2020-2021学年江西省吉安市遂川县九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年江西省吉安市遂川县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）一元二次方程的根是　　

A．， B．， C．， D．，

2．（3分）已知，若与的相似比为，则与的面积比为　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图所示几何体的主视图为　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，在菱形中，，点在上，为的中点，，垂足为，，则长为　　

A．8 B．10 C．12 D．16

5．（3分）已知，两点在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（3分）关于抛物线，下列说法错误的是　　

A．开口向上 

B．当时，经过坐标原点 

C．不论为何值，都过定点 

D．时，对称轴在轴的左侧

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）点在反比例函数的图象上，则的值为　　．

8．（3分）如图，中，，，为的中点，，则的长为　　．

9．（3分）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为　　．

10．（3分）中，，，且，则　　．

11．（3分）如图，矩形中，，，，分别是和的中点，是上的点，则的最小值为　　．

12．（3分）已知抛物线与轴交于点，点与点分别位于轴两侧，点在点的下方，且在对称轴上，当为等腰三角形时，的长为 　　．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）已知，求的值；

（2）计算：．

14．（6分）如图，在中，点，分别在，的边上，，，，，求的长．

15．（6分）如图，在菱形中，为对角线，，点，分别是，边上的点，．求证：．

16．（6分）汽车越来越多地进入普通家庭，调查显示，截止2020年底某市汽车拥有量为1.44万辆．已知2018年底该市汽车拥有量约为1万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的平均增长率．

17．（6分）如图，矩形中，，，，分别是和上的点，，是的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．

（1）在图1中，作一个以为直角边的直角三角形；

（2）在图2中，作一个以为边的平行四边形．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）如图，在等腰直角中，，为平面上一动点，在运动过程上保持于点，将沿翻折得到，在直线上取点，作．

（1）如图1，若与相交于点，求证；

（2）猜想的形状，并说明理由．

19．（8分）国庆假期间，小悦一家商定去某地旅游，小悦利用航空公司官方网站预订飞机票，购票系统将随机分配座位．如图所示，飞机每一排座位编号以过道为界，过道左侧三个座位编号为，，，过道右侧三个座位编号为，，，若系统分配各个座位的概率一样．

（1）小悦很想坐在靠窗的位置上方便看云海，他在上飞机前换登机牌时提出“请给我靠窗的位置”（每排，的位置），若恰好剩下如图所示18，19，20三排中的18个位置，求他随机选中一个靠窗的位置的概率；

（2）若小悦的父亲已分配坐在第19排过道边的位置或，求系统在第19排所剩5个位置中为小悦选中父亲邻座的概率与也属于邻座）．

20．（8分）如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，且，，且五个角的两边（如都是长，．求标志的高度，即点到地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留两位小数．

图1 图2

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，并交反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为，．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点是轴上一动点，是否存在这样的情况，使为最小值，如果存在，求出此时点的坐标；如果不存在，说明理由．

22．（9分）如图，已知抛物线，将抛物线平移后经过点，得到抛物线，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线上的动点，过点作轴，与抛物线交于点，是否存在，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

六、（本大题共12分）

23．（12分）如图，在正方形中，点在对角线上，，过点的直线分别交，于点，．

（1）当时，的长为　　，　　；

（2）已知．

①若，求此时的长；

②当，为的三等分点，点在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．

2020-2021学年江西省吉安市遂川县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）一元二次方程的根是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：，

，

则或，

解得，，

故选：．

2．（3分）已知，若与的相似比为，则与的面积比为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，且相似比为，

与的面积比为，即与的面积比为．

故选：．

3．（3分）如图所示几何体的主视图为　　

A． B． C． D．

【解答】解：从正面看该几何体，选项中的图形比较符合题意，

故选：．

4．（3分）如图，在菱形中，，点在上，为的中点，，垂足为，，则长为　　

A．8 B．10 C．12 D．16

【解答】解：连接交于，如图所示：

四边形是菱形，

，，，

，

，

为的中点，

是的中位线，

，

，

，

故选：．

5．（3分）已知，两点在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，两点在反比例函数的图象上，且，

反比例函数的图象在第二、四象限，

，

解得

故选：．

6．（3分）关于抛物线，下列说法错误的是　　

A．开口向上 

B．当时，经过坐标原点 

C．不论为何值，都过定点 

D．时，对称轴在轴的左侧

【解答】解：抛物线，

此抛物线开口向上，故选项正确，

当时，过点，故选项正确，

当时，，此时解析式中的正好可以消掉，故选项正确，

抛物线的对称轴是直线，当时，对称轴在轴右侧，故选项错误，

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）点在反比例函数的图象上，则的值为　　．

【解答】解：点在反比例函数的图象上，，

．

故答案为．

8．（3分）如图，中，，，为的中点，，则的长为　12　．

【解答】解：，为的中点，

，

，

，

，

，

故答案为：12．

9．（3分）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为　　．

【解答】解：一元二次方程的两根分别为，，

，，

．

故答案是：．

10．（3分）中，，，且，则　8　．

【解答】解：，，且，

，

，

故答案为：8．

11．（3分）如图，矩形中，，，，分别是和的中点，是上的点，则的最小值为　10　．

【解答】解：如图，是的中点，所以点关于的对称点是点，连接与交于点，

，

此时即为最小值，

，，

，

最小值为10，

故答案是：10．

12．（3分）已知抛物线与轴交于点，点与点分别位于轴两侧，点在点的下方，且在对称轴上，当为等腰三角形时，的长为 　2或4或　．

【解答】解：当时，，解得，，

点与点分别位于轴两侧，

，即，

抛物线的对称轴为直线，

设的坐标为且，

则，，

当时，，解得：，；

当时，，解得：（舍，，；

当时，，解得：（舍，，．

故答案为：2或4或．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）已知，求的值；

（2）计算：．

【解答】解：（1），

，

；

（2）

．

14．（6分）如图，在中，点，分别在，的边上，，，，，求的长．

【解答】解：，

．

，，，

．

．

．

15．（6分）如图，在菱形中，为对角线，，点，分别是，边上的点，．求证：．

【解答】证明：四边形是菱形，

，，，

，

，

，

是等边三角形，

，

在和中，，

，

．

16．（6分）汽车越来越多地进入普通家庭，调查显示，截止2020年底某市汽车拥有量为1.44万辆．已知2018年底该市汽车拥有量约为1万辆，求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的平均增长率．

【解答】解：设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的平均增长率为，

依题意得：，

解得：（不合题意，舍去），．

答：2018年底至2020年底该市汽车拥有量的平均增长率为．

17．（6分）如图，矩形中，，，，分别是和上的点，，是的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．

（1）在图1中，作一个以为直角边的直角三角形；

（2）在图2中，作一个以为边的平行四边形．

【解答】解：（1）在图1中，即为所作；

（2）在图2中，四边形即为所作．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）如图，在等腰直角中，，为平面上一动点，在运动过程上保持于点，将沿翻折得到，在直线上取点，作．

（1）如图1，若与相交于点，求证；

（2）猜想的形状，并说明理由．

【解答】解：（1）是等腰直角三角形，，，

，

又，

，

；

（2）为等腰直角三角形，

理由：由（1）得．

又，

，

，即，

由翻折得．

，

，

，

，

，

，

为等腰直角三角形．

19．（8分）国庆假期间，小悦一家商定去某地旅游，小悦利用航空公司官方网站预订飞机票，购票系统将随机分配座位．如图所示，飞机每一排座位编号以过道为界，过道左侧三个座位编号为，，，过道右侧三个座位编号为，，，若系统分配各个座位的概率一样．

（1）小悦很想坐在靠窗的位置上方便看云海，他在上飞机前换登机牌时提出“请给我靠窗的位置”（每排，的位置），若恰好剩下如图所示18，19，20三排中的18个位置，求他随机选中一个靠窗的位置的概率；

（2）若小悦的父亲已分配坐在第19排过道边的位置或，求系统在第19排所剩5个位置中为小悦选中父亲邻座的概率与也属于邻座）．

【解答】解：（1），19，20三排中的18个位置中有6个靠窗位置，

他随机选中一个靠窗的位置的概率为．

（2）根据题意列表如下：

由上表可知，所有等可能结果共有10种，两个相同颜色小球的结果共4种，

（两球颜色相同）．

20．（8分）如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，且，，且五个角的两边（如都是长，．求标志的高度，即点到地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留两位小数．

图1 图2

【解答】解：如图，连接，，，过点作于点并延长交于点，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，并交反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为，．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点是轴上一动点，是否存在这样的情况，使为最小值，如果存在，求出此时点的坐标；如果不存在，说明理由．

【解答】解：（1）当时，；当时，，

直线与轴交于点，与轴交于点，

，

轴，轴，

，

又．

，

，

点，

点在反比例函数的图象上，

，

反比例函数的解析式为；

（2）在轴上存在一点，使为最小值，理由如下：

如图，

直线交反比例函数的图象交于点，

，且，

解得，（舍去），

点的坐标为，

点，

点关于轴的对称点的坐标为，

设直线的解析式为，

则有，

解得，，

直线的解析式为，此时取得最小值，

此时点的坐标为．

22．（9分）如图，已知抛物线，将抛物线平移后经过点，得到抛物线，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线上的动点，过点作轴，与抛物线交于点，是否存在，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，经过点，，

根据题意得，解得．

所以抛物线的解析式为．

（2）存在．理由：

设，

根据题意，得．

由，

解得．

，．

六、（本大题共12分）

23．（12分）如图，在正方形中，点在对角线上，，过点的直线分别交，于点，．

（1）当时，的长为　　，　　；

（2）已知．

①若，求此时的长；

②当，为的三等分点，点在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．

【解答】解：（1）如图1中，

四边形是正方形，

，，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

．

故答案为：，．

（2）①如图2中，过点作于点．

，

，

，

，，

，，

，

，

，

．

②存在点，满足．理由如下：

如图3中，过点作点关于的对称点，连接交于点，连接，

点，将对角线三等分，且，

，，

点与点关于对称，

，，

，

，

则在线段上存在点到点和点的距离之和最小为，

在线段上，点的左右两边各有一个点使，

同理在线段，，上都存在两个点使，

即共有8个点满足．

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日期：2021/12/3 18:41:48；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124