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2018-2019学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2018-2019学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1．（4分）下列各数中，能使有意义的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
4．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
5．（4分）下列事件为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷得的点数不是奇数就是偶数
B．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃
C．抛一枚普通的硬币，正面朝上
D．从装满红球的袋子中摸出一个白球
6．（4分）若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm
7．（4分）从一个由4个男生、3个女生组成的学习小组中，随机选出1人担任小组长，则选出“男生”为小组长的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）某斜坡的坡度i＝1：，则该斜坡的坡角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
9．（4分）如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2019，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A． B．﹣ C．2019 D．﹣2019
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：（）2＝ ．
12．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则sin A＝ ．
14．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交于l1、l2、l3点D、E、F，AB＝3，BC＝5，则EF＝ ．
15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，∠ACB＝90°，BC＝5，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上 ．
16．（4分）若在△ABC内有一点D，使得∠ADB＝∠ADC，AD＝a，则当BD＝ 时，△ABD与△ACD相似．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）计算：×﹣+2cos30°．
18．（8分）小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是如图所示两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的若干个扇形，分界线可忽略，游戏者同时转动两个转盘，若有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）
19．（8分）如图，在8×8的网格图中，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，2）（﹣1，0）、C（2，﹣1）．
（1）以O为位似中心，将△ABC放大为△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1；
（2）直接写出（1）中点A′、B′、C′的坐标．
20．（8分）如图，一架遥控无人机在点A处测得某高楼顶点B的仰角为60°，同时测得其底部点C的俯角为30°，求这栋楼高BC的长．
21．（8分）某钢铁厂第一个月生产钢铁100万吨，从第二个月起改进技术增大产量，第三个月生产钢铁132万吨，求第二个月钢铁产量的增长率．
22．（10分）求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
23．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
24．（13分）如图，已知直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点B、A，PQ⊥AB于点Q，点A的坐标为（0，3）．
（Ⅰ）求直线AB的解析式；
（Ⅱ）若＝，求点P的坐标；
（Ⅲ）当P在y轴负半轴时，连接BP、OQ，分别取BP、OQ的中点E、F，当OQ∥BP时，求证：PB2＝2PG•PQ．
25．（13分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4
（1）填空：AC＝ ；
（2）若AP＝3PD，且点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，求tan∠A′QC的值；
（3）设AP＝a，直线PQ交直线BC于点T，求△APQ与△CTQ面积之和S的最小值．（用含a的代数式表示）
2018-2019学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1．（4分）下列各数中，能使有意义的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【解答】解：若有意义，
所以x≥5，
故选：D．
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、与被开方数相同；
B、与被开方数不同；
C、与被开方数不同；
D、与被开方数不同．
故选：A．
3．（4分）若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：由，设a＝8x，
把a＝5x，b＝3x代入，
故选：B．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
【解答】解：x2﹣6x＝﹣6，
x2﹣6x+6＝8，
（x﹣3）5＝8．
故选：B．
5．（4分）下列事件为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷得的点数不是奇数就是偶数
B．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃
C．抛一枚普通的硬币，正面朝上
D．从装满红球的袋子中摸出一个白球
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，是必然事件；
B、从一副扑克牌中任意抽出一张，是随机事件；
C、抛一枚普通的硬币，是随机事件；
D、从装满红球的袋子中摸出一个白球是不可能事件；
故选：D．
6．（4分）若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm
【解答】解：∵D、E分别为AB，
∴DE＝AC＝8，
同理，DF＝，FE＝，
∴△DEF的周长＝4+2+8＝17（cm），
故选：D．
7．（4分）从一个由4个男生、3个女生组成的学习小组中，随机选出1人担任小组长，则选出“男生”为小组长的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一个学习小组有4个男生、3个女生，
∴选出“男生”为小组长的概率是，
故选：D．
8．（4分）某斜坡的坡度i＝1：，则该斜坡的坡角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：∵tanα＝1：＝，
∴坡角＝60°．
故选：B．
9．（4分）如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接AG并延长交BC于H，
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GH，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
∴△ADE与△ABC的面积之比为，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为，
故选：C．
10．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2019，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A． B．﹣ C．2019 D．﹣2019
【解答】解：把x＝2019代入方程ax2+bx+c＝0得20197a+2019b+c＝0，
所以c+，
所以为方程cy2+by+a＝0（ac≠2）一根．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：（）2＝ ．
【解答】解：（）4＝．
故答案为：．
12．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【解答】解：原式为x2﹣3x＝6，x（x﹣3）＝0，x7＝0，x2＝3．
∴方程x2﹣3x＝4的解是x1＝0，x4＝3．
13．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则sin A＝ ．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sinA＝＝．
故答案为．
14．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交于l1、l2、l3点D、E、F，AB＝3，BC＝5，则EF＝ ．
【解答】解：∵l1∥l2∥l8，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝5，
∴EF＝．
故答案为．
15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，∠ACB＝90°，BC＝5，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上 ．
【解答】解：∵四边形EFCD是正方形，
∴EF∥CD，EF＝FC＝CD＝DE．
∴△AFE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴EF＝，
故答案为．
16．（4分）若在△ABC内有一点D，使得∠ADB＝∠ADC，AD＝a，则当BD＝ b或 时，△ABD与△ACD相似．
【解答】解：如图，∵∠ADB＝∠ADC，
∴当∠BAD＝∠DAC时，∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴BD＝CD＝b，
当∠BAD＝∠ACD时，
∴△ADB∽△CDA，
∴＝，
∴BD＝，
故答案为b或b＝．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）计算：×﹣+2cos30°．
【解答】解：原式＝﹣+2×
＝2﹣+
＝2．
18．（8分）小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是如图所示两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的若干个扇形，分界线可忽略，游戏者同时转动两个转盘，若有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）
【解答】解：用表格来说明
红色
黄色
红1
（红1，红）
（红6，黄）
红2
（红2，红）
（红4，黄）
黄色
（黄，红）
（黄，黄）
由表知共有6种等可能结果，其中能“配橙色”的有3种结果，
所以游戏者获胜的概率为＝．
19．（8分）如图，在8×8的网格图中，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，2）（﹣1，0）、C（2，﹣1）．
（1）以O为位似中心，将△ABC放大为△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1；
（2）直接写出（1）中点A′、B′、C′的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）点A′的坐标为（0，4），5），﹣2）．
20．（8分）如图，一架遥控无人机在点A处测得某高楼顶点B的仰角为60°，同时测得其底部点C的俯角为30°，求这栋楼高BC的长．
【解答】解：由已知条件得：∠ABC＝30°，
∠BAC＝60°+30°＝90°，
在Rt△ABC中，cos∠ABC＝，
∴（米），
答：这栋楼高BC的长为40米．
21．（8分）某钢铁厂第一个月生产钢铁100万吨，从第二个月起改进技术增大产量，第三个月生产钢铁132万吨，求第二个月钢铁产量的增长率．
【解答】解：设第二个月钢铁产量的增长率为x，则第三个月的增长率为2x，
根据题意得：100（1+x）（5+2x）＝132，
整理得：50x2+75x﹣5＝0，
解得：x1＝7.1＝10%，x2＝﹣2.6（舍去）．
答：第二个月钢铁产量的增长率为10%．
22．（10分）求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
【解答】已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，A′D′是△A″B″C″的高，
求证：＝k，
证明：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，
∵AD是△ABC的高，A′D′是△A″B″C″的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴＝＝k．
23．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有两个实数根，
∴Δ＝34﹣4（k﹣3）≥6，解得k≤，
∴当k≤时，关于x的一元二次方程x3+3x+k﹣3＝4有两个实数根；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+5x+k﹣3＝0的根，
∴x42+3x3+k﹣3＝0，即x42＝﹣3x7﹣k+3．
∵x15+2x1+x3+k＝3，
∴x1＝x7；
∴Δ＝32﹣7（k﹣3）＝0，
解得k＝．
24．（13分）如图，已知直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点B、A，PQ⊥AB于点Q，点A的坐标为（0，3）．
（Ⅰ）求直线AB的解析式；
（Ⅱ）若＝，求点P的坐标；
（Ⅲ）当P在y轴负半轴时，连接BP、OQ，分别取BP、OQ的中点E、F，当OQ∥BP时，求证：PB2＝2PG•PQ．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线y＝x+b经过点A（2，
∴b＝3，
∴直线AB的解析式为：y＝x+3；
（Ⅱ）在y＝x+3中，可得：x＝﹣4，
∴B（﹣4，0），
由（Ⅰ）得：A（0，8），在Rt△OAB中，
∵，
∴，
①当点Q在y轴的左侧时，如图1，
∵PQ⊥AB，OB⊥OA，
∴∠PQA＝∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝∠PAQ，
∴△PAQ∽△BAO，
∴，
∴，
解得：AP＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（0，﹣），
②当点Q在y轴的右侧时，
同①可得：AP＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（0，），
综上所述，点P的坐标为（7，，）；
（Ⅲ）如图4，连接QE，
在Rt△BPQ中，EQ是Rt△BPQ斜边BP边上的中线，
∴EQ＝BP，EO＝，
∴EQ＝EO，即△EQO是等腰三角形，
∵EF是△EQO的中线，
∴EF⊥OQ，
∴∠QFE＝90°，
∵OQ∥BP，
∴∠GEP＝∠QFE＝90°，
∵∠BPQ＝∠GPE，
∴△BPQ∽△GPE，
∴，
∴PE•PB＝PG•PQ，
∵PE＝PB，
∴PB•PB＝PG•PQ，
∴PB6＝2PG•PQ．
25．（13分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4
（1）填空：AC＝ 4 ；
（2）若AP＝3PD，且点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，求tan∠A′QC的值；
（3）设AP＝a，直线PQ交直线BC于点T，求△APQ与△CTQ面积之和S的最小值．（用含a的代数式表示）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝6，
故答案为：4；
（2）如图1，
∵点A与点A′关于PQ对称，
∴△APQ与△A′PQ关于PQ对称，
∴∠DAC＝∠QA′P＝∠QCD＝45°，AP＝PA′，
∵∠QA′D＝∠QA′P+∠PA′D，
∠QA′D＝∠QCD+∠A′QC，
∴∠PA′D＝∠A′QC，
∵AB＝4，AP＝6PD，
∴PD＝1，AP＝PA′＝3，
在Rt△PDA′中，由勾股定理得A′D＝4，
则tan∠A′QC＝tan∠PA′D＝＝；
（3）如图2，过点Q作直线MN⊥AD于点M，则MN⊥BC，
∵AP∥CT，
∴△APQ∽△CTQ，
∴＝，
设QM＝h，则QN＝4﹣h，
∴＝，解得CT＝，
∴S＝ah+•ah+，
整理得：ah8﹣（4a+S）h+8a＝6，
∵此关于h的方程有实数根，
∴△＝（4a+S）2﹣7•a•8a≥0，即（2a+S）2≥32a2，
又4a+S＞0，
∴4a+S≥8a，
∴S≥（4﹣4）a，
当S＝（4﹣4）a时，满足题意；
故当h＝6时，△APQ和△CTQ面积之和S的最小值为（4．
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日期：2021/12/13 10:26:54；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
2018-2019学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1．（4分）下列各数中，能使有意义的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
4．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
5．（4分）下列事件为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷得的点数不是奇数就是偶数
B．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃
C．抛一枚普通的硬币，正面朝上
D．从装满红球的袋子中摸出一个白球
6．（4分）若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm
7．（4分）从一个由4个男生、3个女生组成的学习小组中，随机选出1人担任小组长，则选出“男生”为小组长的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）某斜坡的坡度i＝1：，则该斜坡的坡角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
9．（4分）如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2019，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A． B．﹣ C．2019 D．﹣2019
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：（）2＝ ．
12．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则sin A＝ ．
14．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交于l1、l2、l3点D、E、F，AB＝3，BC＝5，则EF＝ ．
15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，∠ACB＝90°，BC＝5，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上 ．
16．（4分）若在△ABC内有一点D，使得∠ADB＝∠ADC，AD＝a，则当BD＝ 时，△ABD与△ACD相似．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）计算：×﹣+2cos30°．
18．（8分）小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是如图所示两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的若干个扇形，分界线可忽略，游戏者同时转动两个转盘，若有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）
19．（8分）如图，在8×8的网格图中，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，2）（﹣1，0）、C（2，﹣1）．
（1）以O为位似中心，将△ABC放大为△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1；
（2）直接写出（1）中点A′、B′、C′的坐标．
20．（8分）如图，一架遥控无人机在点A处测得某高楼顶点B的仰角为60°，同时测得其底部点C的俯角为30°，求这栋楼高BC的长．
21．（8分）某钢铁厂第一个月生产钢铁100万吨，从第二个月起改进技术增大产量，第三个月生产钢铁132万吨，求第二个月钢铁产量的增长率．
22．（10分）求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
23．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
24．（13分）如图，已知直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点B、A，PQ⊥AB于点Q，点A的坐标为（0，3）．
（Ⅰ）求直线AB的解析式；
（Ⅱ）若＝，求点P的坐标；
（Ⅲ）当P在y轴负半轴时，连接BP、OQ，分别取BP、OQ的中点E、F，当OQ∥BP时，求证：PB2＝2PG•PQ．
25．（13分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4
（1）填空：AC＝ ；
（2）若AP＝3PD，且点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，求tan∠A′QC的值；
（3）设AP＝a，直线PQ交直线BC于点T，求△APQ与△CTQ面积之和S的最小值．（用含a的代数式表示）
2018-2019学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1．（4分）下列各数中，能使有意义的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【解答】解：若有意义，
所以x≥5，
故选：D．
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、与被开方数相同；
B、与被开方数不同；
C、与被开方数不同；
D、与被开方数不同．
故选：A．
3．（4分）若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：由，设a＝8x，
把a＝5x，b＝3x代入，
故选：B．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
【解答】解：x2﹣6x＝﹣6，
x2﹣6x+6＝8，
（x﹣3）5＝8．
故选：B．
5．（4分）下列事件为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷得的点数不是奇数就是偶数
B．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃
C．抛一枚普通的硬币，正面朝上
D．从装满红球的袋子中摸出一个白球
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，是必然事件；
B、从一副扑克牌中任意抽出一张，是随机事件；
C、抛一枚普通的硬币，是随机事件；
D、从装满红球的袋子中摸出一个白球是不可能事件；
故选：D．
6．（4分）若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm
【解答】解：∵D、E分别为AB，
∴DE＝AC＝8，
同理，DF＝，FE＝，
∴△DEF的周长＝4+2+8＝17（cm），
故选：D．
7．（4分）从一个由4个男生、3个女生组成的学习小组中，随机选出1人担任小组长，则选出“男生”为小组长的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一个学习小组有4个男生、3个女生，
∴选出“男生”为小组长的概率是，
故选：D．
8．（4分）某斜坡的坡度i＝1：，则该斜坡的坡角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：∵tanα＝1：＝，
∴坡角＝60°．
故选：B．
9．（4分）如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接AG并延长交BC于H，
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GH，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
∴△ADE与△ABC的面积之比为，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为，
故选：C．
10．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2019，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A． B．﹣ C．2019 D．﹣2019
【解答】解：把x＝2019代入方程ax2+bx+c＝0得20197a+2019b+c＝0，
所以c+，
所以为方程cy2+by+a＝0（ac≠2）一根．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：（）2＝ ．
【解答】解：（）4＝．
故答案为：．
12．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【解答】解：原式为x2﹣3x＝6，x（x﹣3）＝0，x7＝0，x2＝3．
∴方程x2﹣3x＝4的解是x1＝0，x4＝3．
13．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则sin A＝ ．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sinA＝＝．
故答案为．
14．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交于l1、l2、l3点D、E、F，AB＝3，BC＝5，则EF＝ ．
【解答】解：∵l1∥l2∥l8，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝5，
∴EF＝．
故答案为．
15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，∠ACB＝90°，BC＝5，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上 ．
【解答】解：∵四边形EFCD是正方形，
∴EF∥CD，EF＝FC＝CD＝DE．
∴△AFE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴EF＝，
故答案为．
16．（4分）若在△ABC内有一点D，使得∠ADB＝∠ADC，AD＝a，则当BD＝ b或 时，△ABD与△ACD相似．
【解答】解：如图，∵∠ADB＝∠ADC，
∴当∠BAD＝∠DAC时，∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴BD＝CD＝b，
当∠BAD＝∠ACD时，
∴△ADB∽△CDA，
∴＝，
∴BD＝，
故答案为b或b＝．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．（8分）计算：×﹣+2cos30°．
【解答】解：原式＝﹣+2×
＝2﹣+
＝2．
18．（8分）小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是如图所示两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的若干个扇形，分界线可忽略，游戏者同时转动两个转盘，若有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）
【解答】解：用表格来说明
红色
黄色
红1
（红1，红）
（红6，黄）
红2
（红2，红）
（红4，黄）
黄色
（黄，红）
（黄，黄）
由表知共有6种等可能结果，其中能“配橙色”的有3种结果，
所以游戏者获胜的概率为＝．
19．（8分）如图，在8×8的网格图中，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，2）（﹣1，0）、C（2，﹣1）．
（1）以O为位似中心，将△ABC放大为△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1；
（2）直接写出（1）中点A′、B′、C′的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）点A′的坐标为（0，4），5），﹣2）．
20．（8分）如图，一架遥控无人机在点A处测得某高楼顶点B的仰角为60°，同时测得其底部点C的俯角为30°，求这栋楼高BC的长．
【解答】解：由已知条件得：∠ABC＝30°，
∠BAC＝60°+30°＝90°，
在Rt△ABC中，cos∠ABC＝，
∴（米），
答：这栋楼高BC的长为40米．
21．（8分）某钢铁厂第一个月生产钢铁100万吨，从第二个月起改进技术增大产量，第三个月生产钢铁132万吨，求第二个月钢铁产量的增长率．
【解答】解：设第二个月钢铁产量的增长率为x，则第三个月的增长率为2x，
根据题意得：100（1+x）（5+2x）＝132，
整理得：50x2+75x﹣5＝0，
解得：x1＝7.1＝10%，x2＝﹣2.6（舍去）．
答：第二个月钢铁产量的增长率为10%．
22．（10分）求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
【解答】已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，A′D′是△A″B″C″的高，
求证：＝k，
证明：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，
∵AD是△ABC的高，A′D′是△A″B″C″的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴＝＝k．
23．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有两个实数根，
∴Δ＝34﹣4（k﹣3）≥6，解得k≤，
∴当k≤时，关于x的一元二次方程x3+3x+k﹣3＝4有两个实数根；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+5x+k﹣3＝0的根，
∴x42+3x3+k﹣3＝0，即x42＝﹣3x7﹣k+3．
∵x15+2x1+x3+k＝3，
∴x1＝x7；
∴Δ＝32﹣7（k﹣3）＝0，
解得k＝．
24．（13分）如图，已知直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点B、A，PQ⊥AB于点Q，点A的坐标为（0，3）．
（Ⅰ）求直线AB的解析式；
（Ⅱ）若＝，求点P的坐标；
（Ⅲ）当P在y轴负半轴时，连接BP、OQ，分别取BP、OQ的中点E、F，当OQ∥BP时，求证：PB2＝2PG•PQ．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线y＝x+b经过点A（2，
∴b＝3，
∴直线AB的解析式为：y＝x+3；
（Ⅱ）在y＝x+3中，可得：x＝﹣4，
∴B（﹣4，0），
由（Ⅰ）得：A（0，8），在Rt△OAB中，
∵，
∴，
①当点Q在y轴的左侧时，如图1，
∵PQ⊥AB，OB⊥OA，
∴∠PQA＝∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝∠PAQ，
∴△PAQ∽△BAO，
∴，
∴，
解得：AP＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（0，﹣），
②当点Q在y轴的右侧时，
同①可得：AP＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（0，），
综上所述，点P的坐标为（7，，）；
（Ⅲ）如图4，连接QE，
在Rt△BPQ中，EQ是Rt△BPQ斜边BP边上的中线，
∴EQ＝BP，EO＝，
∴EQ＝EO，即△EQO是等腰三角形，
∵EF是△EQO的中线，
∴EF⊥OQ，
∴∠QFE＝90°，
∵OQ∥BP，
∴∠GEP＝∠QFE＝90°，
∵∠BPQ＝∠GPE，
∴△BPQ∽△GPE，
∴，
∴PE•PB＝PG•PQ，
∵PE＝PB，
∴PB•PB＝PG•PQ，
∴PB6＝2PG•PQ．
25．（13分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4
（1）填空：AC＝ 4 ；
（2）若AP＝3PD，且点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，求tan∠A′QC的值；
（3）设AP＝a，直线PQ交直线BC于点T，求△APQ与△CTQ面积之和S的最小值．（用含a的代数式表示）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝6，
故答案为：4；
（2）如图1，
∵点A与点A′关于PQ对称，
∴△APQ与△A′PQ关于PQ对称，
∴∠DAC＝∠QA′P＝∠QCD＝45°，AP＝PA′，
∵∠QA′D＝∠QA′P+∠PA′D，
∠QA′D＝∠QCD+∠A′QC，
∴∠PA′D＝∠A′QC，
∵AB＝4，AP＝6PD，
∴PD＝1，AP＝PA′＝3，
在Rt△PDA′中，由勾股定理得A′D＝4，
则tan∠A′QC＝tan∠PA′D＝＝；
（3）如图2，过点Q作直线MN⊥AD于点M，则MN⊥BC，
∵AP∥CT，
∴△APQ∽△CTQ，
∴＝，
设QM＝h，则QN＝4﹣h，
∴＝，解得CT＝，
∴S＝ah+•ah+，
整理得：ah8﹣（4a+S）h+8a＝6，
∵此关于h的方程有实数根，
∴△＝（4a+S）2﹣7•a•8a≥0，即（2a+S）2≥32a2，
又4a+S＞0，
∴4a+S≥8a，
∴S≥（4﹣4）a，
当S＝（4﹣4）a时，满足题意；
故当h＝6时，△APQ和△CTQ面积之和S的最小值为（4．
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日期：2021/12/13 10:26:54；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
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