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB，
∵CM⊂平面CME，
∴CM∥平面PAB
若M为AD的中点，连接CM，
由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB，
CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BD⊥平面PAB，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19．（12分）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得an=2an﹣1，即可得数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得an=qan﹣1，分析可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，分析可得e2==2，
解可得a2的值，由an=qn﹣1可得q的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1，
又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，
又有S3=qS2+1，则有a3=q2，
若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），
则可得q2=2q，（q＞0），
解可得q=2，
则有Sn+1=2Sn+1，①
进而有Sn=2Sn﹣1+1，②
①﹣②可得an=2an﹣1，
则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，
则an=1×2n﹣1=2n﹣1；
（Ⅱ）根据题意，有Sn+1=qSn+1，③
同理可得Sn=qSn﹣1+1，④
③﹣④可得：an=qan﹣1，
又由q＞0，
则数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1；
若e2=2，则e2==2，
解可得a2=，
则a2=q=，即q=，
an=1×qn﹣1=qn﹣1=（）n﹣1，
则en2=1+an2=1+3n﹣1，
故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为（|AB|）2，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．
【解答】（Ⅰ）解：如图，
由题意可得，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，
联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．
∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则，
|AB|==．
∴x0=﹣m，，即M（），
则OM所在直线方程为y=﹣，
联立，得或．
∴C（﹣，），D（，﹣）．
则︳MC︳•︳MD︳=
==．
而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．
∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；
（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；
当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，
即证，也就是证，
令h（x）=，则h′（x）=，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，
即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，
设t（x）=，
由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，
∵t（1）=0，
∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，
令φ（x）=，
则φ′（x）=2a=，
当x≥2时，φ′（x）＞0，
令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=﹣1．
e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，
综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，
∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，
由2a﹣1≥0，
∴a≥．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．
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