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2022届初中数学一轮复习 第10讲 一次函数及其应用 课件
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这是一份2022届初中数学一轮复习 第10讲 一次函数及其应用 课件，共44页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，Part1，Part2，Part3等内容，欢迎下载使用。
命题点1 一次函数的图象和性质1.(2020·安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是( )A.(-1,2) B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4)
答案 B解析 ∵一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而减小,∴k<0.当x=-1,y=2时,-k+3=2,解得k=1>0,故A选项不符合题意;当x=1,y=-2时,k+3=-2,解得k=-5<0,故B选项符合题意;当x=2,y=3时,2k+3=3,解得k=0,故C选项不符合题意;当x=3,y=4时,3k+3=4,解得k= >0,故D选项不符合题意.故选B.
2.(2019·安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是_____________.
答案 a>1或a<-1解析 y=x-a+1与x轴的交点为(a-1,0),∵平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,∴当x=a-1时,y=(a-1)2-2a(a-1)<0,∴a2-1>0,∴a>1或a<-1.
命题点2 用待定系数法确定一次函数表达式3.(2016·安徽,20,10分)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.
命题点3 一次函数的应用4.(2014·安徽,20,10分)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元.从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃圾处理费100元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨.若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化,就要多支付垃圾处理费8 800元.(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨?(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨,且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍,则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?
(2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾m吨,建筑垃圾n吨,需要支付这两种垃圾处理费共a元,则a=100m+30n=100m+30(240-m)=70m+7 200,由于a的值随m的增大而增大,所以当m=60时,a值最小,最小值=70×60+7 200=11 400(元).答:2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元.
考点一 一次函数及其图象性质(高频考点) 1.定义如果函数的表达式是自变量的一次式,像这样的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数,k≠0).特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
2.图象及其性质(10年3考)
考点二 一次函数表达式的确定(中频考点) 1.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤(10年4考)(1)设所求函数表达式为y=kx+b(k≠0);(2)将x,y的对应值代入表达式y=kx+b,得到含有待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,确定待定系数k,b的值;(4)将所求待定系数的值代入所设的函数表达式中即可得函数表达式.注意:若直线l1:y1=k1x+b1与直线l2:y2=k2x+b2平行(b1≠b2),则k1=k2.
2.将一次函数的图象平移后求表达式(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到(当b>0时,向上 平移;当b<0时,向下平移). (2)一次函数y=kx+b图象的平移:向左或向右平移m(m>0)个单位长度后,相应得到的一次函数解析式为y=k(x+m)+b或y=k(x-m)+b ;向上或向下平移n(n>0)个单位长度后,相应得到的一次函数解析式为y=kx+b+n 或y=kx+b-n. 口决:左加右减,上加下减,左右移给x值加减,上下移给y值加减.
考法1一次函数的图象与性质例1(2020·四川攀枝花)甲、乙两地之间是一条直路,在全民健身活动中,赵明阳跑步从甲地往乙地,王浩月骑自行车从乙地往甲地.两人同时出发,王浩月先到达目的地,两人之间的距离s(单位:km)与运动时间t(单位:h)的函数关系大致如图所示,下列说法中错误的是( )A.两人出发1小时后相遇B.赵明阳跑步的速度为8 km/hC.王浩月到达目的地时两人相距10 kmD.王浩月比赵明阳提前1.5 h到目的地
答案 C解析 由图象可知,两人出发1小时后相遇,故选项A正确;赵明阳跑步的速度为24÷3=8(km/h),故选项B正确;王浩月的速度为24÷1-8=16(km/h),王浩月从开始到到达目的地用的时间为24÷16=1.5(h),故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5=12(km),故选项C错误;王浩月比赵明阳提前3-1.5=1.5(h)到目的地,故选项D正确.故选C.
方法总结 本题考查了一次函数y=kx+b的图象及其性质:(1)当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限),y随x的增大而增大;(2)当k>0,b<0时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限),y随x的增大而增大;(3)当k<0,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限),y随x的增大而减小;(4)当k<0,b<0时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限),y随x的增大而减小.
对应练1(2020·山东济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是( )A.x=20 B.x=5C.x=25D.x=15
答案 A解析 由图可知,直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P(20,25),∴方程x+5=ax+b的解为x=20.故选A.
对应练2(2020·浙江嘉兴、舟山)一次函数y=2x-1的图象大致是( )
答案 B解析 由题意知,k=2>0,b=-1<0,函数图象经过一、三、四象限.故选B.
对应练3(2020·四川成都)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x值的增大而增大,则常数m的取值范围为_____________.
考法2用待定系数法确定一次函数表达式例2(2020·河北)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l'.
(1)求直线l的解析式;(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长;(3)设直线y=a与直线l,l'及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值.
方法总结 确定一次函数表达式常用待定系数法.一次函数y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是(0,b)和 .
对应练4(2020·江苏南京)将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90 °,所得到的图象对应的函数表达式是_____________.
对应练5(2020·北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.
解 (1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)由y=x平移得到,∴k=1.将点(1,2)代入y=x+b可得b=1,∴一次函数的解析式为y=x+1.(2)当x>1时,函数y=mx(m≠0)的函数值都大于y=x+1,即图象在y=x+1上方,由右图可知:临界值为当x=1时,两条直线都过点(1,2),∴当x>1,m>2时,y=mx(m≠0)都大于y=x+1.又∵x>1,∴m可取值2,即m=2.∴m的取值范围为m≥2.
考法3一次函数的应用例3 (2020·四川乐山)某汽车运输公司为了满足市场需要,推出商务车和轿车对外租赁业务.下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表:(1)如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1 320元,求一辆轿车的单程租金为多少元?(2)某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训,拟单程租用商务车或轿车前往.在不超载的情况下,怎样设计租车方案才能使所付租金最少?
解 (1)设租用一辆轿车的租金为x元.由题意得,300×2+3x=1 320.解得x=240.答:租用一辆轿车的租金为240元.
③若混和租用两种车,设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元.由6m+4n=34,得4n=-6m+34,∴W=300m+60(-6m+34)=-60m+2 040.∵-6m+34=4n≥0,∴m≤ ,∴1≤m≤5,且m为整数.∵W随m的增大而减小,∴当m=5时,W有最小值1 740,此时n=1,综上,租用商务车5辆和轿车1辆时,所付租金最少为1 740元.
方法2:设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元.∵m为整数,∴m只能取0,1,2,3,4,5,故租车方案有:不租商务车,则需租9辆轿车,所需租金为9×240=2 160(元);
租1辆商务车,则需租7辆轿车,所需租金为1×300+7×240=1 980(元);租2辆商务车,则需租6辆轿车,所需租金为2×300+6×240=2 040(元);租3辆商务车,则需租4辆轿车,所需租金为3×300+4×240=1 860(元);租4辆商务车,则需租3辆轿车,所需租金为4×300+3×240=1 920(元);租5辆商务车,则需租1辆轿车,所需租金为5×300+1×240=1 740(元).由此可见,最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆,此时所付租金最少,为1 740元.
方法总结 利用一次函数解决实际问题,其关键在于正确理解自变量、函数的意义,找出函数与自变量存在的数量关系,从而得出函数解析式,根据自变量的取值范围结合函数的变化趋势进行求解.
对应练6(2020·上海)小明从家步行到学校需走的路程为1 800米.图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(单位:米)与时间t(单位:分钟)的函数关系,根据图象提供的信息,当小明从家出发去学校步行15分钟时,到学校还需步行_____________米.
答案 350解析 当8≤t≤20时,设s=kt+b,将(8,960),(20,1 800)代入,得∴s=70t+400.当t=15时,s=1 450,1 800-1 450=350,∴当小明从家出发去学校步行15分钟时,到学校还需步行350米,故答案为350.
对应练7(2020·辽宁大连)甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发,匀速上升60 min,右图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y(单位:m)与气球上升时间x(单位:min)的函数图象.
(1)求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式.(2)当这两个气球的海拔高度相差15 m时,求上升的时间.
对应练8(2020·四川成都)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本价为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12≤x<24)满足一次函数的关系,部分数据如下表:(1)求y与x的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.
解 (1)设一次函数的函数关系式为y=kx+b(k≠0).将x=12,y=1 200代入函数得12k+b=1 200.将x=13,y=1 100代入函数得13k+b=1 100.∴一次函数的函数关系式为y=-100x+2 400.(2)设商家线上和线下的月利润总和为w元,由题意可得w=400(x-2-10)+y(x-10).将y=-100x+2 400代入可得w=-100(x-19)2+7 300.∴当线下售价定为19元/件时,月利润总和最大,此时最大利润是7 300元.
命题点1 一次函数的图象和性质1.(2020·安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是( )A.(-1,2) B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4)
答案 B解析 ∵一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而减小,∴k<0.当x=-1,y=2时,-k+3=2,解得k=1>0,故A选项不符合题意;当x=1,y=-2时,k+3=-2,解得k=-5<0,故B选项符合题意;当x=2,y=3时,2k+3=3,解得k=0,故C选项不符合题意;当x=3,y=4时,3k+3=4,解得k= >0,故D选项不符合题意.故选B.
2.(2019·安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是_____________.
答案 a>1或a<-1解析 y=x-a+1与x轴的交点为(a-1,0),∵平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,∴当x=a-1时,y=(a-1)2-2a(a-1)<0,∴a2-1>0,∴a>1或a<-1.
命题点2 用待定系数法确定一次函数表达式3.(2016·安徽,20,10分)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.
命题点3 一次函数的应用4.(2014·安徽,20,10分)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元.从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃圾处理费100元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨.若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化,就要多支付垃圾处理费8 800元.(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨?(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨,且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍,则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?
(2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾m吨,建筑垃圾n吨,需要支付这两种垃圾处理费共a元,则a=100m+30n=100m+30(240-m)=70m+7 200,由于a的值随m的增大而增大,所以当m=60时,a值最小,最小值=70×60+7 200=11 400(元).答:2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元.
考点一 一次函数及其图象性质(高频考点) 1.定义如果函数的表达式是自变量的一次式,像这样的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数,k≠0).特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
2.图象及其性质(10年3考)
考点二 一次函数表达式的确定(中频考点) 1.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤(10年4考)(1)设所求函数表达式为y=kx+b(k≠0);(2)将x,y的对应值代入表达式y=kx+b,得到含有待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,确定待定系数k,b的值;(4)将所求待定系数的值代入所设的函数表达式中即可得函数表达式.注意:若直线l1:y1=k1x+b1与直线l2:y2=k2x+b2平行(b1≠b2),则k1=k2.
2.将一次函数的图象平移后求表达式(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到(当b>0时,向上 平移;当b<0时,向下平移). (2)一次函数y=kx+b图象的平移:向左或向右平移m(m>0)个单位长度后,相应得到的一次函数解析式为y=k(x+m)+b或y=k(x-m)+b ;向上或向下平移n(n>0)个单位长度后,相应得到的一次函数解析式为y=kx+b+n 或y=kx+b-n. 口决:左加右减,上加下减,左右移给x值加减,上下移给y值加减.
考法1一次函数的图象与性质例1(2020·四川攀枝花)甲、乙两地之间是一条直路,在全民健身活动中,赵明阳跑步从甲地往乙地,王浩月骑自行车从乙地往甲地.两人同时出发,王浩月先到达目的地,两人之间的距离s(单位:km)与运动时间t(单位:h)的函数关系大致如图所示,下列说法中错误的是( )A.两人出发1小时后相遇B.赵明阳跑步的速度为8 km/hC.王浩月到达目的地时两人相距10 kmD.王浩月比赵明阳提前1.5 h到目的地
答案 C解析 由图象可知,两人出发1小时后相遇,故选项A正确;赵明阳跑步的速度为24÷3=8(km/h),故选项B正确;王浩月的速度为24÷1-8=16(km/h),王浩月从开始到到达目的地用的时间为24÷16=1.5(h),故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5=12(km),故选项C错误;王浩月比赵明阳提前3-1.5=1.5(h)到目的地,故选项D正确.故选C.
方法总结 本题考查了一次函数y=kx+b的图象及其性质:(1)当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限),y随x的增大而增大;(2)当k>0,b<0时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限),y随x的增大而增大;(3)当k<0,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限),y随x的增大而减小;(4)当k<0,b<0时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限),y随x的增大而减小.
对应练1(2020·山东济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是( )A.x=20 B.x=5C.x=25D.x=15
答案 A解析 由图可知,直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P(20,25),∴方程x+5=ax+b的解为x=20.故选A.
对应练2(2020·浙江嘉兴、舟山)一次函数y=2x-1的图象大致是( )
答案 B解析 由题意知,k=2>0,b=-1<0,函数图象经过一、三、四象限.故选B.
对应练3(2020·四川成都)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x值的增大而增大,则常数m的取值范围为_____________.
考法2用待定系数法确定一次函数表达式例2(2020·河北)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l'.
(1)求直线l的解析式;(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长;(3)设直线y=a与直线l,l'及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值.
方法总结 确定一次函数表达式常用待定系数法.一次函数y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是(0,b)和 .
对应练4(2020·江苏南京)将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90 °,所得到的图象对应的函数表达式是_____________.
对应练5(2020·北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.
解 (1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)由y=x平移得到,∴k=1.将点(1,2)代入y=x+b可得b=1,∴一次函数的解析式为y=x+1.(2)当x>1时,函数y=mx(m≠0)的函数值都大于y=x+1,即图象在y=x+1上方,由右图可知:临界值为当x=1时,两条直线都过点(1,2),∴当x>1,m>2时,y=mx(m≠0)都大于y=x+1.又∵x>1,∴m可取值2,即m=2.∴m的取值范围为m≥2.
考法3一次函数的应用例3 (2020·四川乐山)某汽车运输公司为了满足市场需要,推出商务车和轿车对外租赁业务.下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表:(1)如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1 320元,求一辆轿车的单程租金为多少元?(2)某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训,拟单程租用商务车或轿车前往.在不超载的情况下,怎样设计租车方案才能使所付租金最少?
解 (1)设租用一辆轿车的租金为x元.由题意得,300×2+3x=1 320.解得x=240.答:租用一辆轿车的租金为240元.
③若混和租用两种车,设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元.由6m+4n=34,得4n=-6m+34,∴W=300m+60(-6m+34)=-60m+2 040.∵-6m+34=4n≥0,∴m≤ ,∴1≤m≤5,且m为整数.∵W随m的增大而减小,∴当m=5时,W有最小值1 740,此时n=1,综上,租用商务车5辆和轿车1辆时,所付租金最少为1 740元.
方法2:设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元.∵m为整数,∴m只能取0,1,2,3,4,5,故租车方案有:不租商务车,则需租9辆轿车,所需租金为9×240=2 160(元);
租1辆商务车,则需租7辆轿车,所需租金为1×300+7×240=1 980(元);租2辆商务车,则需租6辆轿车,所需租金为2×300+6×240=2 040(元);租3辆商务车,则需租4辆轿车,所需租金为3×300+4×240=1 860(元);租4辆商务车,则需租3辆轿车,所需租金为4×300+3×240=1 920(元);租5辆商务车,则需租1辆轿车,所需租金为5×300+1×240=1 740(元).由此可见,最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆,此时所付租金最少,为1 740元.
方法总结 利用一次函数解决实际问题,其关键在于正确理解自变量、函数的意义,找出函数与自变量存在的数量关系,从而得出函数解析式,根据自变量的取值范围结合函数的变化趋势进行求解.
对应练6(2020·上海)小明从家步行到学校需走的路程为1 800米.图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(单位:米)与时间t(单位:分钟)的函数关系,根据图象提供的信息,当小明从家出发去学校步行15分钟时,到学校还需步行_____________米.
答案 350解析 当8≤t≤20时,设s=kt+b,将(8,960),(20,1 800)代入,得∴s=70t+400.当t=15时,s=1 450,1 800-1 450=350,∴当小明从家出发去学校步行15分钟时,到学校还需步行350米,故答案为350.
对应练7(2020·辽宁大连)甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发,匀速上升60 min,右图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y(单位:m)与气球上升时间x(单位:min)的函数图象.
(1)求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式.(2)当这两个气球的海拔高度相差15 m时,求上升的时间.
对应练8(2020·四川成都)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本价为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12≤x<24)满足一次函数的关系,部分数据如下表:(1)求y与x的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.
解 (1)设一次函数的函数关系式为y=kx+b(k≠0).将x=12,y=1 200代入函数得12k+b=1 200.将x=13,y=1 100代入函数得13k+b=1 100.∴一次函数的函数关系式为y=-100x+2 400.(2)设商家线上和线下的月利润总和为w元,由题意可得w=400(x-2-10)+y(x-10).将y=-100x+2 400代入可得w=-100(x-19)2+7 300.∴当线下售价定为19元/件时,月利润总和最大,此时最大利润是7 300元.
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