专题13.13 《轴对称》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题13.13  《轴对称》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；

2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；

3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.

【要点梳理】

要点一、轴对称

1.轴对称图形和轴对称　　

（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称
　　定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点二、作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

2.用坐标表示轴对称

点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.

要点三、等腰三角形

1.等腰三角形

　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

   　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）.

2.等边三角形
　　（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

 ①三条边都相等的三角形是等边三角形；

 ②三个角都相等的三角形是等边三角形；

 ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【典型例题】

类型一、轴对称的性质与应用

1．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．

求证：(1)OC＝OD，(2)OE是线段CD的垂直平分线．

【答案】见解析

【分析】

（1）利用角平分线的性质证明Rt△OED≌Rt△OEC，所以OC=OD.

(2)利用（1）的结论，可得OE是CD的垂直平分线.

证明：（1）因为点E是∠AOB的平分线上一点，ED⊥OB，EC⊥OA，

所以ED=EC,

在Rt△OED和Rt△OEC中,

OE=OE，DE=EC，

∴Rt△OED≌Rt△OEC.

∴OC=OD；

（2）∵OC=OD，

∴点O在线段CD的垂直平分线上，

∵DE=CE，

∴点E在线段CD的垂直平分线上，

∴OE是线段CD的垂直平分线．

【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握定理是解题的关键.

举一反三：

【变式1】 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．

（1）求证：∠DEF＝∠DFE；

（2）求证：AD垂直平分EF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据角平分线的性质证明即可得解；

（2）根据已知条件证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL）和即可得解；

解：（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴∠DEF＝∠DFE；

（2）根据已知条件可得∠AED＝∠AFD＝90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中，，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴∠ADE＝∠ADF；

在△DEO和△DFO中，

，

∴，

∴，，

∵∠EOD+∠FOD＝180°，

∴∠EOD=∠FOD＝90°，

∴AD垂直平分EF．

【点拨】本题主要考查了角平分线的垂直平分线的判定与性质，结合等三角形证明是解题的关键．

【变式2】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．

【答案】作图见解析.

【解析】因为AD垂直平分BC，所以点C是点B关于AD的对称点，连接CN交AD于点M.

试题解析：如图，连接NC与AD的交点为M点．点M即为所求．

【变式3】 如图，在△ABC的一边AB上有一点P.

(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；

(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．

【答案】(1) 作图见解析. (2) 76°.

【解析】

（1）分别作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接DG交AC、BC于点M、N.

（2）由四边形的内角和求∠D+∠G=∠C，由轴对称的性质可得，∠D=∠DPM，∠G=∠GPN，即可求解.

试题解析：

(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.

②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．

(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，

∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C＋∠EPF＝180°.

∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.

∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.

由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，

∴∠GPN＋∠DPM＝52°，∴∠MPN＝128°－52°＝76°.

类型二、等腰三角形的综合应用 

2．在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,

（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;

（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;

（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析.

【分析】

（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论；

（2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论；

（3）先求得BE=FC，然后证得△DBE≌△EFC即可.

解：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，

∵AE=EB=BD，

∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，

∴∠EDB=∠ECB，

∴EC=ED；

（2）如图2，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，

∴△AEF为等边三角形；

（3）EC=ED；

理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，

∴∠EFC=∠DBE=120°，

∵AB=AC，AE=AF，

∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴ED=EC．

【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．

【分析】根据AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，进而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．

证明：连接BM，

∵AB＝BC，AM＝MC，

∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，

∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，

∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，

∵BD＝CE，AB＝BC，

∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，

在△ADM和△BEM中，

∴△ADM≌△BEM（SAS），

∴DM＝EM，

∴△DEM是等腰三角形．

【点拨】此题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于得出BM⊥AC.

【变式2】 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，

①请你猜想写出FE与FD之间的数量关系，不用说明理由；

②判断∠AFC与∠B的数量关系，请说明理由.

（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他条件不变，请问你在（1）中所得FE与FD之间的数量关系是否依然成立？请说明理由.

【答案】（1）①FE=FD；②∠AFC=2∠B；（2）FE=FD仍然成立，理由见解析．

【分析】

（1）①首先过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，利用三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和，可求出.（2）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，继而求得∠DFM=∠NFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD．

解：

（1）①如图1，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC= ∠BAC=15°，

∴∠CDA=75°，

∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，

∴∠NFE=15°，

∴∠NEF=75°=∠MDF，

在△DMF和△ENF中，

∠DMF＝∠ENF，∠MDF＝∠NEF，MF=NF，

∴△DMF≌△ENF(AAS)，

∴FE=FD；

②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，所以∠AFC=120°，因为∠B=60°，所以∠AFC=2∠B.

（2）如图2，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∴四边形BNFM是圆内接四边形，

∵∠ABC=60°，

∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，

∵∠CFA=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠ABC)=180°- (180°-60°)=120°，

∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．

又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM=∠NFE，

在△DMF和△ENF中，

∴△DMF≌△ENF(ASA)，

∴FE=FD．

【点拨】此题考查了角平分线的性质、三角形的外角和定理、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

【变式3】 已知为等边三角形，在线段、上，且，直线与相交于．

求证：①≌．

②．

【答案】见解析

【解析】

分析：①根据等边三角形性质得出AB=BC，∠ABD=∠C=60°，再根据SAS可得△ABD≌△BCE；
②根据全等三角形的性质推出∠BAD=∠CBE，再通过三角形外角性质即可求出∠AME的度数．

详证明：①∵为等边三角形，

∴，，

在和中，

，

∴≌，

∴．

②∵≌，

∴，

∴，

，

．

点拨：本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，能求出△ABD≌△BCE是解此题的关键．

类型三、等边三角形的综合应用 

3．已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.

【答案】证明见解析.

解：分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论．

详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．

∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．

∵D为的AC中点，∴DA=DC．

又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，

∴∠A=∠C，

∴∠A=∠B=∠C，

∴ΔABC是等边三角形．

点拨：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．

举一反三：

【变式1】 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC．

(1)求证：△PMN是等边三角形；

(2)若AB＝9 cm，求CM的长度．

【答案】(1)见解析；（2）CM＝3cm

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=9cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长．

解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴CM=3cm．

【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键．

【变式2】 如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，

（1）求证：△ABE≌△ADC；

（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；

（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．

【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析

【解析】

试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．

试题解析：

（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形

∴AB=AD，AE=AC，

∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC中，

∴，

∴△ABE≌△ADC；

（2）由（1）知△ABE≌△ADC，

∴∠AEB=∠ACD，

∵∠ACD=15°，

∴∠AEB=15°；

（3）同上可证：△ABE≌△ADC，

∴∠AEB=∠ACD，

又∵∠ACD=60°，

∴∠AEB=60°，

∵∠EAC=60°，

∴∠AEB=∠EAC，

∴AC∥BE．

点拨：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC是解决本题的关键.

【变式3】 已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D

（1）求证：MA=MH

（2）猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以证明．

【答案】（1）见解析；（2）CB=CM+2CD.

分析：（1）过M点作MN∥AC交AB于N，然后根据全等三角形的判定“ASA”证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH；

（2）过M点作MG⊥AB于G，再根据全等三角形的判定“AAS”证明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD．

详解：（1）如图，过M点作MN∥AC交AB于N，

则BM=BN，∠ANM=120°，

∵AB=BC，

∴AN=MC，

∵CH是∠ACD的平分线，

∴∠ACH=60°=∠HCD，

∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，

又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，

∴∠HMC+∠AMN=60°

又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，

∴∠HMC=∠MAN，

在△ANM和△MCH中，

，

∴△AMN≌△MHC（ASA），

∴MA=MH；

（2）CB=CM+2CD；

证明：如图，过M作MG⊥AB于G，

∵HD⊥BC，

∴∠HDC=∠MGB=90°，

∵△AMN≌△MHC，

∴MN=HC，

∵MN=MB，

∴HC=BM，

在△BMG和△CHD中，

，

∴△BMG≌△CHD（AAS），

∴CD=BG，

∵△BMN为等边三角形，

∴BM=2BG，

∴BM=2CD，

∴BC=MC+2CD．

点拨：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，关键是正确作出辅助线构造全等三角形和等边三角形，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．