2020-2021学年四川省自贡市九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年四川省自贡市九年级（上）期末数学试卷

一.选择题（每小题4分，共48分）

1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的的是　　

A． B． C． D．

3．（4分）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为2的圆与的位置关系是　　

A．相离 B．相交 

C．相切 D．以上三种情况均有可能

4．（4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　

A．1 B． C．2 D．

5．（4分）某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次，中奖的概率为，小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明　　

A．能中奖一次 B．能中奖二次 

C．至少能中奖一次 D．中奖次数不能确定

6．（4分）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是　　

A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 

D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

7．（4分）如图，是的切线，以点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

8．（4分）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是　　

A． B． 

C． D．

9．（4分）如图，正方形内接于，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形内概率是　　

A． B． C． D．

10．（4分）距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，请问该学习小组共有学生　　

A．4人 B．5人 C．6人 D．7人

11．（4分）如图，为等腰直角外一点，把绕点顺时针旋转到，使点在内，已知，连接，，若，则　　

A． B． C． D．

12．（4分）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论：

①；

②；

③若方程有两个根，，且，则；

④若方程有四个根，则这四个根的和为4．

其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二.填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分）

13．（4分）儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状大小相同的各色塑料小球，某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15，据此可以估计该球池内红球大约有　　万个．

14．（4分）抛物线的对称轴是 　　．

15．（4分）若是关于的一元二次方程，则的值是　　．

16．（4分）用半径为的扇形围成一个最大的圆锥侧面，圆锥的高为，则扇形的圆心角的度数是　　．

17．（4分）如图，在半径为的中，是直径，是弦，为的中点，与交于点，若点是的中点，则的长为　　．

18．（4分）如图，将边长为2的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接、，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，△的面积为　　．

三.解答题（共8个小题，共78分）

19．（8分）解方程：．

20．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．

（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是　　；

（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为5的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

21．（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为60米的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域，而且这两块矩形区域的面积相等．设的长度是米，矩形区域的面积为平方米．

（1）求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；

（2）取何值时，有最大值？最大值为多少？

22．（8分）如图，点是的内心，的延长线交的外接圆于．求证：．

23．（10分）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：

已知：，且，求的值．

24．（10分）如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与边、交于点、，连接、，且为的切线．

（1）求证：；

（2）若，的半径为1，求阴影部分的面积．

25．（12分）动手操作：

利用“矩形纸片的折叠”开展数学活动，探究体会图形在矩形折叠过程中的变化及其蕴含的数学思想方法．

如图1，将矩形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为，．展平后，将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，点在边上，折痕为，连接．

思考探究：

（1）①当矩形为正方形时，△为 　　三角形；

②当　　时，△为等腰直角三角形，请证明你的结论；

开放拓展：

（2）如图2，若矩形沿过点的直线折叠，点在边上．折痕为，点的对应点落在矩形内部，，，连接．

①在此过程中，点翻折到点所走的路径长的范围是 　　；

②的最小值为 　　．

26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．

（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过作垂直轴于点，交于点，若，求点的坐标；

（3）无论取何值，抛物线都经过定点，当直线与轴的交角为时，求的值．

2020-2021学年四川省自贡市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题4分，共48分）

1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：．

2．（4分）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

移项，得，

配方，得，

，

故选：．

3．（4分）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为2的圆与的位置关系是　　

A．相离 B．相交 

C．相切 D．以上三种情况均有可能

【解答】解：过点作于点，

，，

，

半径为2，

以点为圆心，半径为2的圆与的位置关系是：相离．

故选：．

4．（4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

△，

解得：．

故选：．

5．（4分）某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次，中奖的概率为，小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明　　

A．能中奖一次 B．能中奖二次 

C．至少能中奖一次 D．中奖次数不能确定

【解答】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定．

故选：．

6．（4分）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是　　

A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 

D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

【解答】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线顶点坐标为，

点向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得到，

将抛物线左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线．

故选：．

7．（4分）如图，是的切线，以点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：是的切线，

，

，

，

，

．

故选：．

8．（4分）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、由二次函数的图象可知，此时直线应经过二、四象限，故可排除；

、由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，此时直线应经过一、二、四象限，故可排除；

、由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、三象限，故可排除；

、观察图象可知，，符合题意．

故选：．

9．（4分）如图，正方形内接于，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形内概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设正方形的边长为，

的半径为，

，

，

在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形内的概率是，

故选：．

10．（4分）距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，请问该学习小组共有学生　　

A．4人 B．5人 C．6人 D．7人

【解答】解：设该学习小组共有学生人，则每人需写份拼搏进取的留言，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

故选：．

11．（4分）如图，为等腰直角外一点，把绕点顺时针旋转到，使点在内，已知，连接，，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接，

绕点顺时针旋转到，

，，

又是等腰直角三角形，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

，

连接，则是等腰直角三角形，

，，

，

，

是直角三角形，

设，则，

，

，

，

故选：．

12．（4分）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论：

①；

②；

③若方程有两个根，，且，则；

④若方程有四个根，则这四个根的和为4．

其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：抛物线开口向下，

，

对称轴，

，

抛物线与轴的交点在轴正半轴，

，

，故①错误；

由图象可知，当时，；故②错误；

抛物线的顶点坐标为，

抛物线，

抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，；

若方程有两个根，，且，则，故③正确；

若方程有四个根，由函数图象的对称性可知，这四个根的和为4，故④正确．

综上，有2个说法正确；

故选：．

二.填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分）

13．（4分）儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状大小相同的各色塑料小球，某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15，据此可以估计该球池内红球大约有　4.5　万个．

【解答】解：估计红球的个数大约为（万个），

故答案为：4.5．

14．（4分）抛物线的对称轴是 　直线　．

【解答】解：抛物线，

该抛物线的对称轴是直线，

故答案为：直线．

15．（4分）若是关于的一元二次方程，则的值是　　．

【解答】解：是关于的一元二次方程，

，，

解得：，

故答案为：．

16．（4分）用半径为的扇形围成一个最大的圆锥侧面，圆锥的高为，则扇形的圆心角的度数是　　．

【解答】解：圆锥的高线为，其侧面展开图是一个半径为的扇形，

圆锥的底面半径为，

设圆心角为，

则，

解得：，

故答案为：．

17．（4分）如图，在半径为的中，是直径，是弦，为的中点，与交于点，若点是的中点，则的长为　　．

【解答】解：连接，交于，

是的中点，

，，

，

，，

，

是直径，

，

在和中,

,

，

，

，

，

，

，

在中，，

，

故选答案为：．

18．（4分）如图，将边长为2的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接、，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，△的面积为　或　．

【解答】解：当点在直线右侧时，如图，过点作于，延长交于，

将边长为2的正方形绕点按逆时针方向旋转，

，，

，，

，

，，

四边形是矩形，

，，

，

，

△的面积；

若点在直线的左侧时，过点作于，交于，

同理可求，

，

△的面积；

综上所述：△的面积为或．

故答案为：或．

三.解答题（共8个小题，共78分）

19．（8分）解方程：．

【解答】解：，

，

则，

或，

解得，．

20．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．

（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是　　；

（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为5的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽得的2张卡片上的数字之和为5的结果有4个，

抽得的2张卡片上的数字之和为5的概率为．

21．（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为60米的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域，而且这两块矩形区域的面积相等．设的长度是米，矩形区域的面积为平方米．

（1）求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；

（2）取何值时，有最大值？最大值为多少？

【解答】解：（1）设的长度是米，则，

根据题意得，；

（2），

时，有最大值，最大值为300（平方米）．

22．（8分）如图，点是的内心，的延长线交的外接圆于．求证：．

【解答】证明：如图，连接，

点是的内心，

，，

，

，

，

，

是等腰三角形，

．

23．（10分）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：

已知：，且，求的值．

【解答】解：方程的解为：，

由于．

所以．

，

，．

．

当时，

原式

．

24．（10分）如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与边、交于点、，连接、，且为的切线．

（1）求证：；

（2）若，的半径为1，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接，如图，

为的切线，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：，

而，

，

阴影部分的面积

．

25．（12分）动手操作：

利用“矩形纸片的折叠”开展数学活动，探究体会图形在矩形折叠过程中的变化及其蕴含的数学思想方法．

如图1，将矩形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为，．展平后，将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，点在边上，折痕为，连接．

思考探究：

（1）①当矩形为正方形时，△为 　等边　三角形；

②当　　时，△为等腰直角三角形，请证明你的结论；

开放拓展：

（2）如图2，若矩形沿过点的直线折叠，点在边上．折痕为，点的对应点落在矩形内部，，，连接．

①在此过程中，点翻折到点所走的路径长的范围是 　　；

②的最小值为 　　．

【解答】解：（1）①结论：是△是等边三角形．

理由：四边形是正方形，

，

垂直平分线段，

，

由翻折的性质可知，

，

△是等边三角形．

故答案为：等边．

②如图中，

的等腰直角三角形，，

，

，

，

四边形是矩形，

．

故答案为：．

（2）①如图2中，

在中，，，，

，

，

当点落在上时，的值最大，最大值，

的长．

故答案为：的长．

②如图2中，连接．

，

，

，

的最小值为．

故答案为：．

26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．

（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过作垂直轴于点，交于点，若，求点的坐标；

（3）无论取何值，抛物线都经过定点，当直线与轴的交角为时，求的值．

【解答】解：（1）抛物线过点，

，

解得，

抛物线解析式为：；

（2）如图，设点坐标为，则，

设直线的解析式为，

代入点，点坐标，得，

解得，

故直线的解析式为，

点在直线上，

，

解得，

；

（3）抛物线解析式为：，

当时，，

无论取何值，抛物线都过点，

由顶点坐标公式可得，，，

①如图1，连接并延长，交轴于，交轴于，过，分别作轴，轴的垂线交于点，

此时，即，

与轴的夹角为，即，

，而，

，

则，，

，

解得或（舍去），

②如图2，连接并延长，交轴于，交轴于，过，分别作轴，轴的垂线交于点，

此时，即，

与轴的夹角为，即，

，而，

，

则，，

，

解得或（舍去），

综上，的值为6或2．

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日期：2021/12/7 16:06:58；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123