专题21.5 一元二次方程解法-直接开平方法（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.5  一元二次方程解法-直接开平方法（专项练习）

一、单选题

1．方程的解是（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=﹣2

2．方程的解是（     ）

A．， B． 

C．    D．

3．若，则是（       ）

A．-2 B．2 C．-2或2 D．4

4．方程（x+1）2＝0的根是（　　）

A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根

5．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ）

A． B． C． D．

6．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（     ）

A．3 B．±3 C．-3 D．±

7．方程 x2=（x﹣1）0  的解为（       ）

A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0

8．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为(     )

A．x= B．x＝±1 C．. D．

9．若a,b,c满足则关于x的方程的解是(   )

A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无实数根

10．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　）

A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝

C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝

11．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（     ）

A． B．

C． D．

12．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入的值为（       ）

A． B． C．或 D．无法确定

13．若方程中，满足和，则方程的根是（       ）

A． B． C． D．

14．如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是边 BC 上的点，DE⊥AM 于点 E，BF∥DE，交 AM 于点 F．若E 是 AF 的中点，则 DE 的长为（       ）

A． B．2 C．4 D．

二、填空题

15．方程x2－3＝0的根是__________．

16．方程x2－=0的两根为x1=__________，x2=__________．

17．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）﹡3＝0的解为_____．

18．方程的解是_______________．

19．若实数满足，则___________________．

20．方程的根是__________．

21．若实数a、b满足，则的值为___________．

22．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是与，则=________.

23．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．

24．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是________．

25．已知,那么_____.

27．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为______．

三、解答题

28．解方程：

（1）；                                （2）；

（3）；                              （4）．

参考答案

1．D

解：x2=4，

x=±2.

故选D.

【点拨】本题利用方程左右两边直接开平方求解.

2．C

解：∵(x＋1)2=4，

∴x+1=±2，

解得x1=1，x2=﹣3.

故选C.

3．C

【分析】

先计算，再用直接开平方法解一元二次方程即可．

解：

故选C

【点拨】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．

4．B

【分析】

根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.

解：(x+1)2＝0,

解: x+1=0,

所以x1＝x2＝﹣1,

故选B.

【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.

5．D

解：将两边开平方，得，则则另一个一元一次方程是．故选D．

6．B

解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．

【点拨】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．

7．A

【分析】

根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.

解：∵(x-1)0有意义，

∴x-1≠0，即x≠1，

∵x2=（x﹣1）0

∴x2=1，即x=±1

∴x=-1.

故选A.

【点拨】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.

8．C

解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；

整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=；

开方得：x=±．

故选C．

9．C

解：【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.

因为a+b+c=0——①；a-b+c=0——②且a≠0,

联立两式①+②得a+c=0, 即a=-c,b=0,

代入ax²+bx+c=0

得：ax²-a=0

解得x=1或x=-1

故选C

【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c的特殊关系.

10．D

【分析】

直接开平方与开立方，再解一次方程即可．

解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝，

所以3x+1＝±，

解得x＝﹣或x＝﹣，

由﹣2＝0得y3＝，

所以y＝，

所以x＝﹣或﹣，y＝．

故选：D．

【点拨】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．

11．C

【分析】

一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．

解：

开方得，

故选：C．

【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．

12．C

【分析】

先根据数值运算程序可得一个关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得．

解：由题意得：，

，

，

，

即或，

故选：C．

【点拨】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键．

13．D

【分析】

联立和，前式减后式，可得，前式加后式，可得，将、代入原方程计算求出方程的根．

解：∵根据题意可得：，

①－②＝，得，

①＋②＝，

∴解得：，．

将、、代入原方程可得，

∵，

∴

故选：D．

【点拨】本题考查解一元二次方程，联立关于、、的方程组，由方程组推出、、的数量关系是解题关键．

14．B

【分析】

因为AF＝AE+EF，则可以通过证明ABF≌DAE，从而得到AE＝BF，便得到了AF＝BF+EF，再利用勾股定理求出DE的长即可．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠BAD＝90°

∵DE⊥AG，

∴∠DEM＝∠AED＝90°

∴∠ADE+∠DAE＝90°

又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF．

∵BF∥DE，

∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED．

在ABF与DAE中，

，

∴ABF≌DAE（AAS）．

∴BF＝AE，

∵BF∥DE，∠AED＝90°

∴∠AFB＝90°，

∵E是AF的中点，

∴AE＝EF，

又∵BF＝AE，

∴BF＝EF＝AE，

设BF为x，则AF为2x，

∵AB2＝AF2+BF2，

∴52＝（2x）2+x2，

解得x＝（舍去），

∴AF＝2x＝，

∵DE＝AF，

∴DE＝，

故选：B．

【点拨】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．

15．x1＝，x2＝－ .

解：试题分析：移项得x2=3，开方得x1=，x2= -．

考点：解一元二次方程．

16．         

【分析】

先移项，然后用直接开平方法，即可求出两根.

解：移项得，

解得：，

故答案为，.

【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解题的关键.

17．x=2、-4

【分析】

先根据新定义得到，再移项得，然后利用直接开平方法求解.

解：(x+1)﹡3＝0，

，

，

，

所以、.

故答案为：、.

【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得，如果方程能化成（）的形式，那么.

18．

【分析】

运用直接开平方法求解即可．

解：

开方得：，

【点拨】此题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解答此题的关键．

19．或

【分析】

根据题意设a+b=x，根据，得出x（2x-1）=1，解方程即可．

解：设a+b=x，则x（2x-1）=1，

则有（x-1）（2x+1）=0，解得x=或，即或.

故答案为： 或.

【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．

20．

【分析】

利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可．

解：

，

解得：；

故答案为．

【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

21．5

【分析】

利用平方根的含义求解再利用非负数的性质可得答案．

解：，

或，

又

故答案为：

【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．

22．9

解：分析：本题利用直接开平方法求出解互为相反数，从而解出m的值，得出所求的值即可.

解析： 所以这两个解互为相反数，即+=0，解得m=1,∴这两个根为±3，所以=9.

故答案为9.

23．

【分析】

直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．

解：由题意得：，

∴m=1，

原方程变为：﹣x2+2=0，

x=，

故答案为．

【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．

24．或

【分析】

首先根据一元二次方程解的定义求出和的值，然后代入所求方程整理求解即可．

解：∵方程的解为：x1=3，x2=7，

∴，

解得：，

∵，，

∴，

∴，

∴或，

故答案为：或．

【点拨】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键．

25．3.

【分析】

把看成一个整体设为x，再解一元二次方程舍去负值即可.

解：设,则原方程化为:,

,

,

,

,

故答案为:3.

【点拨】本题考查的是解方程，关键是将看成一个整体，即整体思想的应用，易错点是要注意的非负性，注意根的取舍.

26．﹣9或11

解：由题意可得：

x4﹣2x2﹣400x=9999

（x2+1）2=（2x+100）2

①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100

解得x=﹣9或x=11．

②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，

因此x的值应该是﹣9或11．

故答案是：﹣9或11.

【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．

27．4或

【分析】

根据运算程序可得关于x的方程，解方程即得答案．

解：根据题意得：，化简得，

，解得或．

故答案为：4或．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握直接开平方法是解题的关键．

28．（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；

（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；

（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；

（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．

解：（1），

，

，

，

即；

（2），

，

或，

或，

即；

（3），

，

或，

或，

即；

（4），

，

，

，

即．

【点拨】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．