2021届江西省九江市高考数学一模试卷（文科） （解析版）

这是一份2021届江西省九江市高考数学一模试卷（文科） （解析版），共17页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3）B．[﹣2，2]C．（﹣1，2]D．[﹣2，3）
2．已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（ ）
A．1B．C．2D．3
3．已知数列{an}为等差数列，且满足a2+a5+a8＝24，则数列{an}的前9项和为（ ）
A．96B．48C．56D．72
4．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，这两个面相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数f（x）＝x2lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．x+y﹣1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y+1＝0
6．公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式12+22+32+…+n2＝，执行如图所示的程序．或输出的结果为7，则判断框中的实数k的取值范围是（ ）
A．[91，140）B．（91，140]C．[140，204）D．（140，204]
7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为M，A为抛物线C上一点，若∠MFA＝120°，则|AF|＝（ ）
A．2B．C．4D．
8．已知a＝lg0.20.3，b＝lg0.30.2，c＝lg23，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．π
10．已知双曲线E：x2﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为双曲线E上一点，若∠F1PF2≥90°，则x02的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+2n，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an+1﹣an}为等差数列
B．数列{an+1﹣an}为等比数列
C．数列{an+2﹣an}为等差数列
D．数列{an+2﹣an}为等比数列
12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+b（ω＞0，0＜φ＜π）有三个相邻的零点，则实数b的值为（ ）
A．﹣1B．C．D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上．
13．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为 ．
14．已知非零向量，的夹角为60°，||＝3，⊥（2﹣），则||＝ ．
15．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的连续单调函数，若f[f（x）﹣lnx]﹣1＝0，则不等式f（x）≥2的解集为 ．
16．如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面半径为1，高为2，铁桶的最大张角为60°，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大体积为 ．
三、本卷包括必考题和选考题两部分．第17题～第21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．从某公司生产的10000件产品中随机抽取100件作为样本，并测量它们的长度l（单位：mm），将样本数据分为[28，30），[30，32），[32，34），[34，36），[36，38），[38，40]六组，并整理得到频率分面直方图如图．
（Ⅰ）求a的值及样本产品长度的平均值；
（Ⅱ）当l∈[31，39]时为合格品，其余为废品．每件合格品可获得利润20元，每件废品则亏损材料费15元，且生产出的合格品全部销售完，若以样本估计总体，求该公司获得的利润．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
18．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知（b+c）csA＝bsinA﹣acsC．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A＝60°，E为AB的中点，将△ADE沿着DE折起，使平面ADE⊥平面BEDC．
（Ⅰ）在线段AC上是否存在一点M，使得BM∥平面ADE，请说明理由；
（Ⅱ）求E到平面ABC的距离．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点F，|AF|＝3，过F的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△AMN面积是△BMN面积的3倍．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AM，AN与直线x＝4分别交于P，Q两点，求证：PF⊥QF．
21．已知函数f（x）＝x2﹣csx（x＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）有唯一零点x0，且x0∈（0，1）；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的x0，当x∈（x0，2）时，ex﹣af（x）≥0，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．在直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（t为参数），过原点的直线l1，l2相互垂直，且l1的倾斜角为α，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l1与曲线E的极坐标方程；
（Ⅱ）若l1，l2与曲线E分别相交于A，B两点和C，D两点，求的值．
23．已知函数f（x）＝a|x|﹣|x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3）B．[﹣2，2]C．（﹣1，2]D．[﹣2，3）
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1,2]．
故选：C．
2．已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（ ）
A．1B．C．2D．3
解：z＝＝1﹣i，
故|z|＝，
故选：B．
3．已知数列{an}为等差数列，且满足a2+a5+a8＝24，则数列{an}的前9项和为（ ）
A．96B．48C．56D．72
解：∵数列{an}为等差数列，
∴a2+a5+as＝3a5＝24，则a5＝8，
∴．
故选：D．
4．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，这两个面相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，共有4×4＝16种取法，
其中两个面相邻的取法有4种，
故所求概率为．
故选：A．
5．已知函数f（x）＝x2lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．x+y﹣1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y+1＝0
解：f（x）＝x2lnx的导数为f′(x)＝2xlnx+x,
可得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k＝2ln1+1＝1，
且f(1)＝0,
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0．
故选：B．
6．公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式12+22+32+…+n2＝，执行如图所示的程序．或输出的结果为7，则判断框中的实数k的取值范围是（ ）
A．[91，140）B．（91，140]C．[140，204）D．（140，204]
解：依题意得，解得91＜k≤140，
可得判断框中的实数k的取值范围是（91，140]．
故选：B．
7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为M，A为抛物线C上一点，若∠MFA＝120°，则|AF|＝（ ）
A．2B．C．4D．
解：如图，过点A作准线的垂线，垂足为A'，
当∠MFA＝120°时，∠FAA'＝60°，
又|AF|＝|AA'|，∴△AFA'为等边三角形，
所以∠A′FM＝60°,
在直角三角形MFA′中，|A′F|＝＝4,
则|AF|＝4,
故选：C．
8．已知a＝lg0.20.3，b＝lg0.30.2，c＝lg23，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
解：∵0＜a＝lg0.20.3＜1，b＝lg0.30.2＞1，c＝lg23＞1，
又，
∴b＜c，即a＜b＜c．
故选：A．
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．π
解：根据三视图知，该几何体是圆柱体，斜截去一半，
画出该几何体的直观图，如图所示：
计算该几何体的体积为：
V＝×π×12×1＝．
故选：C．
10．已知双曲线E：x2﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为双曲线E上一点，若∠F1PF2≥90°，则x02的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解：双曲线E：x2﹣y2＝1的a＝b＝1,c＝,
可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝2,
要使得∠F1PF2≥90°，
则点P在以F1F2为直径的圆上或圆内，
∴，
又，∴，
∴，
故选：C．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+2n，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an+1﹣an}为等差数列
B．数列{an+1﹣an}为等比数列
C．数列{an+2﹣an}为等差数列
D．数列{an+2﹣an}为等比数列
解：∵①，
∴②，
②﹣①得③，
则④，
④﹣③得，因此数列{an+2﹣an}为等比数列．
故选：D．
12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+b（ω＞0，0＜φ＜π）有三个相邻的零点，则实数b的值为（ ）
A．﹣1B．C．D．1
解：依题意得，
∴，
又x＝×（+）＝为函数的一条对称轴，
可得，解得，
∵0＜φ＜π，
∴，
∴，
∴b＝﹣1．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上．
13．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为 ．
解：如图所示，作出可行域，
联立，解得A（，），
作出直线2x+y＝0，当直线2x+y＝0平移到点时，
z＝2x+y取得最大值．
故答案为：．
14．已知非零向量，的夹角为60°，||＝3，⊥（2﹣），则||＝ ．
解：由得
＝
＝．
故．
故答案为：．
15．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的连续单调函数，若f[f（x）﹣lnx]﹣1＝0，则不等式f（x）≥2的解集为 [e，+∞） ．
解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的连续单调函数，
∴存在唯一t，使得f（t）＝1，故令f（x）﹣lnx＝t，f（x）＝lnx+t，
∴f（t）＝lnt+t＝1，令g（t）＝lnt+t﹣1（t＞0）,
则g′(t)＝+1＞0,故g(t)在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝0，
令g(t)＝0,∴t＝1，∴f（x）＝lnx+1，∵f（x）≥2，∴lnx≥1，x≥e，
故f（x）≥2的解集为：[e，+∞），
故答案为：[e，+∞）．
16．如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面半径为1，高为2，铁桶的最大张角为60°，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大体积为 ．
解：如图，点B到铁盖中心O1的距离恰好是最大球的直径，
AB＝2，∠O1AB＝60°，
∴，则，即最大球的半径为，
∴该木球的最大体积为V＝．
故答案为：．
三、本卷包括必考题和选考题两部分．第17题～第21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．从某公司生产的10000件产品中随机抽取100件作为样本，并测量它们的长度l（单位：mm），将样本数据分为[28，30），[30，32），[32，34），[34，36），[36，38），[38，40]六组，并整理得到频率分面直方图如图．
（Ⅰ）求a的值及样本产品长度的平均值；
（Ⅱ）当l∈[31，39]时为合格品，其余为废品．每件合格品可获得利润20元，每件废品则亏损材料费15元，且生产出的合格品全部销售完，若以样本估计总体，求该公司获得的利润．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
解：（I）∵（0.05×3+0.1×2+a）×2＝1,∴a＝0.15,
样本产品长度的平均值为:
．
（II）依题意得，从样本中随机抽取一件产品，其为合格品的概率为:
,
其为废品的概率为1﹣0.8＝0.2,
故该公司获得的利润为10000×（0.8×20﹣0.2×15）＝130000元．
18．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知（b+c）csA＝bsinA﹣acsC．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
解：（Ⅰ）由正弦定理的（sinB+sinC）csA＝sinBsinA﹣sinAcsC，
所以sinBcsA+sinCcsA+csCsinA＝sinBsinA，
即sinBcsA+sin（A+C）＝sinBsinA，
因为sin（A+C）＝sinB，
所以sinBcsA+sinB＝sinBsinA，
因为sinB＞0，所以csA+1＝sinA，
所以sin（A﹣）＝，
因为A﹣∈（﹣，），
所以A﹣＝，所以A＝．
（Ⅱ）＝＝＝＝+，
因为△ABC为锐角三角形，所以0，B＝﹣C＜，
所以＜C＜，所以tanC＞，
所以＜+＜2，即的取值范围是（，2）．
19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A＝60°，E为AB的中点，将△ADE沿着DE折起，使平面ADE⊥平面BEDC．
（Ⅰ）在线段AC上是否存在一点M，使得BM∥平面ADE，请说明理由；
（Ⅱ）求E到平面ABC的距离．
解：（I）当点M位于AC的中点时，BM∥平面ADE，
设N为AD的中点，连接MN，NE，MB，∵M，N分别为AC，AD的中点，∴，
依题意易知，∴，∴MNEB为平行四边形，
∴BM∥EN，
又∵BM⊄平面ADE，EN⫋平面ADE，
∴BM∥平面ADE．
（II）∵AD＝AB＝2，∠A＝60°，∴△ADB为正三角形，
又E为AB的中点，∴DE⊥AB，即AE⊥DE，
又平面ADE⊥平面BEDC，∴AE⊥平面BEDC,
设E到平面ABC的距离为d，
三棱锥E﹣ABC的体积，
即,,
∴，∴,
∴,
S△EBC＝×1×＝,AE＝1,
由得，，即．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点F，|AF|＝3，过F的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△AMN面积是△BMN面积的3倍．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AM，AN与直线x＝4分别交于P，Q两点，求证：PF⊥QF．
解：（Ⅰ）∵|AF|＝3，∴a+c＝3，
又△AMN面积是△BMN面积的3倍，∴a+c＝3（a﹣c），
解得：a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，
故椭圆C的标准方程为；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（﹣2，0），F（1，0），
设l：x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，消去x整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0．
∴，
直线AM的方程为，令x＝4，得，
同理，
∴，
∴
＝＝．
∴PF⊥QF．
21．已知函数f（x）＝x2﹣csx（x＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）有唯一零点x0，且x0∈（0，1）；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的x0，当x∈（x0，2）时，ex﹣af（x）≥0，求实数a的取值范围．
【解答】（I）证明：函数f（x）＝x2﹣csx（x＞0），则f'（x）＝2x+sinx，
又f''（x）＝2+csx＞0，故f'（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f'（x）＞f'（0）＝0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1﹣cs1＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x0∈（0，1）；
（II）解：由（I）知，x∈（x0，2）时，f（x）＞f（x0）＝0，
所以x2﹣csx＞0，即问题等价于在x∈（x0，2）恒成立，
令，
令，
当x∈（x0，2）时，x（x﹣2）＜0，，
所以h（x）＜0，即g'（x）＜0，
故g（x）在（x0，2）上单调递减，
所以当x∈（x0，2）时，，
所以，
故实数a的取值范围是．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．在直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（t为参数），过原点的直线l1，l2相互垂直，且l1的倾斜角为α，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l1与曲线E的极坐标方程；
（Ⅱ）若l1，l2与曲线E分别相交于A，B两点和C，D两点，求的值．
解：（I）过原点的直线l1，l2相互垂直，且l1的倾斜角为α，直线l1的极坐标方程为θ＝α；
曲线E的参数方程为（t为参数），由，
消去参数t得y2＝4（x+1）（x≠﹣1）．
根据得ρ2sin2θ＝4（ρcsθ+1），
即曲线E的极坐标方程为ρ2sin2θ﹣4ρcsθ﹣4＝0（θ∈（0，π）∪（π，2π））．
（II）将θ＝α代入ρ2sin2θ﹣4ρcsθ﹣4＝0中，得ρ2sin2α﹣4ρcsα﹣4＝0，
设A，B两点所对应的极径分别是ρ1，ρ2，
则，
∴，
∵l1⊥l2，
∴，
∴．
23．已知函数f（x）＝a|x|﹣|x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．
解：（I）当a＝2时，f(x)＝2|x|﹣|x﹣1|＝,
因为f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增,
所以当x＝0时，f（x）取最小值为﹣1；
（II）当x＝0时，f(x)＝﹣1≤1恒成立，满足题意，a∈R,
当x≠0时，不等式可化为a|x|﹣|x﹣1|≤1,等价于a≤||+|1﹣|恒成立,
而||+|1﹣|≥|+1﹣|＝1,
所以a≤1，
即a的取值范围是（﹣∞，1]．