专题21.3 一元二次方程解法-直接开平方法（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.3  一元二次方程解法-直接开平方法（知识讲解）

【学习目标】

掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】

(1)  直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
　若，则方程无实数根．

(2)  ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
特别说明：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
　【典型例题】

1． 下列方程不能用直接开平方法求解的是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．

【详解】能用直接开平方法求解的是：、和；

故选C．

【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

举一反三：
【变式1】（1）用直接开平方法解方程，得方程的根是（ ）

A．                      B．

C．，       D．

【答案】C

【分析】先移项、系数化1，则可变形为，然后利用数的开方解答，求出 的值，进而求．

解：移项得,

两边同除3得,

开方得,

所以

故选:C．

【点拨】考查一元二次方程的解法—直接开方法，运用整体思想，把看做一个整体．

（2）．用直接开平方法解方程(x－3)2=8得方程的根为 （ ）

A． B．

C．， D．，

【答案】D

 解：本题考查的是平方根有两个和8的平方根

故选D

2.用直接开平方法解下列方程：

(1)  ;              (2) ；   

 (3) ;          (4) .

【答案】(1) ；（2）；（3）；（4）

 【分析】(1)----（4）依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可

解：(1)，，即.

(2)∵，∴，

即.

(3)∵，

∴，

∴，即.

(4)，解得.

【点拨】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键

举一反三：
【变式2】用直接开平方法解下列方程：

(1)  ；   (2) ；

(2)  ；   (4) .

【答案】（1）；（2）；（3）；（4），.

【解析】(1)直接开方,再移项、合并同类项即可；(2) 先把-9移项到方程右边,再直接开方； (3) 直接开方,再移项、合并同类项即可； (4)先把9移项到方程右边，再直接开方,再按解一元一次方程的方法求解

解：(1)∵，

∴

∴.

(2)∵，

∴，

∴，

∴

(3)∵，

∴，

∴.

(4)∵，

∴或，

解得，.

【点拨】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握运算法则是解题关键

【变式3】用直接开平方法解下列方程.

（1）x2-9=0                （2）4（x-2）2-36=0

【答案】（1），;（2），.

【分析】

（1）先移项得到，然后利用直接开平方法求解即可.

（2）先变形得到，然后利用直接开平方法求解即可.

 解：（1）,

,

,

∴，;

（2）,

,

,

,

∴，.

【点拨】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法，形如或的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程.