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广东省惠州市惠城区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省惠州市惠城区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省惠州市惠城区八年级（上）期末数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若（a+2）0＝1，则a的取值正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＝﹣2 C．a＜﹣2 D．a≠﹣2
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．（a2）3＝a5 C．a•a2＝a3 D．（﹣a）2＝﹣2a2
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若BC＝8cm，BD＝5cm，则DE的长为（ ）
A． B．3cm C．4cm D．5cm
5．（3分）一个n边形的各内角都等于120°，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．（3分）在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形[a＞b，如图1]，然后将剩余部分拼成一个长方形[如图2]．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b） D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
8．（3分）若x2+mx+1是完全平方式，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
9．（3分）如图的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）五边形的外角和为 ．
12．（4分）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，则x﹣y＝ ．
13．（4分）计算：＝ ．
14．（4分）化简＝ ．
15．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝ 度．
16．（4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 m．
17．（4分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
三、解答题（一）本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）分解因式：（x﹣4）（x+1）+3x．
19．（6分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为C，F，AB＝DE．求证：AC＝DF．
20．（6分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知实数a，b满足a+b＝2，ab＝，求（2a4﹣a2）÷（﹣a）2﹣（a+b）（a﹣b）的值．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知M（﹣2，2），N（﹣3，﹣1），点M与M1（0，2）关于直线l成轴对称．
（1）在题图中画出直线l及线段MN关于直线l对称的线段M1N1；
（2）求△MNN1的面积．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知：．
（1）化简A；
（2）若点（x，﹣3）与点（﹣4，﹣3）关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程A＝的解为正数，求k的取值范围．
25．（10分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，AD与BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，∠PAC、∠ACP的平分线相交于点I．
（1）当AD⊥BC时，求PD的长；
（2）求证：∠BAD＝∠CAE；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，求m，n的值．
2020-2021学年广东省惠州市惠城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据稳定性是三角形的特性解答．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有等边三角形具有稳定性．
故选：A．
2．（3分）若（a+2）0＝1，则a的取值正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＝﹣2 C．a＜﹣2 D．a≠﹣2
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而分析得出答案．
【解答】解：∵（a+2）0＝1，
∴a+2≠0，
解得：a≠﹣2．
故选：D．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．（a2）3＝a5 C．a•a2＝a3 D．（﹣a）2＝﹣2a2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（ab）2＝a2b2，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a•a2＝a3，故C符合题意；
D、（﹣a）2＝a2，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若BC＝8cm，BD＝5cm，则DE的长为（ ）
A． B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据角平分线的性质得CD＝DE，再结合已知计算即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DC，
∵DC＝BC﹣BD＝8﹣5＝3（cm），
∴DE＝3cm，
故选：B．
5．（3分）一个n边形的各内角都等于120°，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案．
【解答】解：∵n边形的各内角都等于120°，
∴每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，
∴边数n＝360°÷60°＝6．
故选：B．
6．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
7．（3分）在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形[a＞b，如图1]，然后将剩余部分拼成一个长方形[如图2]．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b） D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【分析】分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积，进而得出答案．
【解答】解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
将图的阴影部分拼成图2，图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
8．（3分）若x2+mx+1是完全平方式，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+1是完全平方式，
∴m＝±2，
故选：C．
9．（3分）如图的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】观察上面异分母分式计算过程，找出出错的步骤即可．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝，
则从第②步出现错误．
故选：B．
10．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）五边形的外角和为 360° ．
【分析】根据多边形外角和定理求解即可．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴五边形的外角和为360°，
故答案为：360°．
12．（4分）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，则x﹣y＝ 2 ．
【分析】x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，又x+y＝8，可求出x﹣y的值．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，x+y＝8，
∴x﹣y＝16÷8＝2．
故答案为：2．
13．（4分）计算：＝ ﹣ ．
【分析】分式分子分母分别乘方，再利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（4分）化简＝ a+1 ．
【分析】首先把两个分式的分母变为相同再计算．
【解答】解：原式＝﹣＝a+1．
故答案为：a+1．
15．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝ 90 度．
【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF均是直角三角形，BC＝EF，AC＝DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC＝∠DEF
∵∠DEF+∠DFE＝90°
∴∠ABC+∠DFE＝90°．
故填90
16．（4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 200 m．
【分析】首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC＝90°+30°＝120°，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，再由三角形内角和定理得∠ACB＝30°，从而求出B、C两地的距离．
【解答】解：由已知得：
∠ABC＝90°+30°＝120°，
∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BC＝AB＝200．
故答案为：200．
17．（4分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
三、解答题（一）本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）分解因式：（x﹣4）（x+1）+3x．
【分析】先去括号，合并同类项后，用平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝x2﹣3x﹣4+3x
＝x2﹣4
＝（x+2）（x﹣2）．
19．（6分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为C，F，AB＝DE．求证：AC＝DF．
【分析】根据HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣CE＝CF﹣CE，
即BC＝EF，
∵AC⊥BC，DF⊥EF，
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AC＝DF．
20．（6分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
【分析】设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器．
根据题意得：＝，
解得：x＝150．
经检验知，x＝150是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产150台机器．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知实数a，b满足a+b＝2，ab＝，求（2a4﹣a2）÷（﹣a）2﹣（a+b）（a﹣b）的值．
【分析】先根据积的乘方算乘方，再根据多项式除以单项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（2a4﹣a2）÷（﹣a）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝（2a4﹣a2）÷a2﹣（a2﹣b2）
＝2a2﹣1﹣a2+b2
＝a2+b2﹣1，
当a+b＝2，ab＝时，原式＝（a+b）2﹣2ab﹣1＝22﹣2×﹣1
＝4﹣﹣1
＝．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
【分析】（1）先根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形内角和求出∠BAC，最后利用等腰三角形的“三线合一”求∠BAD；
（2）根据BE平分∠ABC，EF∥BC即可证明．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠BAC＝38°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知M（﹣2，2），N（﹣3，﹣1），点M与M1（0，2）关于直线l成轴对称．
（1）在题图中画出直线l及线段MN关于直线l对称的线段M1N1；
（2）求△MNN1的面积．
【分析】（1）利用网格特点作MM1的垂直平分线得到直线l，然后找出与N在同一水平线上，在直线l的另一侧到l的距离为2的N1点；
（2）根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，线段M1N1为所作；
（2）△MNN1的面积＝×2×3＝3．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知：．
（1）化简A；
（2）若点（x，﹣3）与点（﹣4，﹣3）关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程A＝的解为正数，求k的取值范围．
【分析】（1）A括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）根据关于y轴对称的点横坐标相同求出x的值，代入计算即可求出A的值；
（3）把（1）化简的结果代入A＝，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，由解为正数确定出k的范围即可．
【解答】解：（1）A＝÷
＝﹣•
＝﹣
＝；
（2）∵点（x，﹣3）与点（﹣4，﹣3）关于y轴对称，
∴x＝4，
当x＝4时，A＝＝﹣；
（3）由（1）得：＝，
去分母得：x+1＝k，
解得：x＝k﹣1，
∵方程的解为正数，且x≠2
∴k﹣1＞0，k﹣1≠2，
解得：k＞1且k≠3．
25．（10分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，AD与BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，∠PAC、∠ACP的平分线相交于点I．
（1）当AD⊥BC时，求PD的长；
（2）求证：∠BAD＝∠CAE；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，求m，n的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，可得结论；
（3）由三角形内角和定理求出∠BCA，根据内心的概念得到∠IAC＝45°﹣α，∠ICA＝35°，根据三角形内角和定理得到∠AIC＝105°+α，根据不等式的性质计算即可．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴PD＝AD﹣AP＝3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE；
（3）解：设∠BAP＝α，则∠PAC＝90°﹣α，
∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∠ICA＝∠PCA＝30°，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣（45°﹣α+30°）
＝105°+α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150，
2020-2021学年广东省惠州市惠城区八年级（上）期末数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若（a+2）0＝1，则a的取值正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＝﹣2 C．a＜﹣2 D．a≠﹣2
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．（a2）3＝a5 C．a•a2＝a3 D．（﹣a）2＝﹣2a2
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若BC＝8cm，BD＝5cm，则DE的长为（ ）
A． B．3cm C．4cm D．5cm
5．（3分）一个n边形的各内角都等于120°，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．（3分）在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形[a＞b，如图1]，然后将剩余部分拼成一个长方形[如图2]．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b） D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
8．（3分）若x2+mx+1是完全平方式，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
9．（3分）如图的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）五边形的外角和为 ．
12．（4分）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，则x﹣y＝ ．
13．（4分）计算：＝ ．
14．（4分）化简＝ ．
15．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝ 度．
16．（4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 m．
17．（4分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
三、解答题（一）本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）分解因式：（x﹣4）（x+1）+3x．
19．（6分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为C，F，AB＝DE．求证：AC＝DF．
20．（6分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知实数a，b满足a+b＝2，ab＝，求（2a4﹣a2）÷（﹣a）2﹣（a+b）（a﹣b）的值．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知M（﹣2，2），N（﹣3，﹣1），点M与M1（0，2）关于直线l成轴对称．
（1）在题图中画出直线l及线段MN关于直线l对称的线段M1N1；
（2）求△MNN1的面积．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知：．
（1）化简A；
（2）若点（x，﹣3）与点（﹣4，﹣3）关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程A＝的解为正数，求k的取值范围．
25．（10分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，AD与BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，∠PAC、∠ACP的平分线相交于点I．
（1）当AD⊥BC时，求PD的长；
（2）求证：∠BAD＝∠CAE；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，求m，n的值．
2020-2021学年广东省惠州市惠城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据稳定性是三角形的特性解答．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有等边三角形具有稳定性．
故选：A．
2．（3分）若（a+2）0＝1，则a的取值正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＝﹣2 C．a＜﹣2 D．a≠﹣2
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而分析得出答案．
【解答】解：∵（a+2）0＝1，
∴a+2≠0，
解得：a≠﹣2．
故选：D．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．（a2）3＝a5 C．a•a2＝a3 D．（﹣a）2＝﹣2a2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（ab）2＝a2b2，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a•a2＝a3，故C符合题意；
D、（﹣a）2＝a2，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若BC＝8cm，BD＝5cm，则DE的长为（ ）
A． B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据角平分线的性质得CD＝DE，再结合已知计算即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DC，
∵DC＝BC﹣BD＝8﹣5＝3（cm），
∴DE＝3cm，
故选：B．
5．（3分）一个n边形的各内角都等于120°，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案．
【解答】解：∵n边形的各内角都等于120°，
∴每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，
∴边数n＝360°÷60°＝6．
故选：B．
6．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
7．（3分）在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形[a＞b，如图1]，然后将剩余部分拼成一个长方形[如图2]．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b） D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【分析】分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积，进而得出答案．
【解答】解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
将图的阴影部分拼成图2，图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
8．（3分）若x2+mx+1是完全平方式，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+1是完全平方式，
∴m＝±2，
故选：C．
9．（3分）如图的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】观察上面异分母分式计算过程，找出出错的步骤即可．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝，
则从第②步出现错误．
故选：B．
10．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）五边形的外角和为 360° ．
【分析】根据多边形外角和定理求解即可．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴五边形的外角和为360°，
故答案为：360°．
12．（4分）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，则x﹣y＝ 2 ．
【分析】x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，又x+y＝8，可求出x﹣y的值．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，x+y＝8，
∴x﹣y＝16÷8＝2．
故答案为：2．
13．（4分）计算：＝ ﹣ ．
【分析】分式分子分母分别乘方，再利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（4分）化简＝ a+1 ．
【分析】首先把两个分式的分母变为相同再计算．
【解答】解：原式＝﹣＝a+1．
故答案为：a+1．
15．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝ 90 度．
【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF均是直角三角形，BC＝EF，AC＝DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC＝∠DEF
∵∠DEF+∠DFE＝90°
∴∠ABC+∠DFE＝90°．
故填90
16．（4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 200 m．
【分析】首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC＝90°+30°＝120°，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，再由三角形内角和定理得∠ACB＝30°，从而求出B、C两地的距离．
【解答】解：由已知得：
∠ABC＝90°+30°＝120°，
∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BC＝AB＝200．
故答案为：200．
17．（4分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
三、解答题（一）本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）分解因式：（x﹣4）（x+1）+3x．
【分析】先去括号，合并同类项后，用平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝x2﹣3x﹣4+3x
＝x2﹣4
＝（x+2）（x﹣2）．
19．（6分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC，DF⊥EF，垂足分别为C，F，AB＝DE．求证：AC＝DF．
【分析】根据HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣CE＝CF﹣CE，
即BC＝EF，
∵AC⊥BC，DF⊥EF，
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AC＝DF．
20．（6分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
【分析】设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器．
根据题意得：＝，
解得：x＝150．
经检验知，x＝150是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产150台机器．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知实数a，b满足a+b＝2，ab＝，求（2a4﹣a2）÷（﹣a）2﹣（a+b）（a﹣b）的值．
【分析】先根据积的乘方算乘方，再根据多项式除以单项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（2a4﹣a2）÷（﹣a）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝（2a4﹣a2）÷a2﹣（a2﹣b2）
＝2a2﹣1﹣a2+b2
＝a2+b2﹣1，
当a+b＝2，ab＝时，原式＝（a+b）2﹣2ab﹣1＝22﹣2×﹣1
＝4﹣﹣1
＝．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．
【分析】（1）先根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形内角和求出∠BAC，最后利用等腰三角形的“三线合一”求∠BAD；
（2）根据BE平分∠ABC，EF∥BC即可证明．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠BAC＝38°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知M（﹣2，2），N（﹣3，﹣1），点M与M1（0，2）关于直线l成轴对称．
（1）在题图中画出直线l及线段MN关于直线l对称的线段M1N1；
（2）求△MNN1的面积．
【分析】（1）利用网格特点作MM1的垂直平分线得到直线l，然后找出与N在同一水平线上，在直线l的另一侧到l的距离为2的N1点；
（2）根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，线段M1N1为所作；
（2）△MNN1的面积＝×2×3＝3．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知：．
（1）化简A；
（2）若点（x，﹣3）与点（﹣4，﹣3）关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程A＝的解为正数，求k的取值范围．
【分析】（1）A括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）根据关于y轴对称的点横坐标相同求出x的值，代入计算即可求出A的值；
（3）把（1）化简的结果代入A＝，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，由解为正数确定出k的范围即可．
【解答】解：（1）A＝÷
＝﹣•
＝﹣
＝；
（2）∵点（x，﹣3）与点（﹣4，﹣3）关于y轴对称，
∴x＝4，
当x＝4时，A＝＝﹣；
（3）由（1）得：＝，
去分母得：x+1＝k，
解得：x＝k﹣1，
∵方程的解为正数，且x≠2
∴k﹣1＞0，k﹣1≠2，
解得：k＞1且k≠3．
25．（10分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，AD与BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，∠PAC、∠ACP的平分线相交于点I．
（1）当AD⊥BC时，求PD的长；
（2）求证：∠BAD＝∠CAE；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，求m，n的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，可得结论；
（3）由三角形内角和定理求出∠BCA，根据内心的概念得到∠IAC＝45°﹣α，∠ICA＝35°，根据三角形内角和定理得到∠AIC＝105°+α，根据不等式的性质计算即可．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴PD＝AD﹣AP＝3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE；
（3）解：设∠BAP＝α，则∠PAC＝90°﹣α，
∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∠ICA＝∠PCA＝30°，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣（45°﹣α+30°）
＝105°+α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150，
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