2023-2024学年福建省泉州市鲤城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市鲤城区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列选项中是一元二次方程的是( )
A. x2−3x−1=0B. 1x2=2C. x−2y+1=0D. x3−8=0
2.tan45°的值等于( )
A. 33B. 22C. 32D. 1
3.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 泉州明天会下大雨B. 在369个人中，一定有两个人在同日出生
C. 打开电视机，正好在播新闻D. 小明这学期数学期末考试得分是146
4.下列二次根式中，能与3 2合并的是( )
A. 0.2B. 4C. 6D. 8
5.用配方法解一元二次方程x2−4x+3=0时，配方正确的是( )
A. (x+2)2=1B. (x+2)2=7C. (x−2)2=7D. (x−2)2=1
6.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是( )
A. ∠ACD=∠B
B. ∠ADC=∠ACB
C. ADAC=CDBC
D. AC2=AD⋅AB
7.抛物线y=2(x−4)2−3经过平移得到抛物线y=x2，则平移过程正确的是( )
A. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
B. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
C. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D. 先向右平格4个单位，再向上平移3个单位
8.如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为( )
A. (−2,−2)B. (−1,−1)C. (−1,0)D. (0,−1)
9.如图，点A，B，C在半径为5的⊙O上，BC=6，则cs∠CAB的值为( )
A. 43
B. 34
C. 45
D. 35
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2aA. 1B. 2C. 4D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若式子 2x+4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.已知ab=32则a+ba−b= ______．
13.一只盒子中有红球10个，白球6个，黑球a个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么a的值是______．
14.若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作______个.
15.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是______．
16.如图，△ABC为等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD.若∠ABD=2∠ACD，tan∠ACD=2 35，BD= 37，则CD=______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：(x−3)2=2(x−3)
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算： 2× 3+ 18÷ 3−|2 6−2|．
19.(本小题8分)
如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点M取∠AMB=150°，MB=600m，∠B=60°.另一边开工点N在直线AC上，求MN的长(结果保留根号)．
20.(本小题8分)
如图，AB，AC分别交⊙O于D，E两点.求证：AD⋅AB=AE⋅AC．
21.(本小题8分)
已知△ABC，请按以下要求完成本题：
(1)请作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)若在△ABC中，∠ABC=65°，∠ACB=45°，⊙O的直径AD交CB于E，求∠DEC的度数．
22.(本小题10分)
一个不透明的纸箱里有三张完全相同的卡片，它们上面分别写着 2、 6、 18，小丽从中抽取一张，看完数后，把卡片放回，搅匀，然后小明再从中抽取一张．
(1)直接写出小丽取出的卡片恰好是 2的概率；
(2)同学小颖帮他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积为有理数，则小丽获胜；否则小明获胜.你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
23.(本小题10分)
如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米．
(1)如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长；
(2)请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至E，使得BD=DE，连接CE、BI．
(1)求证：DB=DI；
(2)求证：直线CE为⊙O的切线；
(3)若tan∠ADB=43，BC=20，求AD的长．
25.(本小题14分)
抛物线y=ax2−2ax+c与x轴只有一个交点A(c,0)，与直线y=a交于B，C两点，点C恰好落在y轴上．
(1)直接写出此抛物线的解析式；
(2)在抛物线y=ax2−2ax+c的对称轴右侧图象上存在两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)(x1①求tan∠ODC的最大值；
②若直线EM//QC，求证：△MBD的面积是一个定值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、方程x2−3x−1=0是一元二次方程，符合题意；
B、方程1x2=2含有分式，不是一元二次方程，不符合题意；
C、方程x−2y+1=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程x3−8=0未知数的次数是3，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：tan45°=1，
故选：D．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、泉州明天会下大雨是随机事件，不符合题意；
B、在369个人中，一定有两个人在同日生日是必然事件，符合题意；
C、打开电视机，正好在播新闻是随机事件，不符合题意；
D、小明这学期数学期末考试得分146是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：A、 0.2= 15= 55，不能与3 2合并，故此选项不符合题意；
B、 4=2，不能与3 2合并，故此选项不符合题意；
C、 6不能与3 2合并，故此选项不符合题意；
D、 8=2 2，能与3 2合并，故此选项符合题意；
故选：D．
如果两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则这两个二次根式是同类二次根式，由此判断即可．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：x2−4x+3=0，
x2−4x=−3，
x2−4x+4=−3+4，
(x−2)2=1，
故选：D．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当ADAC=CDBC时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当AC2=AD⋅AB时，即ACAB=ADAC，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：抛物线y=2(x−4)2−3先向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=x2．
故选：B．
根据函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：位似中心的坐标为A(−1,−1)．
故选：B．
根据位似变换图形的性质作图，找到位似中心即可．
本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
9.【答案】C
【解析】解：连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，则∠E=∠CAB，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∵⊙O的半径为5，BC=6，
∴BE=10，
∴CE= BE2−BC2= 102−62=8，
∴cs∠CAB=cs∠E=CEBE=810=45．
故选：C．
连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，由圆周角定理可知∠E=∠CAB，∠BCE=90°，再由勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
本题考查的是圆周角定理及解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
由0<2a【解答】
解：由0<2a由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1，
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB−yC，CD=1，
过点A作AF/​/BC，交抛物线于点E(x1,yE)，交x轴于点F(x2,0)，
则∠FAA1=∠CBD．
于是Rt△AFA1∽Rt△BCD，
所以AA1BD=FA1CD，即yAyB−yC=1−x21，
过点E作EG⊥AA1于点G，则△AEG∽△BCD．
有AGBD=EGCD，即yA−yEyB−yC=1−x11，
∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(−1,yC)、E(x1,yE)在抛物线y=ax2+bx+c上，
得yA=a+b+c，yB=c，yC=a−b+c，yE=ax12+bx1+c，
∴yA−yEyB−yC=a+b+c−(ax12+bx1+c)c−(a−b+c)=1−x1，
化简，得x12+x1−2=0，解得x1=−2(x1=1舍去)，
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1<−1，
则1−x2≥1−x1，即1−x2≥3．
∴yAyB−yC≥3，
∴yAyB−yC的最小值为3．
故选：D．
11.【答案】x≥−2
【解析】解：由题意得：2x+4≥0，
解得：x≥−2，
故答案为：x≥−2．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵ab=32，，
∴设a=32b，
∴a+ba−b
=32b+b32b−b
=52b÷12b
=52b×2b
=5．
故答案为：5．
首先由ab=32，可得a=32b，然后将其代入a+ba−b，即可求得答案．
本题考查了比例的性质，掌握由ab=32，可得a=32b的解题方法是关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，
∴红球和不是红球的个数相等，
则10=6+a，
解得a=4，
故答案为：4．
由从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，知红球和不是红球的个数相等，据此可得答案．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14.【答案】6
【解析】解：①过点A、B、P可以确定一个圆；
②过点A、C、P可以确定一个圆；
③过点B、C、P可以确定一个圆；
④过点A、D、P可以确定一个圆；
⑤过点B、D、P可以确定一个圆；
⑥过点C、D、P可以确定一个圆．
综上所述，最多可以作6个圆，
故答案为：6．
根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可．
本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．
15.【答案】14
【解析】解：解方程x2−2x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为：14．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16.【答案】11
【解析】解：如图，连接AD，作BH⊥AD于H，作DE⊥CB交CB的延长线于E，作CM⊥DA交DA的延长线于M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠DBE=180°−∠ABD−∠ABC=120°−2∠ACD=120°−2(60°−∠BCD)=2∠BCD，
又∵∠DBE=∠BDC+∠BCD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，
∴BD=BA=BC=AC= 37，
∴△ADC的外接圆的圆心是点B，
∴∠ADC=12∠ABC=30°，
∵BD=BA，BH⊥AD，
∴∠ABH=∠DBH，
∵∠ABD=2∠ACD，
∴∠DBH=∠ACD，
∴tan∠DBH=tan∠ACD=2 35=DHBH，
设DH=2 3k，BH=5k，
∴(2 3k)2+(5k)2=37，
∴k=1或−1(舍弃)，
∴DH=AH=2 3，
设CM=x，则DM= 3x，CD=2x，
∴AM= 3x−4 3，
在Rt△ACM中，∵AC2=AM2+CM2，
∴37=( 3x−4 3)2+x2，
解得x=12(舍弃)或112，
∴CM=112，
∴CD=2x=11，
故答案为11．
如图，连接AD，作BH⊥AD于H，作DE⊥CB交CB的延长线于E，作CM⊥DA交DA的延长线于M.首先证明BD=BC，推出△ADC的外接圆的圆心是点B，推出∠ADC=12∠ABC=30°，解直角三角形求出DH，设CM=x，则DM= 3x，CD=2x，AM= 3x−4 3，在Rt△ACM中，根据AC2=AM2+CM2，构建方程解决问题即可．
本题考查解直角三角形，等边三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是发现点B是△ACD的外接圆的圆心，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：方程整理得：(x−3)2−2(x−3)=0，
分解因式得：(x−3)(x−3−2)=0，
解得：x1=3，x2=5．
【解析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】解： 2× 3+ 18÷ 3−|2 6−2|
= 6+ 6−(2 6−2)
= 6+ 6−2 6+2
=2．
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：∵∠AMB=150°，
∴∠NMB=30°．
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°．
∵MB=600m，
∴MN=MB⋅cs∠NMB=600× 32=300 3(m)．
答：MN长300 3m.
【解析】易得∠NMB=30°，那么∠BNM=90°，根据30°的余弦值可得MN的长．
本题考查解直角三角形的应用．用到的知识点为：csA=∠A的邻边斜边；cs30°= 32．
20.【答案】证明：∵AB，AC分别交⊙O于D，E两点．
∴四边形BCED是⊙O内接圆，
∴∠C+∠BDE=180°，
∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB
即AD⋅AB=AE⋅AC．
【解析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠ADE=∠C，进而证明△ADE∽△ACB，即可得证．
本题考查了圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
21.【答案】解：(1)作AB的垂直平分线KT，AC的垂直平分线MN，KT交MN于O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O，如图：

⊙O即为所求；
(2)连接CD，如上图，
∵AC=AC，
∴∠ADC=∠ABC=65°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAC=180°−∠ADC−∠ACD=180°−65°−90°=25°，
∴∠DEC=∠DAC+∠ACB=25°+45°=70°．
∴∠DEC为70°．
【解析】(1)作AB的垂直平分线KT，AC的垂直平分线MN，KT交MN于O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O即为所求；
(2)连接CD，求出∠ADC=∠ABC=65°，∠ACD=90°，可得∠DAC=180°−∠ADC−∠ACD=180°−65°−90°=25°，故∠DEC=∠DAC+∠ACB=25°+45°=70°．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握确定三角形三角形外接圆圆心的方法．
22.【答案】解：(1)∵有三张完全相同的卡片，小丽取出的卡片恰好是 2的有1种情况，
∴小丽取出的卡片恰好是 2的概率为13；
(2)画树状图得：

∴一共有6种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积是有理数的有2种，
∴P(小丽胜)=13，P(小明胜)=23，
∴这个游戏规则不公平，对小明有利．
【解析】(1)根据概率公式直接求解即可求得答案；
(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可，若不相等，则不公平，概率大的则有利．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)设边AB的长为x米，则AD=80−4x+3=(83−4x)米，
根据题意可得x(83−4x)=345，
解得x1=234，x2=15，
∵墙的最大可用长度为50米，且当x=234时，AD=83−4×234=60(米)，不合题意，
∴x=15米．
答：边AB的长为15米；
(2)若羊圈的总面积能为480平方米，
则结合(1)可得 x(83−4x)=480，
整理，得 4x2−83x+480=0，
∵Δ=(−83)2−4×4×480=−791<0，
∴羊圈的总面积不能为480平方米．
【解析】(1)设边AB的长为x米，则AD=(83−4x)米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；
(2)由(1)可得x(83−4x)=480，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵I是△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠IBA=∠IBC，
∵∠BID=∠BAI+∠IBA，∠DBI=∠IBC+∠DBC，∠DBC=∠IAC，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DB=DI；
(2)证明：连接CD.如图1，

∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴BD=CD，
又∵BD=DE，
∴CD=DB=DE，
∴∠BCE=90°，
∴BC⊥CE，
∵BC为圆的直径，
∴CF是⊙O的切线．
(3)如图2，

在Rt△ABC中，BC=20，∠ACB=∠ADB，tan∠ADB=43，
∴AB=16，AC=12，
过点I作IH⊥AC于H，
∵点I是Rt△ABC内心，
∴内切圆的半径IH=12+16−202=4，
在Rt△AIH中，∠CAD=45°，
∴AI= 2IF=4 2，
由(2)知，△BDC为等腰直角三角形，
又∵BC=20，
∴BD=20÷ 2=10 2，
∴DI=BD=10 2，AD=DI+AI=14 2．
【解析】(1)欲证明DB=DI，只要证明∠DBI=∠DIB；
(2)欲证明直线CE为⊙O的切线，只要证明BC⊥CE即可；
(3)要根据tan∠ADB=43，BC=20，求AD的长，只要求得BD的长即可，
本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
25.【答案】(1)解：∵y=ax2−2ax+c与x轴只有一个交点，
∴Δ=4a2−4ac=0，
∴a=c，
∴抛物线解析式为y=cx2−2cx+c，
将点A(c,0)代入，可得c3−2c2+c=0，
解得c=0(舍)或c=1，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x+1；
(2)①解：y=x2−2x+1=(x−1)2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当y=1时，x2−2x+1=1，
解得x=0或x=2，
∴C(0,1)，B(2,1)，
当△OCD的外接圆与直线x=1相切时，∠ODC最大，此时tan∠ODC的值最大，
∵OC的垂直平分线为直线y=12，
∴△OCD的外接圆圆心在直线y=12上，
设圆心为G(t,12)，
∴GO=GD，
∴ t2+14=1−t，
解得t=38，
∴G(38,12)，
∵∠CGH=2∠CDH，
∴∠CGH=∠ODC，
∴tan∠ODC=1238=43，
∴tan∠ODC的最大值为43；
②证明：∵ME//CQ，
∴△MBD的面积与△EBD的面积相等，
设D(1,m)，则D点关于直线y=1的对称点为D′(1,2−m)，
∵∠PCB=∠QCB，
∴D′在直线CQ上，
设直线CQ的解析式为y=kx+1，
∴k+1=2−m，
解得k=1−m，
∴直线CQ的解析式为y=(1−m)x+1，
当x2−2x+1=(1−m)x+1时，
解得x=0或x=3−m，
∴Q(3−m,m2−4m+4)，
∴直线BQ的解析式为y=(3−m)x+2m−5，
∴E(1,m−2)，
∴ED=2，
∴△MBD的面积=12×2×1=1，
∴△MBD的面积是一个定值．
【解析】(1)根据y=ax2−2ax+c与x轴只有一个交点，可得a=c，再将点将点A(c,0)代入y=cx2−2cx+c，求出a=c=1；
(2)①当△OCD的外接圆与直线x=1相切时，∠ODC最大，此时tan∠ODC的值最大，设圆心为G(t,12)，根据GO=GD，求出G(38,12)，再由∠CGH=∠ODC，可求tan∠ODC的最大值为43；
②根据ME//CQ，可知△MBD的面积与△EBD的面积相等，设D(1,m)，则D点关于直线y=1的对称点为D′(1,2−m)，求出直线CQ的解析式为y=(1−m)x+1，从而求出点Q(3−m,m2−4m+4)，再求直线BQ的解析式为y=(3−m)x+2m−5，可求出E(1,m−2)，则ED=2，所以△MBD的面积=12×2×1=1是定值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，当△OCD的外接圆与直线x=1相切时，tan∠ODC的值最大是解题的关键．