2021-2022学年湘教版九年级上册数学期末练习试卷（word版 含答案）

这是一份2021-2022学年湘教版九年级上册数学期末练习试卷（word版 含答案），共19页。试卷主要包含了已知反比例函数y＝，若关于x的一元二次方程，对于抛物线y＝﹣等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湘教新版九年级上学期数学期末练习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象在二、四象限，点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在此函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
3．关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根
4．对于抛物线y＝﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（　　）
①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x＝﹣2；
③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
6．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则AD＝（　　）

A．2 B．1 C． D．
7．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（　　）

A． B． C． D．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝　 　．
10．当x＝　 　时，代数式x2+8x﹣5的值等于4．
11．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值＝　 　．
12．已知a＝4，b＝9，c是a，b的比例中项，则c＝　 　．
13．如图，AB∥CD∥EF，若，则DF＝　 　．

14．反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y＝和y＝的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为　 　．

15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△ABC的面积是16，则△BEO的面积为　 　．

16．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是　 　．

三．解答题（共10小题，满分72分）
17．解方程：x2+4x﹣1＝0．
18．计算：2cos45°+（﹣）﹣1+（2020﹣）0+|2﹣|．
19．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．
①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．
②如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

20．如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD的面积为150m2，求AB的长．

21．如图，已知∠B＝∠C＝90°，点E在BC上，且满足AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，
求证：AE⊥DE．

22．在△ABC中，AD是边BC上的高，点D在线段BC上，且有tan∠BAD+tan∠CAD＝，BC＝5，AC＝．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）求cosB×sinC；
（Ⅲ）求△ABC中AB上的中线长．
23．某中学为了了解学生的课外阅读情况，进行了抽样调查（每名学生仅选一项），根据调查结果绘制了尚不完整的频数分布表：
类别
频数（人数）
频率
科普
　 　
0.44
文学
60
0.3
艺术
30
　 　
其他
22
0.11
合计
　 　
1
（1）补全上面的统计表；
（2）在本次抽样调查中，最喜爱阅读哪类读物的学生人数最多？
（3）根据以上调查结果，估计该校1800名学生中最喜爱阅读文学读物的约有多少人？
24．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．

25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝4，求的值．

26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（1，0），B（﹣3，0），抛物线顶点为D．
（1）①求出抛物线的解析式；
②顶点D的坐标为 　 　；
③直线BD的解析式为 　 　；
（2）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
（3）若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：∵图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y1＞0，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1，即y1＞y3＞y2．
故选：C．
2．解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，
而a+1≠0，
所以a＝1．
故选：A．
3．解：∵Δ＝42﹣4×1×2＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．解：
∵y＝﹣（x+2）2+3，
∴抛物线开口向下、对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；
在y＝﹣（x+2）2+3中，令y＝0可求得x＝﹣2+＜0，或x＝﹣2﹣＜0，
∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确；
综上可知正确的结论有4个，
故选：A．
5．解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应成比例，
∴①③相似．
故选：C．
6．解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，即，
∴CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1．
故选：B．
7．解：如图．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，

∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，
∴AB＝＝5xm，
∴A′B′＝AB＝5x（m）．
∵在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣1）m，B′C＝（3x+1）m，
∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，
解得x＝1，
∴A′C＝3m，B′C＝4m，A′B′＝5m，
∴cosβ＝．
故选：A．
8．解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．解：∵1﹣2sinA＝0，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
10．解：根据题意得：x2+8x﹣5＝4，
即x2+8x﹣9＝0，
分解因式得：（x+9）（x﹣1）＝0，
即x+9＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣9，x2＝1，
故答案为：﹣9或1．
11．解：根据题意得x1x2＝﹣3．
故答案为﹣3．
12．解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
又∵a＝4，b＝9，
∴c2＝ab＝36，
解得c＝±6．
13．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
即，
解得：DF＝15，
故答案为：15．
14．解：连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC，
而S△OAD＝×3＝，S△OBD＝×1＝，
∴S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1，
∴S△ABC＝1，
故答案为：1．

15．解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝BC，OE∥BC，
∴△AOE∽△ACB，
∴＝，
∵△ABC的面积是16，
∴S△AOE＝4，
∴S△BEO＝4．
故答案为：4．
16．解：连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）．

故答案为：（9，0）．
三．解答题（共10小题，满分72分）
17．解：∵x2+4x﹣1＝0
∴x2+4x＝1
∴x2+4x+4＝1+4
∴（x+2）2＝5
∴x＝﹣2±
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
18．解：原式＝2×﹣2+1+2﹣
＝﹣2+1+2﹣
＝1．
19．解：（1）过点P作PD⊥AB于点D．
依题意可知，PA＝100海里，∠APD＝90°﹣30°＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝90°﹣60°＝30°．
∴PD＝PA＝50（海里），
在Rt△PBD中，∠BPD＝45°，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∴PB＝PD＝50（海里）≈70.7（海里）．
答：B处距离灯塔P约70.7海里．
（2）①海轮到达B处没有触礁的危险，理由如下：
依题意知：OP＝150海里，PB＝50海里，
∴OB＝OP﹣PB＝（150﹣50）海里≈79.3海里＞60海里，
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
②过点O作OE⊥AB与E，交AB延长线于点E，
则∠OEB＝90°，
∵∠OBE＝∠PBD＝45°，
∴OE＝OBsin∠OBE＝（150﹣50）×＝75﹣50≈56.07＜60，
∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．

20．解：设AB＝xm，则BC＝（50﹣4x）m，
依题意得：x（50﹣4x）＝150，
整理得：2x2﹣25x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝．
当x＝5时，50﹣4x＝50﹣4×5＝30＞25，不合题意，舍去；
当x＝时，50﹣4x＝50﹣4×＝20＜25，符合题意．
答：AB的长为m．
21．证明：∵AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，
∴，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴∠A＝∠CED，
∵∠B＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，
∴AE⊥DE．
22．解：（Ⅰ）如图1所示：
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴tan∠BAD+tan∠CAD＝+＝＝，
∵BC＝5，
∴AD＝3；
（Ⅱ）∵AD⊥BC，AD＝3，AC＝．
∴sinC＝＝＝，CD＝＝＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵cosB＝＝，
∴cosB×sinC＝×＝；
（Ⅲ）CE为△ABC中AB上的中线，作CF⊥AB于F，如图2所示：
∵△ABC的面积＝AB×CF＝BC×AD，AB＝BC＝5，
∴CF＝AD＝3，AF＝＝1，
∵CE是△ABC中AB上的中线，
∴AE＝AB＝，
∴EF＝AE﹣AF＝，
∴CE＝＝＝，
即△ABC中AB上的中线长为．


23．解：（1）被调查的总人数为60÷0.3＝200（人）．
则科普人数为200×0.44＝88（人），艺术对应频率为30÷200＝0.15，
补全频数分布表如下：
类别
频数（人数）
频率
科普
88
0.44
文学
60
0.3
艺术
30
0.15
其他
22
0.11
合计
200
1
故答案为：88、0.15、200；
（2）在本次抽样调查中，最喜爱阅读科普类读物的学生人数最多；
（3）估计该校1800名学生中最喜爱阅读文学读物的约有1800×0.3＝540（人）．
24．解：（1）∵B（2，﹣4）在y＝上，
∴m＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
∵点A（﹣4，n）在y＝﹣上，
∴n＝2．
∴A（﹣4，2）．
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴．
解之得
．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2．

（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×2×2+×2×4＝6．

（3）不等式的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2．
25．解：（1）如图所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
又∵∠EAD＝∠ADE，
∴∠1＝∠3，
∴DE∥AB，
∴△DCE∽△BCA；
（2）设DE＝x，则AE＝x，
∵AE+CE＝AC，AC＝4，
∴CE＝4﹣x，
又∵△DCE∽△BCA，
∴，，
又∵AB＝3，
∴，
解得：x＝，
∴，
∴．
26．解：（1）①把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
②∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D的坐标为（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）；
③设直线BD的解析式为y＝kx+b，
将点B、D的坐标代入得：
，
解得，
∴直线BD的表达式为y＝2x+6，
故答案为：y＝2x+6；
（2）∵点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为2m+6，
当x＝0时，y＝0+0+3＝3，
∴C（0，3），
由题意可知：OC＝3，OF＝﹣m，EF＝2m+6，
∴S＝×（OC+EF）＝×（2m+6+3）×（﹣m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，；
（3）抛物线的对称轴为x＝﹣1，
当P点在x轴上方时，如图1，
过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，
∵∠APA'＝90°，
∴∠MPA'+∠MCP＝90°，∠MPC+∠APQ＝90°，
∴∠MCP＝∠APQ，
∵AP＝A'P，
∴△MPC≌△QAP（AAS），
∴PQ＝MC，
∴PQ＝1，
∴P（﹣1，1）；
当P点在x轴下方时，如图2，
∵AP＝A'P，∠APA'＝90°，
∴△APA'为等腰直角三角形，
∴AP＝PQ，
∴AP＝2，
∴P（﹣1，﹣2）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．