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2022届初中数学一轮复习 第11讲 反比例函数及其应用 课件
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这是一份2022届初中数学一轮复习 第11讲 反比例函数及其应用 课件，共58页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，数学文化探索，Part1，答案2，Part2，Part3，答案D，答案-1等内容，欢迎下载使用。
命题点1 反比例函数表达式的确定1.(2019·安徽,5,4分)已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y= 的图象上,则实数k的值为( )
答案 A解析 点A(1,-3)关于x轴的对称点A'的坐标为(1,3),把A'(1,3)代入y= 得k=1×3=3.故选A.
命题点2 反比例函数的图象和性质2.(2015·安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y= 与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,m).(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y= 图象上的两点,且x1y2,不合题意,舍去;当x1<00,y1y2,不合题意,舍去.综上所述,点M在第三象限,点N在第一象限.
命题点3 反比例函数的应用3.提示:见第8讲第7题.命题点4 反比例函数与一次函数的综合4.(2020·安徽,13,5)如图,一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B,与反比例函数y= 上的图象在第一象限内交于点C,CD⊥x轴,CE⊥y轴,垂足分别为点D,E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时,k的值为_____________.
5.(2018·安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是_____________.
考点一 反比例函数及其图象和性质(低频考点) 1.反比例函数的定义 (1)一般地,如果两个变量y与x的关系可以表示成 (k是常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数. (2)反比例函数 中的 是一个分式,所以自变量x≠0 ,函数图象与x轴、y轴无交点. (3)反比例函数表达式可以写成xy=k(k≠0),它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积,总等于已知常数k.
2.反比例函数表达式的确定(10年1考)待定系数法求表达式的步骤:(1)设出反比例函数表达式 (k≠0);(2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b);(3)将P(a,b)代入表达式得k=ab ; (4)确定反比例函数表达式为 .
3.图象和性质(10年4考)(1)反比例函数 (k≠0,k为常数)的图象是双曲线,且关于原点 对称. (2)反比例函数的图象和性质
(3)反比例函数值比较大小的方法①直接代入求解:将各自对应的横坐标值代入反比例函数表达式求出y值,直接比较;②增减性判断:先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减性,再看两点是否在同一分支上,若不在同一分支上,则可直接判断,若在同一分支上,利用增减性判断.
考点二 反比例函数k的几何意义(中频考点) 1.如图,过双曲线上任意一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵ ,∴xy=k.∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k| . 2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一条坐标轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF= ,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为 .
3.计算与反比例函数 (k>0)上点有关的图形面积S△APP'=2|k| S△ABC=|k| S▱ABCD=|k|
考点三 反比例函数与一次函数结合(高频考点)
如图,过交点A(xa,ya),B(xb,yb)分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,相应标为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.1.在Ⅰ,Ⅲ部分,反比例函数图象位于一次函数图象上方,则不等式ax+b< 的解集为x 的解集为xbxa .
考点四 反比例函数的实际应用(低频考点) 1.利用反比例函数的性质解决实际问题的步骤(1)分析问题中的数量关系,列出函数关系式;(2)研究自变量的取值范围;(3)研究所得函数;(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值;(5)解决提出的实际问题.2.实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时对应的函数图象应是双曲线的一部分.
考法1反比例函数表达式的确定例1(2020·上海)已知反比例函数的图象经过点(2,-4),那么这个反比例函数的表达式是( )
方法总结 求反比例函数的表达式,只要知道函数图象上一个点的坐标或一对对应的函数值,代入函数表达式,即可利用待定系数法求出比例系数k的值.
对应练1(2020·黑龙江大兴安岭)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在y轴上,点C坐标为(2,-2),并且AO∶BO=1∶2,点D在函数y= (x>0)的图象上,则k的值为_____________.
答案 2解析 如图,∵点C坐标为(2,-2),∴矩形OBCE的面积=2×2=4,∵AO∶BO=1∶2,∴矩形AOED的面积=2,∵点D在函数y= (x>0)的图象上,∴k=2.
对应练2(2020·陕西)在平面直角坐标系中,点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y= (k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为_____________.
考法2反比例函数的图象和性质例2 (2020·浙江嘉兴、舟山)经过实验获得两个变量x(x>0),y(y>0)的一组对应值如下表.(1)请画出相应函数的图象,并求出函数表达式.(2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上.若x1
对应练3(2020·天津)若点A(x1,-5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y= 的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x1
答案 3解析 ∵过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足为B,C,∴AB×AC=|k|=3,则四边形OBAC的面积为3.
对应练5(2020·浙江湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在第一象限,反比例函数y= (x>0)的图象经过OA的中点C交AB于点D,连接CD.若△ACD的面积是2,则k的值是_____________.
考法3反比例函数的应用例3 (2020·浙江台州)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,每次训练题目难度相当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间y(单位:秒)与训练次数x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为400秒.
(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当x的值为6,8,10时,对应的函数值分别为y1,y2,y3,比较(y1-y2)与(y2-y3)的大小.
方法总结 利用反比例函数解决实际问题,主要是根据题目所给图象或表格等求出反比例函数的表达式,再利用反比例函数的性质解决问题.
对应练6(2020·湖南长沙)2019年10月,《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站的设计方案,该方案以三湘四水,杜鹃花开为主题,塑造出杜鹃花开的美丽姿态,该高铁站建设初期需要运送大量的土石方,某运输公司承担了运送总量为106 m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(单位:m3/天)与完成运送任务所需的时间t(单位:天)之间的函数关系式是( )
对应练7(2020·山东临沂)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.当R=4 Ω时,I=9 A.(1)写出I关于R的函数解析式;(2)完成下表,并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象;
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A.那么用电器可变电阻应控制在什么范围内?
(2)填表如下:函数图象如下:
考法4反比例函数与一次函数的综合例4(2020·四川乐山)如图,已知点A(-2,-2)在双曲线y= 上,过点A的直线与双曲线的另一支交于点B(1,a).(1)求直线AB的解析式;(2)过点B作BC⊥x轴于点C,连接AC,过点C作CD⊥AB于点D.求线段CD的长.
对应练8(2020·四川成都)在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(3,4),过点A的直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B,C两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍,求此直线的函数表达式.
对应练9(2020·山东泰安)如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(3,a),点B(14-2a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)若一次函数图象与y轴交于点C,点D为点C关于原点O的对称点,求S△ACD的面积.
当x=0时,y=6.∴点C的坐标是(0,6).∴OC=6.∵点D是点C关于原点O的对称点,∴CD=2OC.作AE⊥y轴于点E,∴AE=3.S△ACD= CD·AE=CO·AE=6×3=18.
帕普斯与三等分角帕普斯(Pappus)是古希腊数学家,生活于3~4世纪,他是亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家,生前有大量著作,但只有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》对数学史具有重大的意义.
1.三等分角是古希腊三大几何问题之一,如今数学上已证实这个问题用尺规作图无解.但是帕普斯利用反比例函数的图象及性质解决了此问题,方法如下:如图,将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,角的一边OA与y= (x>0)的图象交于点P,以P为圆心,以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M,Q,连接OM得到∠MOB.(1)求证:点Q在直线OM上;(2)你能说明∠MOB= ∠AOB的理由吗?(3)当给定的已知角是钝角或直角时,你还会求三等分角吗?
(3)解 当给定的已知角是钝角或直角时,先作出钝角或直角的一半,按第(2)问方法先将此钝角的一半(锐角)三等分,进而再作一个角与已作角的角相等即可得到钝角或直角的三等分角.
2.(2018·湖北宜昌)如图,一块砖的A,B,C三个面的面积比是4∶2∶1.如果A,B,C面分别向下放在地上,地面所受压强为p1,p2,p3.压强的计算公式为p= ,其中p是压强,F是压力,S是受力面积.则p1,p2,p3的大小关系正确的是( )A.p1>p2>p3 B.p1>p3>p2C.p2>p1>p3D.p3>p2>p1
答案 D解析 ∵砖的质量一定,∴压力F是固定的,∴p与S成反比,S越大,p越小.∵A,B,C三个面的面积比为4∶2∶1,∴p3>p2>p1.
命题点1 反比例函数表达式的确定1.(2019·安徽,5,4分)已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y= 的图象上,则实数k的值为( )
答案 A解析 点A(1,-3)关于x轴的对称点A'的坐标为(1,3),把A'(1,3)代入y= 得k=1×3=3.故选A.
命题点2 反比例函数的图象和性质2.(2015·安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y= 与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,m).(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y= 图象上的两点,且x1
命题点3 反比例函数的应用3.提示:见第8讲第7题.命题点4 反比例函数与一次函数的综合4.(2020·安徽,13,5)如图,一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B,与反比例函数y= 上的图象在第一象限内交于点C,CD⊥x轴,CE⊥y轴,垂足分别为点D,E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时,k的值为_____________.
5.(2018·安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是_____________.
考点一 反比例函数及其图象和性质(低频考点) 1.反比例函数的定义 (1)一般地,如果两个变量y与x的关系可以表示成 (k是常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数. (2)反比例函数 中的 是一个分式,所以自变量x≠0 ,函数图象与x轴、y轴无交点. (3)反比例函数表达式可以写成xy=k(k≠0),它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积,总等于已知常数k.
2.反比例函数表达式的确定(10年1考)待定系数法求表达式的步骤:(1)设出反比例函数表达式 (k≠0);(2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b);(3)将P(a,b)代入表达式得k=ab ; (4)确定反比例函数表达式为 .
3.图象和性质(10年4考)(1)反比例函数 (k≠0,k为常数)的图象是双曲线,且关于原点 对称. (2)反比例函数的图象和性质
(3)反比例函数值比较大小的方法①直接代入求解:将各自对应的横坐标值代入反比例函数表达式求出y值,直接比较;②增减性判断:先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减性,再看两点是否在同一分支上,若不在同一分支上,则可直接判断,若在同一分支上,利用增减性判断.
考点二 反比例函数k的几何意义(中频考点) 1.如图,过双曲线上任意一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵ ,∴xy=k.∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k| . 2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一条坐标轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF= ,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为 .
3.计算与反比例函数 (k>0)上点有关的图形面积S△APP'=2|k| S△ABC=|k| S▱ABCD=|k|
考点三 反比例函数与一次函数结合(高频考点)
如图,过交点A(xa,ya),B(xb,yb)分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,相应标为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.1.在Ⅰ,Ⅲ部分,反比例函数图象位于一次函数图象上方,则不等式ax+b< 的解集为x
考点四 反比例函数的实际应用(低频考点) 1.利用反比例函数的性质解决实际问题的步骤(1)分析问题中的数量关系,列出函数关系式;(2)研究自变量的取值范围;(3)研究所得函数;(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值;(5)解决提出的实际问题.2.实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时对应的函数图象应是双曲线的一部分.
考法1反比例函数表达式的确定例1(2020·上海)已知反比例函数的图象经过点(2,-4),那么这个反比例函数的表达式是( )
方法总结 求反比例函数的表达式,只要知道函数图象上一个点的坐标或一对对应的函数值,代入函数表达式,即可利用待定系数法求出比例系数k的值.
对应练1(2020·黑龙江大兴安岭)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在y轴上,点C坐标为(2,-2),并且AO∶BO=1∶2,点D在函数y= (x>0)的图象上,则k的值为_____________.
答案 2解析 如图,∵点C坐标为(2,-2),∴矩形OBCE的面积=2×2=4,∵AO∶BO=1∶2,∴矩形AOED的面积=2,∵点D在函数y= (x>0)的图象上,∴k=2.
对应练2(2020·陕西)在平面直角坐标系中,点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y= (k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为_____________.
考法2反比例函数的图象和性质例2 (2020·浙江嘉兴、舟山)经过实验获得两个变量x(x>0),y(y>0)的一组对应值如下表.(1)请画出相应函数的图象,并求出函数表达式.(2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上.若x1
对应练3(2020·天津)若点A(x1,-5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y= 的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x1
答案 3解析 ∵过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足为B,C,∴AB×AC=|k|=3,则四边形OBAC的面积为3.
对应练5(2020·浙江湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在第一象限,反比例函数y= (x>0)的图象经过OA的中点C交AB于点D,连接CD.若△ACD的面积是2,则k的值是_____________.
考法3反比例函数的应用例3 (2020·浙江台州)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,每次训练题目难度相当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间y(单位:秒)与训练次数x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为400秒.
(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当x的值为6,8,10时,对应的函数值分别为y1,y2,y3,比较(y1-y2)与(y2-y3)的大小.
方法总结 利用反比例函数解决实际问题,主要是根据题目所给图象或表格等求出反比例函数的表达式,再利用反比例函数的性质解决问题.
对应练6(2020·湖南长沙)2019年10月,《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站的设计方案,该方案以三湘四水,杜鹃花开为主题,塑造出杜鹃花开的美丽姿态,该高铁站建设初期需要运送大量的土石方,某运输公司承担了运送总量为106 m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(单位:m3/天)与完成运送任务所需的时间t(单位:天)之间的函数关系式是( )
对应练7(2020·山东临沂)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.当R=4 Ω时,I=9 A.(1)写出I关于R的函数解析式;(2)完成下表,并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象;
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A.那么用电器可变电阻应控制在什么范围内?
(2)填表如下:函数图象如下:
考法4反比例函数与一次函数的综合例4(2020·四川乐山)如图,已知点A(-2,-2)在双曲线y= 上,过点A的直线与双曲线的另一支交于点B(1,a).(1)求直线AB的解析式;(2)过点B作BC⊥x轴于点C,连接AC,过点C作CD⊥AB于点D.求线段CD的长.
对应练8(2020·四川成都)在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(3,4),过点A的直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B,C两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍,求此直线的函数表达式.
对应练9(2020·山东泰安)如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(3,a),点B(14-2a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)若一次函数图象与y轴交于点C,点D为点C关于原点O的对称点,求S△ACD的面积.
当x=0时,y=6.∴点C的坐标是(0,6).∴OC=6.∵点D是点C关于原点O的对称点,∴CD=2OC.作AE⊥y轴于点E,∴AE=3.S△ACD= CD·AE=CO·AE=6×3=18.
帕普斯与三等分角帕普斯(Pappus)是古希腊数学家,生活于3~4世纪,他是亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家,生前有大量著作,但只有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》对数学史具有重大的意义.
1.三等分角是古希腊三大几何问题之一,如今数学上已证实这个问题用尺规作图无解.但是帕普斯利用反比例函数的图象及性质解决了此问题,方法如下:如图,将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,角的一边OA与y= (x>0)的图象交于点P,以P为圆心,以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M,Q,连接OM得到∠MOB.(1)求证:点Q在直线OM上;(2)你能说明∠MOB= ∠AOB的理由吗?(3)当给定的已知角是钝角或直角时,你还会求三等分角吗?
(3)解 当给定的已知角是钝角或直角时,先作出钝角或直角的一半,按第(2)问方法先将此钝角的一半(锐角)三等分,进而再作一个角与已作角的角相等即可得到钝角或直角的三等分角.
2.(2018·湖北宜昌)如图,一块砖的A,B,C三个面的面积比是4∶2∶1.如果A,B,C面分别向下放在地上,地面所受压强为p1,p2,p3.压强的计算公式为p= ,其中p是压强,F是压力,S是受力面积.则p1,p2,p3的大小关系正确的是( )A.p1>p2>p3 B.p1>p3>p2C.p2>p1>p3D.p3>p2>p1
答案 D解析 ∵砖的质量一定,∴压力F是固定的,∴p与S成反比,S越大,p越小.∵A,B,C三个面的面积比为4∶2∶1,∴p3>p2>p1.
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