2023年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科）-普通用卷

2023年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为虚数单位，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知命题：，；命题，则下列命题中为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某公司对年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约万元则下列说法错误的是(    )

A. 该公司年营收总额约为万元
B. 该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的倍还多
C. 该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多
D. 该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为

5.  若为锐角，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是(    )

A.  B.  C. 的最大值为 D. 的最大值为

7.  古希腊数学家帕普斯在数学汇编第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长已知中，，，，则的重心到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，则方程的实根个数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知棱长为的正四面体的内切球球心为，现从该正四面体内随机取一点，则点落在球内的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  为双曲线右支上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，且，则向量在向量上的投影为______ ．

14.  已知函数，则曲线在处的切线方程为        ．

15.  已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为        写出一个值即可
 

16.  已知锐角的内角，，的对应边依次记为，，，且满足，则的取值范围为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
双减政策落地后，五项管理原则出台某学校为了加强落实其中的“读物管理”，鼓励优质读物进校园，营造学校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野、陶冶情操、增长知识、启迪智慧、塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用，决定举办“阅读经典收获未来”知识竞赛．
班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲、乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲、乙两人次模拟大赛的成绩，统计结果如下茎叶图：

你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由：
据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著红楼梦、西游记、三国演义、水浒传及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对个的概率．

18.  本小题分
已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，．
若数列是唯一的，求实数的值；
若，，求数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，且点，分别是棱，的中点．
证明：平面；
求点到平面的距离．

20.  本小题分
已知函数，．
若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
若，证明：函数有两个零点．
参考数据：
 

21.  本小题分
已知抛物线：，为其焦点，点在上，且为坐标原点．
求抛物线的方程；
若，是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
在直角坐标系中，已知曲线为参数，曲线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
已知，是曲线上的两个动点异于原点，且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值．

23.  本小题分
已知函数．
，解不等式；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
所以．
故选：．
解一元二次不等式、根式不等式求集合，利用集合交运算求结果即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
所以，可得．
故选：．
利用复数除法化简等式左侧，根据复数相等列方程组求参数值．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由余弦函数性质知：为真，
又，当且仅当时等号成立，故为假，
所以为假，为真，
综上，为假，为假，为真，为假．
故选：．
根据余弦函数性质、基本不等式判断已知命题的真假，再确定对应否命题真假，进而判断各选项中复合命题的真假．
本题主要考查了复合命题真假的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于：湖南省的营收额约为万元，占比，
所以年营收额约为万元，故选项A正确；
对于：华南地区的营收额占比为，河南省的营收额占比为，
有，所以华南地区的营收额比河南省的倍还多，故选项B正确；
对于：华东地区的营收额占比为，西南地区的营收额占比为，
东北地区的营收额占比为，湖北的营收额占比为，
有，故选项C正确；
对于：湖南的营收额占比为，华中地区的营收额占比为，
有，故选项D错误．
故选：．
根据题意给的数据，结合选项依次计算即可求解．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：为锐角，，
，
即，
解得，
故选：．
根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出关于的式子，即可解得答案．
本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由可知公比，故A错误；
又，且可得，故B错误；
由等比数列前项和公式可知，
由指数函数性质可得为单调递增，即无最大值，故C错误；
设为数列前项积的最大值，
则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，故D正确．
故选：．
根据等比数列定义以及可得且，故AB错误；
由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为，故C错误，D正确．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：直角三角形绕旋转一周所得的圆锥的体积为，
三角形的面积，记重心到的距离为，
由，可得，
解得，
所以的重心到的距离为．
故选：．
根据题意，用式子分别表示出圆锥体积、三角形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求出距离．
本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了三角形重心的性质，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
利用对数、指数的性质判断大小关系即可．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：，解得或，
当时，，解得，，解得舍；
当时，，解得或舍，，解得或舍；
综上，方程的实根为或或，
即方程的实根个数为个，
故选：．
根据已知得出或，再根据分段函数已知函数值求自变量的方法分类求出，即可得出答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，且，，即，
的图像关于点中心对称，
，且，即，解得，
，
取，，，
将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，
的图像关于轴对称，，解得，
，
当时，得，
故选：．
根据周期范围得出范围，根据对称中心得出的值，并结合范围得出的值，即可得出的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出，即可根据图像关于轴对称，得出，再根据的范围得出实数的最小值．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由正四面体各侧面为等边三角形，若为的中心，
连接，则内切球球心在线段上，如下图示：，

所以内切圆半径，而面，面，面，面，
故B，，注意在面上，
又，
所以为等腰三角形的垂心，故B，
又，
令，
则，
所以，可得，
故，
而正四面体的体积，
其内切球体积为，落在球内的概率为．
故选：．
根据正四面体的结构特征及性质求其内切球的半径，求出内切球体积和四面体体积，利用几何概型体积比求概率即可．
本题主要考查正四面体体积的求解，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，双曲线，
的内切圆半径为，
，，
内切圆的半径为，由等面积法可得：
，
，
，
由图形的对称性知：，
即，得，即双曲线为等轴双曲线，其离心率为．
故选：．
由题意画出图形，可得为直角三角形，再由其内切圆的半径为，利用等面积法可得，结合双曲线定义整理得到，由图形的对称性知：，即，则，即双曲线为等轴双曲线，离心率可求．
本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形中等面积法的应用，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，且，
，
即，
可得．
即向量在向量上的投影为．
故答案为：．
由已知利用数量积为，结合向量在向量上投影的概念得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量在向量上投影的概念，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
则，所以；
所以，所以，
曲线在处的切线方程为，即．
故答案为：．
先求，得到，再利用点斜式可得方程．
本题主要考查导数与函数的切线方程，属于中档题．
 

15.【答案】不唯一，取的整数即可 

【解析】解：因为函数的图像恒过定点，所以，
因为点在圆外，
所以且，解得或，
又为整数，所以的取值可以为，，，．
故答案为：不唯一，取的整数即可．
先求定点的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得的取值．
本题主要考查了指数函数的性质，考查了点与圆的位置关系，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，即，展开整理得，
因为锐角中，，
所以，即，
由，得，，
因为，
所以，
所以，
所以的范围为．
故答案为：．
先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系化简整理可得，的关系，将，用表示，求出的范围，再利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可得解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为，
甲的成绩方差为，
乙的成绩方差为，
，，
甲的成绩较稳定，派甲参赛比赛比较合格．
访四大名著红楼梦、西游记、三国演义、水浒传的作者有依次记为，
则游戏互动中，观众丙随机连线的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
其中，恰好连对个的结果有：
，，，，，，，共种，
观众丙恰好连对个的概率为． 

【解析】分别求出甲乙的平均成绩和方差，再根据平均成绩和方差即可得出结论．
利用列举法，再结合古典概型即可得出答案．
本题考查平均数、方差、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：由数列是等比数列，，设其公比为，
由题设，得，即
因为数列是唯一的，所以对于方程，
若方程有一个根为，另一个不为，把代入方程，得，
当时，或舍去，故，满足唯一性；
若方程有两个相等的实根，且根不为，则，解得，
代入式，解得，又，所以是唯一的等比数列，符合题意，
所以或；
由，所以，得，
解得或舍去，此时，
所以，所以等差数列的公差，
所以，即，
所以，
所以，
得，
所以． 

【解析】利用等比数列的通项公式和得到关于公比的二次方程，讨论根的情况可得答案；
求出等差数列的通项公式，得到，利用错位相减法求和．
本题考查等差数列与等比数列的性质，错位相减法求和，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】证明：因为，
所以是正三角形，所以；

又，由余弦定理得，
则，所以，即；
因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，
所以；
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面．
解：由得平面，
在直角中，，
设点到平面的距离为，由，
即，
解得，即点到平面的距离为． 

【解析】先利用长度关系得出，再根据面面垂直得出线面垂直；
利用等体积法由可得答案．
本题主要考查直线与平面垂直的证明，点到平面距离的求法，等体积法的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由在上单调递减，则在上恒成立，
令且，则，故在上单调递增，
要使在上恒成立，则，解得，
即所求的实数的取值范围为．
证明：由知：在上单调递增，
因为，所以，
所以函数在上存在唯一零点，即，此时，
当时，单调递减；时，单调递增，
又，
记，则，
所以在上递减，则，
所以，又，，
所以在、上各有一个零点，即在上有两个零点． 

【解析】由题设可得在上恒成立，进而研究的单调性并求最值，即可得参数范围；
应用零点存在性定理判断在上的零点，根据其符号确定的单调性并得到极值，进而判断其零点分布，即可证结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
 

21.【答案】解：因为点在上，则，而，
所以，，所以，故该抛物线的方程为．
法一：设，，，不妨设，
，则，解得，
当与轴不垂直时，，，
此时直线的方程为：，整理得，
，则的方程为：，则直线恒过定点，
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即当为该圆心时，为定值；
当轴时，，此时，而，故；
当时，也满足，
综上，平面内存在一个定点，使得为定值，
法二：设直线的方程为，，，
联立，且，
由韦达定理得：，，
由，即，解得，
即，直线恒过定点，
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即定点为该圆心时，为定值． 

【解析】由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数，即可得方程；
法一：设，，，，利用求得，讨论与轴是否垂直，求直线所过的定点；
法二：设直线的方程为，，，联立抛物线及韦达定理、得；最后结合确定的轨迹，即可确定定点和定值；．
本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，圆锥曲线中定值问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由曲线为参数，
消去参数，得，
所以曲线的直角坐标方程为．
又由，，得，
所以曲线的极坐标方程为．
由曲线：，得，即，
所以曲线的普通方程为；
由题意，设，则，
又曲线与直线有且仅有一个公共点，故为点到直线的距离，
由曲线的极坐标方程，得，
所以，，
所以，即，所以；
又，
所以，
即所求实数的值为． 

【解析】先求曲线的直角坐标方程，再由，写成极坐标方程；由写出曲线的直角坐标方程；
根据曲线与直线有且仅有一个公共点，得出是直角三角形斜边上的高，根据等面积法转化为求解即可．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程的应用，属于中档题．
 

23.【答案】解：由题设，
所以，不等式等价于或或，
解得或或，
所以原不等式的解集为．
证明：，
当时，；
当时，，
综上，结合各分段上一次函数的性质知：在单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，
所以． 

【解析】分类讨论求解绝对值不等式的解集；
由绝对值对应函数的单调性求函数最小值范围，即可证结论．
本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．