专题21.8 一元二次方程解法-公式法（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题21.8 一元二次方程解法-公式法（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共20页。试卷主要包含了解一元二次方程--公式法，根的判别式，根据一元二次方程求参数等内容，欢迎下载使用。

专题21.8 一元二次方程解法-公式法（专项练习）
一、 单选题
知识点一、解一元二次方程--公式法
1．用公式法解方程x2+4x=2,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B．4 C． D．64
2．若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
3．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．

A．6 B． C． D．
4．用公式法解方程所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二、根的判别式
5．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＝2x B．x2－2x＝－1 C．2x2－1＝x D．2x2－2x+1＝0
7．将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
8．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
知识点三、根据一元二次方程求参数
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
9．关于x的一元二次方程有实数根，则点在（　　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


二、 填空题
知识点一、解一元二次方程--公式法
13．方程的解是___________．
14．当________时，关于的方程可用公式法求解．
15．方程（）的根是___________．
16．方程中，的值为__________，根是___________．
知识点二、根的判别式
17．若关于x的一元二次方程有实数根，则n的值可能是_______．
18．M（a，b）是一次函数y=x+3图像上一点，则关于x的方程ax2+bx+1=0的根的情况是____
19．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
20．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________．
知识点三、根据一元二次方程求参数
21．已知命题：“关于的一元二次方程，当时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．
22．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．
23．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
24．若关于的方程有两个相等的实数根，则__________．

三、 解答题
知识点一、解一元二次方程--公式法
25．解下列方程：
（1） （2）


26．解下列方程：
（1） （2）

知识点二、根的判别式
27．关于的一元二次方程
（1）若方程的一个根为1，求方程的另一个根和的值
（2）求证：不论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．


28． 已知a、b、c分别为△ABC的三条边，试判断关于x的一元二次方程的根的情况．



知识点三、根据一元二次方程求参数
29．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求出此时方程的根．





30．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根．

参考答案
1．D
【分析】
首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可．
【详解】
解：


故选：D
【点拨】
此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
2．D
【分析】
根据公式法解方程，结合题意得出，求出即可．
【详解】
∵的两个实数根中较小的一个根是，
∴，
解得：b＋＝﹣2m，
故选：D．
【点拨】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键．
3．D
【分析】
仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．
【详解】
解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，
∴该方程的正数解为．
故选：D．
【点拨】
本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
4．D
【分析】
找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】
解：，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x== ，
故选：D．
【点拨】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
5．D
【分析】
先计算四个选项中方程的根的判别式的值，确定判别式的符号，选出判别式大于0的方程满足条件，由此即可得出结论．
【详解】
解：A．方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B．方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C．方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D．方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意．
故答案为： D．
【点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根，掌握并会利用解决问题是解题关键．
6．D
【分析】
逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其小于零的选项即可得出结论．
【详解】
解：A、∵x2＝2x
∴x2-2x＝0
∴△=（-2）2-4×1×0=4＞0，
∴一元二次方程x2-2x=0有两个不相等的实数根，故不符合题意；
B、∵x2－2x＝－1
∴x2－2x+1＝0
∴△=(-2)2-4×1×1=0，
∴一元二次方程x2－2x＝－1有两个相等的实数根，故不符合题意；
C、∵2x2－1＝x
∴2x2－x -1＝0
∴△=（-1）2-4×2×（-1）=90，
∴一元二次方程2x2－1＝x有两个不相等的实数根，故不符合题意；
D、∵△=（-2）2-4×2×1=-4<0，
∴一元二次方程2x2－2x+1＝0没有实数根，故符合题意．
故选：D．
【点拨】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
7．B
【分析】
先将方程写成一元二次方程，然后再运用一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】
解：∵
∴x2-6x=-9，即x2-6x+9=0
∵△=（-6）2-4×9×1=0
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了根的判别式，正确列出一元二次方程并会用根的判别式判断根的情况成为解答本题的关键．
8．A
【分析】
由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【详解】
解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
【点拨】
本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
9．B
【分析】
根据一元二次方程有实数根可得m-1≠0且，求出m的范围，可得m-3＜0，-m+4＞0，从而判断结果．
【详解】
解：∵是一元二次方程，且有实数根，
∴m-1≠0且，
解得：且m≠1，
∴m-3＜0，-m+4＞0，
∴在第二象限，
故选B．
【点拨】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10．B
【分析】
根据题意得：，列出关于a的不等式，进而即可求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
故选B．
【点拨】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程（）无实数根，则，是解题的关键．
11．D
【分析】
先求出，再利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
方程有两个相等的实数根，
此方程根的判别式，
解得，
故选：D．
【点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据新定义求出是解题关键．
12．D
【分析】
根据题意，得一元二次方程的根的判别式大于零，建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＝＞0，
∴＞0，
∴，
故选D．
【点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系，并能灵活选择计算是解题的关键．
13．，
【分析】
根据一元二次方程的解法，解该方程即可．
【详解】
解：在方程中，
，，，
，
，
，，
故答案为：，．
【点拨】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
14．
【分析】
一元二次方程可用公式法求解的前提是有实数解，即，列出不等式解出t即可．
【详解】
由题意可知：，
即：，
解得：．
故答案为：．
【点拨】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根据一元二次方程根的情况列出不等式是解题的关键．
15．
【分析】
利用公式法解一元二次方程即可得出结论．
【详解】
解：
∴x=
解得：
故答案为：．
【点拨】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
16．5
【分析】
根据公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：
a=0.2，b=1，c=-5
∴=
∴x==
∴
故答案为：5；
【点拨】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
17．1（答案不唯一）
【分析】
将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围．
【详解】
解：原方程可变形为x2-6x+9-n=0．
∵该方程有实数根，
∴△=（-6）2-4×1×（9-n）≥0，
解得：n≥0．
此时方程有实数根，n只需要满足为非负数即可．
故答案为：1（答案不唯一）
【点拨】
本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
18．有实数根
【分析】
先根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=a+3，再讨论：当a=0时，b=3，方程ax2+bx+1=0化为3x+1=0，方程有解；当a≠0，计算判别式得到△=（a+1）2+8＞0，根据判别式的意义判断此时方程有两个不相等的实数解，从而得到关于x的方程ax2+bx+1=0有实数解．
【详解】
解：∵M（a，b）是一次函数y=x+3图象上一点，
∴b=a+3，
当a=0时，b=3，方程ax2+bx+1=0化为3x+1=0，解得x=；
当a≠0，△=b2-4ac=（a+3）2-4a=a2+2a+9=（a+1）2+8＞0，此时方程有两个不相等的实数解；
所以关于x的方程ax2+bx+1=0有实数跟．
故答案为：有实数根．
【点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
19．有两个不相等的实数根
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【详解】
解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点拨】
本题考查根的判别式以及配方法，只要涉及到一元二次方程根的情况，就要用到根的判别式，将根的判别式先写出来，如果含有参数，则可利用配方法将多项式配成完全平方的形式，再进行分析.
20．
【分析】
先根据根的情况得出不等式，再解不等式即可
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
∴

故答案为：
【点拨】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，正确解不等式是关键
21．b=1（答案不唯一）
【分析】
先根据判别式得到△=b2-4，在满足b>0的前提下，取b=1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
【详解】
解：∵△=b2-4，
∴当b=1时，满足b>0，而△＜0，方程没有实数解，
∴当b=1时，
可说明这个命题是假命题．
故答案为：b=1（答案不唯一）．
【点拨】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．
22．0．
【分析】
利用根的判别式列出方程，再确定c的最小值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式列出方程，根据非负数的性质确定最值．
23．m＜
【分析】
先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到△=（-2）2-4×3m＞0，然后解不等式即可．
【详解】
解：方程化为x2-2x+3m=0，
根据题意得△=（-2）2-4×3m＞0，
解得m＜，
故答案为：m＜．
【点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
24．−
【分析】
由题意得出根的判别式△＝b2−4ac＝0，把对应的系数代入解关于m的方程，可求得m的值．
【详解】
解：∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝0，即：[−（2m＋1）]2−4m2＝0，
整理得：4m＋1＝0，解得m＝−，
故答案为：−．
【点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
25．（1），；（2），
【分析】
（1）用直接开平方法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出的值，代入公式求出即可；
【详解】
（1）

，
（2）

a=3，b=﹣4，c=1
=16-12=4>0
∴方程有两个不相等的实数根，

，
【点拨】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法是解题的关键．
26．（1），；（2）无实数根
【分析】
（1）由公式法解题；
（2）由根的判别式解题．
【详解】
解方程：
（1）；
解：∵，，，

，
（2）；
解：∵，，，
∴．
∴原方程无实数根．
【点拨】
本题考查解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握知识是重要考点．
27．（1），另一个根是；（2）详见解析．
【分析】
（1）代入x=1求出m值，从而得出方程，解方程即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【详解】
解：（1）把代入原方程得解得：
当时，原方程为
解得：
∴方程的另一个根是
（2）证明：
∵
∴
∴不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【点拨】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，由判别式的符号得到方程根的情况是解题的关键．
28．方程没有实数根
【分析】
判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了，判断时要利用三角形的两边之和大于第三边．
【详解】
解：∵△＝（﹣b）2﹣4×（a+c）2＝b2﹣（a+c）2＝（b+a+c）[b﹣（a+c）]
又∵b+a+c＞0，b﹣（a+c）＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
【点拨】
本题是对一元二次方程根的判别式的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键.
29．（1）m≤1；（2）．
【分析】
（1）根据题意得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m的范围可知m=1，代入原方程后解方程即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵原方程有实数根，
∴△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0，
∴m≤1；
（2）∵m为正整数，又m≤1，
∴m=1．
当m=1时，原方程为x2-2x+1=0，
即，解得．
【点拨】
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
30．（1）且；（2）；或．
【分析】
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）根据一元二次方程的解法求解即可；
【详解】
（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
∴且；
（2）当时，，
∴由求根公式可知：，
∴或．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，准确计算是解题的关键．