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2022届初中数学一轮复习 第22讲 圆的有关概念与性质 课件
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这是一份2022届初中数学一轮复习 第22讲 圆的有关概念与性质 课件，共52页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，数学文化探索，Part1，Part2，圆的有关概念，Part3，答案A，答案C等内容，欢迎下载使用。
1.(2020·安徽,9,4)已知点A,B,C在☉O上.则下列命题为真命题的是( )A.若半径OB平分弦AC.则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形.则∠ABC=120°C.若∠ABC=120°.则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB.则半径OB平分弦AC
命题点1 垂径定理及其推论
答案 B解析 A.∵半径OB平分弦AC,∴OB⊥AC,AB=BC,不能判断四边形OABC是平行四边形,假命题;B.∵四边形OABC是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC是菱形,∴OA=AB=OB,OA∥BC,∴△OAB是等边三角形,∴∠OAB=60°,∴∠ABC=120°,真命题;C.∵∠ABC=120°,∴∠AOC=120°,不能判断出弦AC平分半径OB,假命题;D.只有当弦AC垂直平分半径OB时,半径OB平分弦AC,所以是假命题,故选B.
2.提示:见第19讲第6题.
命题点2 圆周角定理及其推论3.(2020·安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.
证明 (1)∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL).(2)∵BE=BF,由(1)知BC⊥EF,∴∠E=∠BFE.∵BE是半圆O所在圆的切线,∴∠ABE=90°,∴∠E+∠BAE=90°.由(1)知∠D=90°,∴∠DAF+∠AFD=90°.∵∠AFD=∠BFE,∴∠AFD=∠E,∴∠DAF=90°-∠AFD,∠BAF=90°-∠E,∴∠DAF=∠BAF,∴AC平分∠DAB.
4.(2019·安徽,13,5分)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为 .
解析 连接CO,OB,则∠O=2∠A=60°,∵OC=OB,∴△BOC是等边三角形,∵☉O的半径为2,∴BC=2,∵CD⊥AB,∠CBA=45°,
5.(2017·安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆☉O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.
证明(1)由圆周角定理得,∠B=∠E.又∠B=∠D,∴∠E=∠D.∵CE∥AD,∴∠D+∠ECD=180°.∴∠E+∠ECD=180°.∴AE∥CD.∴四边形AECD为平行四边形.
(2)如图,作OM⊥BC于点M,ON⊥CE于点N,∵四边形AECD为平行四边形,∴AD=CE.又AD=BC,∴CE=CB.∴OM=ON.又OM⊥BC,ON⊥CE,∴CO平分∠BCE.
6.(2016·安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
答案 B解析 ∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴OP=OA=OB(直角三角形斜边中线等于斜边一半),∴点P在以AB为直径的☉O上,连接OC交☉O于点P,此时PC最小,在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴PC=OC-OP=5-3=2.∴PC最小值为2.
命题点3 圆内接四边形7.(2012·安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在☉O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=_____________.
答案 60°解析 法一:连接DO并延长,∵四边形OABC为平行四边形,∴∠B=∠AOC,∵∠AOC=2∠ADC,∴∠B=2∠ADC,∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠B+∠ADC=180°,∴3∠ADC=180°,∴∠ADC=60°,∴∠B=∠AOC=120°,∵∠1=∠OAD+∠ADO,∠2=∠OCD+∠CDO,∴∠OAD+∠OCD=(∠1+∠2)-(∠ADO+∠CDO)=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°.
法二:连接OB,∵四边形OABC为平行四边形,∴AB=OC=OB=OA=BC,∴△OAB和△OBC都为等边三角形,∴∠OAB=∠OCB=60°,∵ABCD为圆的内接四边形,∴∠DAB+∠DCB=180°,∴∠OAD+∠OCD=180°-60°-60°=60°
命题点4 圆的性质8.(2015·安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
考点一 圆的有关概念和性质(低频考点) 1.圆的定义在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周 ,另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.
3.圆的性质(10年1考)(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径 所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心. (2)圆的确定:不在同一直线上的三 个点确定一个圆.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心 ,这个三角形叫做圆的内接三角形,三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.
考点二 垂径分弦(高频考点)
考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(低频考点) 1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距 相等. 推论:(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等 . (2)弧的度数等于它所对的圆心角的度数.
考点四 圆周角定理及其推论(高频考点)
考点五 圆的内接四边形(低频考点) 1.如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的内接多边形 ,这个圆叫做这个多边形的外接圆 . 2.圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角互补 .
考法1垂径定理及其推论
例1(2019·安徽合肥庐阳二模)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AC于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若BD=12 cm,AE=4 cm,则OF的长度是( )
方法总结 在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和该弦的弦心距构成了以半径为斜边的直角三角形,这种密切关系是解决圆中有关弦、弦心距和半径的计算问题的关键.
对应练1(2020·广东广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为( )A.8 cmB.10 cmC.16 cmD.20 cm
对应练2(2020·浙江湖州)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是_____________.
考法2圆周角定理及其推论例2(2020·江苏扬州)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sin∠ADC的值为( )
方法总结 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等;一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半;有直径时,一般添加辅助线得到直径所对的圆周角,构造直角三角形解决问题.
对应练3(2020·吉林长春)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BDC=20°,则∠AOC的大小为( )A.40°B.140°C.160°D.170°
对应练4(2020·海南)如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD等于( )A.54°B.56°C.64°D.66°
考法3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系例3(2019·安徽一模)已知☉O的直径CD为2,弧AC所对圆心角的度数为80°,点B是弧AC的中点,点P在直径CD上移动,则BP+AP的最小值为( )A.1 B.2
答案 D解析 如图,过点B作关于CD的对称点B',连接AB'交CD于点P,延长AO交☉O于点E,连接B'E,连接OB'.
方法总结 圆周角定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这一前提条件定理不成立.
对应练5(2020·四川眉山)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为( )A.55°B.60°C.65°D.70°
对应练6(2020·湖北武汉)如图,在半径为3的☉O中,AB是直径,AC是弦,D是 的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是( )
考法4圆内接四边形例4(2020·黑龙江牡丹江)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD.若 ,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是( )A.125° B.130°C.135°D.140°
答案 B解析 连接OA,OB,OC,∵∠BDC=50°,∴∠BOC=2∠BDC=100°.∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
方法总结 在圆中计算角度时,一般都是利用圆周角的性质进行转化.另外,“直径所对的圆周角是直角”“圆内接四边形对角互补”也是圆中求角的度数时常用的基本知识.
对应练7(2020·浙江湖州)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是( )A.70° B.110°C.130° D.140°
对应练8(2020·湖南张家界)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠BCD为120°,则∠BOD的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°
《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部,成书于公元一世纪左右,《九章算术》内容十分丰富,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.
《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为_____________寸.
答案 26解析 设☉O的半径为r寸.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,∴☉O的直径为26寸.
1.(2020·安徽,9,4)已知点A,B,C在☉O上.则下列命题为真命题的是( )A.若半径OB平分弦AC.则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形.则∠ABC=120°C.若∠ABC=120°.则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB.则半径OB平分弦AC
命题点1 垂径定理及其推论
答案 B解析 A.∵半径OB平分弦AC,∴OB⊥AC,AB=BC,不能判断四边形OABC是平行四边形,假命题;B.∵四边形OABC是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC是菱形,∴OA=AB=OB,OA∥BC,∴△OAB是等边三角形,∴∠OAB=60°,∴∠ABC=120°,真命题;C.∵∠ABC=120°,∴∠AOC=120°,不能判断出弦AC平分半径OB,假命题;D.只有当弦AC垂直平分半径OB时,半径OB平分弦AC,所以是假命题,故选B.
2.提示:见第19讲第6题.
命题点2 圆周角定理及其推论3.(2020·安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.
证明 (1)∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL).(2)∵BE=BF,由(1)知BC⊥EF,∴∠E=∠BFE.∵BE是半圆O所在圆的切线,∴∠ABE=90°,∴∠E+∠BAE=90°.由(1)知∠D=90°,∴∠DAF+∠AFD=90°.∵∠AFD=∠BFE,∴∠AFD=∠E,∴∠DAF=90°-∠AFD,∠BAF=90°-∠E,∴∠DAF=∠BAF,∴AC平分∠DAB.
4.(2019·安徽,13,5分)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为 .
解析 连接CO,OB,则∠O=2∠A=60°,∵OC=OB,∴△BOC是等边三角形,∵☉O的半径为2,∴BC=2,∵CD⊥AB,∠CBA=45°,
5.(2017·安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆☉O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.
证明(1)由圆周角定理得,∠B=∠E.又∠B=∠D,∴∠E=∠D.∵CE∥AD,∴∠D+∠ECD=180°.∴∠E+∠ECD=180°.∴AE∥CD.∴四边形AECD为平行四边形.
(2)如图,作OM⊥BC于点M,ON⊥CE于点N,∵四边形AECD为平行四边形,∴AD=CE.又AD=BC,∴CE=CB.∴OM=ON.又OM⊥BC,ON⊥CE,∴CO平分∠BCE.
6.(2016·安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
答案 B解析 ∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴OP=OA=OB(直角三角形斜边中线等于斜边一半),∴点P在以AB为直径的☉O上,连接OC交☉O于点P,此时PC最小,在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴PC=OC-OP=5-3=2.∴PC最小值为2.
命题点3 圆内接四边形7.(2012·安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在☉O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=_____________.
答案 60°解析 法一:连接DO并延长,∵四边形OABC为平行四边形,∴∠B=∠AOC,∵∠AOC=2∠ADC,∴∠B=2∠ADC,∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠B+∠ADC=180°,∴3∠ADC=180°,∴∠ADC=60°,∴∠B=∠AOC=120°,∵∠1=∠OAD+∠ADO,∠2=∠OCD+∠CDO,∴∠OAD+∠OCD=(∠1+∠2)-(∠ADO+∠CDO)=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°.
法二:连接OB,∵四边形OABC为平行四边形,∴AB=OC=OB=OA=BC,∴△OAB和△OBC都为等边三角形,∴∠OAB=∠OCB=60°,∵ABCD为圆的内接四边形,∴∠DAB+∠DCB=180°,∴∠OAD+∠OCD=180°-60°-60°=60°
命题点4 圆的性质8.(2015·安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
考点一 圆的有关概念和性质(低频考点) 1.圆的定义在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周 ,另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.
3.圆的性质(10年1考)(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径 所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心. (2)圆的确定:不在同一直线上的三 个点确定一个圆.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心 ,这个三角形叫做圆的内接三角形,三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.
考点二 垂径分弦(高频考点)
考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(低频考点) 1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距 相等. 推论:(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等 . (2)弧的度数等于它所对的圆心角的度数.
考点四 圆周角定理及其推论(高频考点)
考点五 圆的内接四边形(低频考点) 1.如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的内接多边形 ,这个圆叫做这个多边形的外接圆 . 2.圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角互补 .
考法1垂径定理及其推论
例1(2019·安徽合肥庐阳二模)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AC于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若BD=12 cm,AE=4 cm,则OF的长度是( )
方法总结 在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和该弦的弦心距构成了以半径为斜边的直角三角形,这种密切关系是解决圆中有关弦、弦心距和半径的计算问题的关键.
对应练1(2020·广东广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为( )A.8 cmB.10 cmC.16 cmD.20 cm
对应练2(2020·浙江湖州)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是_____________.
考法2圆周角定理及其推论例2(2020·江苏扬州)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sin∠ADC的值为( )
方法总结 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等;一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半;有直径时,一般添加辅助线得到直径所对的圆周角,构造直角三角形解决问题.
对应练3(2020·吉林长春)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BDC=20°,则∠AOC的大小为( )A.40°B.140°C.160°D.170°
对应练4(2020·海南)如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD等于( )A.54°B.56°C.64°D.66°
考法3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系例3(2019·安徽一模)已知☉O的直径CD为2,弧AC所对圆心角的度数为80°,点B是弧AC的中点,点P在直径CD上移动,则BP+AP的最小值为( )A.1 B.2
答案 D解析 如图,过点B作关于CD的对称点B',连接AB'交CD于点P,延长AO交☉O于点E,连接B'E,连接OB'.
方法总结 圆周角定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这一前提条件定理不成立.
对应练5(2020·四川眉山)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为( )A.55°B.60°C.65°D.70°
对应练6(2020·湖北武汉)如图,在半径为3的☉O中,AB是直径,AC是弦,D是 的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是( )
考法4圆内接四边形例4(2020·黑龙江牡丹江)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD.若 ,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是( )A.125° B.130°C.135°D.140°
答案 B解析 连接OA,OB,OC,∵∠BDC=50°,∴∠BOC=2∠BDC=100°.∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
方法总结 在圆中计算角度时,一般都是利用圆周角的性质进行转化.另外,“直径所对的圆周角是直角”“圆内接四边形对角互补”也是圆中求角的度数时常用的基本知识.
对应练7(2020·浙江湖州)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是( )A.70° B.110°C.130° D.140°
对应练8(2020·湖南张家界)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠BCD为120°,则∠BOD的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°
《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部,成书于公元一世纪左右,《九章算术》内容十分丰富,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.
《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为_____________寸.
答案 26解析 设☉O的半径为r寸.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,∴☉O的直径为26寸.
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