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2019-2020学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
2．（4分）若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．8（1+2x）＝11 B．8（1+x）2＝11
C．8（1+2x）2＝11 D．8+8（1+x）+8（1+2x）2＝11
5．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
6．（4分）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
7．（4分）如图为某一试验结果的频率随机试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（ ）
A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2
B．掷一枚硬币，出现正面朝上
C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球
D．从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于7
8．（4分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°（即BC的长）约为（ ）
A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．
9．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE与BD相交于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣7＝0的根，则a4+a3+7a﹣1的值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算：+＝ ．
12．（4分）一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 ．
13．（4分）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若BC＝30米 米．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，M、N分别是AB与AC的中点 ．
15．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上（∠CAB+∠ABC）＝ ．
16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝8，点F在边AD上，连接AG并延长交CD于点E，若点E将CD分为1：3的两部分 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.
17．（8分）计算：×+﹣2cos45°
18．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1、x2，有如下结论：x1+x2＝﹣，x1x2＝，试利用上述结论，解决问题：已知关于x的一元二次方程3x2﹣x﹣2019＝0的两根分别为x1、x2，求（x1+2）（x2+2）的值．
19．（8分）某校有一块矩形绿地（数据如图所示，单位：m），现在其中修建一条道路（阴影所示），若所修建道路的面积为325m2，求x的值．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k+1）x+1＝0
（1）求证：这个方程一定有实根；
（2）若这个方程有一根为﹣3，试求k的值．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD．
（1）尺规作图：在线段CD上求一点E，使得∠AED＝30°（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）连接BE，若点F为边BE的中点，求证：∠EAF＝∠EBC．
22．（10分）将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点A、B、D在同一条直线上，EF∥AB，∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝45°，BD＝3﹣3
23．（10分）某台机床生产铸件产品，按照生产标准，铸件产品评定等级、整改费用规定如下：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
评定等级
整改费用
（单位：元/件）
a＝30.0
特优品
/
29.9≤a≤30.1
优等品
/
29.8≤a≤30.2
合格品
/
a≤29.7
不合格品
50
a≥30.3
不合格品
30
注：在统计优等品个数时，将特优品计算在内；在统计合格品个数时（含特优品）计算在内．
现该机床生产20件产品，测量其重量，得到如下统计表：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
a≤29.7
29.8
29.9
30.0
30.1
30.2
a≥30.3
件数
2
3
4
x
3
1
y
对照生产标准，发现这批铸件产品的合格率为80%．
（1）求x与y的值；
（2）根据客户要求，这批铸件产品的合格率不得低于90%，现决定从不合格产品中随机抽取两件进行整改
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N
（1）求tan∠ABO的值；
（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；
（3）若MD＝MN，求点D的坐标．
25．（14分）如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．
（1）求证：△CPB∽△BPA；
（2）连接AC，若AC⊥BC，试求；
（3）记AP＝a，BP＝b，CP＝c，a≥2b，且a、b、c为整数，b，c的值．
2019-2020学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0．
故选：C．
2．（4分）若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝1+
∵＝
∴＝
把＝代入＝
故选：C．
3．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝，故本选项错误；
B、＝2；
C、＝，故本选项错误；
D、＝3．
故选：B．
4．（4分）某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．8（1+2x）＝11 B．8（1+x）2＝11
C．8（1+2x）2＝11 D．8+8（1+x）+8（1+2x）2＝11
【解答】解：设该快递公司这两年投递总件数的年平均增长率为x，
根据题意，得：8（1+x）4＝11，
故选：B．
5．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴＝，AC∥DF，
∴＝＝，
∴＝．
故选：B．
6．（4分）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
【解答】解：x2﹣6x+4＝0，
x2﹣5x＝﹣7，
x2﹣3x+9＝﹣7+7，
（x﹣3）2＝7，
则m＝3，n＝2．
故选：D．
7．（4分）如图为某一试验结果的频率随机试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（ ）
A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2
B．掷一枚硬币，出现正面朝上
C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球
D．从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于7
【解答】解：根据实验频率可以估计该事件发生的概率为，
掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2的概率为＝；
掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；
从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球的概率为＝；
从标有数字1，7，3，4，4，6，7，3，9的九张卡片中＝，因此选项D不符合题意；
故选：B．
8．（4分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°（即BC的长）约为（ ）
A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．
【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，
故选：B．
9．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE与BD相交于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD＝BC＝2BE，
∴△BEG∽△DAG，
∴＝＝，
∴DG＝2BG，
∴BD＝6BG，OD＝OB＝，
∴＝；
故选：C．
10．（4分）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣7＝0的根，则a4+a3+7a﹣1的值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣7＝2的一个根，
a2+a﹣7＝4
∴a2+a＝7，
∴a4+a3+7a﹣6＝a2（a2+a）+2a﹣1＝7a8+7a﹣1＝49﹣7＝48，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算：+＝ 5 ．
【解答】解：原式＝4+＝5，
故答案为：6．
12．（4分）一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 x＝﹣1或x＝2 ．
【解答】解：∵x（x+1）﹣2（x+7）＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
则x+1＝2或x﹣2＝0，
解得x＝﹣7或x＝2，
故答案为：x＝﹣1或x＝5．
13．（4分）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若BC＝30米 15 米．
【解答】解：∵迎水坡AC的坡度i＝1：2，
∴＝，即＝，
解得，AB＝15，
故答案为：15．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，M、N分别是AB与AC的中点 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝AB＝7，
∵M、N分别是AB与BC的中点，
∴MN＝BC＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上（∠CAB+∠ABC）＝ ．
【解答】解：如图，∵∠DCB＝∠CAB+∠ABC，
∵∠D＝90°，
CD＝BD＝＝2，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∴∠DCB＝45°，
∴sin（∠CAB+∠ABC）＝sin45°＝，
故答案为：．
16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝8，点F在边AD上，连接AG并延长交CD于点E，若点E将CD分为1：3的两部分 0.4或 ．
【解答】解：由题意可得，
AB＝AD＝CD＝8，∠AHF＝∠AHB＝90°，
当DE：EC＝3：4时，DE＝6，
∵∠DAE+∠BAH＝∠BAD＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
∵tan∠DAE＝，
∴tan∠ABF＝，
∴AF＝6，
∵∠AHF＝90°，tan∠HAF＝，
∴AH＝4.7，
∴HG＝AH＝4.8，
∴AG＝4.6，
∵∠ADE＝90°，AD＝8，
∴AE＝10，
∴GE＝AE﹣AG＝10﹣7.6＝0.7；
当DE：EC＝1：3时，DE＝6，
同理可得，GE＝；
故答案为：0.4或．
三、解答题：本题共9小题，共86分.
17．（8分）计算：×+﹣2cos45°
【解答】解：原式＝+﹣2×
＝4+﹣
＝4．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1、x2，有如下结论：x1+x2＝﹣，x1x2＝，试利用上述结论，解决问题：已知关于x的一元二次方程3x2﹣x﹣2019＝0的两根分别为x1、x2，求（x1+2）（x2+2）的值．
【解答】解：由一元二次方程的根与系数的关系得到x1+x2＝，x1•x6＝﹣673，
（x1+2）（x2+2）
＝x1•x4+2（x1+x4）+4
＝﹣673+2×+4
＝﹣668．
19．（8分）某校有一块矩形绿地（数据如图所示，单位：m），现在其中修建一条道路（阴影所示），若所修建道路的面积为325m2，求x的值．
【解答】解：由题意可得：（40﹣x）（30﹣x）＝40×30﹣325
即（x﹣5）（x﹣65）＝0，
解得：x4＝5，x2＝65，
经检验得：x＝65不合题意，舍去，
答：x的值为2；
20．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k+1）x+1＝0
（1）求证：这个方程一定有实根；
（2）若这个方程有一根为﹣3，试求k的值．
【解答】（1）证明：根据题意得k≠0
∵Δ＝（k+1）4﹣4k＝（k﹣1）3≥0，
∴这个方程一定有实根；
（2）解：把x＝﹣3代入一元二次方程kx7+（k+1）x+1＝3得9k﹣3（k+5）+1＝0，
解得k＝．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD．
（1）尺规作图：在线段CD上求一点E，使得∠AED＝30°（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）连接BE，若点F为边BE的中点，求证：∠EAF＝∠EBC．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）∵AE＝AB，BF＝EF，
∴∠EAF＝∠FAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠FAB+∠EBA＝90°，∠EBA+∠EBC＝90°，
∴∠FAB＝∠EBC，
∴∠EAF＝∠EBC．
22．（10分）将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点A、B、D在同一条直线上，EF∥AB，∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝45°，BD＝3﹣3
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴AH＝HB，
∴CH＝AH＝HB，设CH＝AH＝BH＝x，
∵EF∥AD，
∴∠CDH＝∠F＝30°，
∴CD＝2x，DH＝x，
∵BD＝4﹣3，
∴x﹣x＝3，
∴x＝5，
∴EF＝AB＝6，
∴DF＝＝4，
∴CF＝DF﹣CD＝4﹣2．
23．（10分）某台机床生产铸件产品，按照生产标准，铸件产品评定等级、整改费用规定如下：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
评定等级
整改费用
（单位：元/件）
a＝30.0
特优品
/
29.9≤a≤30.1
优等品
/
29.8≤a≤30.2
合格品
/
a≤29.7
不合格品
50
a≥30.3
不合格品
30
注：在统计优等品个数时，将特优品计算在内；在统计合格品个数时（含特优品）计算在内．
现该机床生产20件产品，测量其重量，得到如下统计表：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
a≤29.7
29.8
29.9
30.0
30.1
30.2
a≥30.3
件数
2
3
4
x
3
1
y
对照生产标准，发现这批铸件产品的合格率为80%．
（1）求x与y的值；
（2）根据客户要求，这批铸件产品的合格率不得低于90%，现决定从不合格产品中随机抽取两件进行整改
【解答】解：（1）合格的件数：20×80%＝16件，不合格：20﹣16＝4件，
∵a≤29.7的有8件，a≥30.3的有y件，
∴y＝4﹣8＝2，
∴x＝20﹣2﹣8﹣4﹣3﹣6﹣y＝5件，
答：x、y的值分别为5，6；
（2）原来不合格的有4个，即a≤29.7的有6件，
现从任意选择两个进行整改，用列表法表示所有可能出现的结果为：
（注：a≤29.7的有2件，记作A6、A2，a≥30.3的有3件，记作B1、B2
共有12中等可能出现的情况，其中选两个都是B的最省钱，
∴P（费用最低）＝＝；
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N
（1）求tan∠ABO的值；
（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；
（3）若MD＝MN，求点D的坐标．
【解答】解：（1）直线l：y＝﹣x+2与x轴、A两点，
则点A、B的坐标分别为：（0、（3；
tan∠ABO＝＝＝tanα；
（2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由：
点C是AB的中点，
则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠DFO，
∴O、F、M、D四点共圆，
∴∠DMF+∠DOF＝180°，
∴∠DOF＝90°，即：DE⊥FM；
解法二：∵∠NDM＝∠NOF，∠DNM＝∠ONF，
∴△DNM∽△ONF，
∴＝，∠DMN＝∠OFN，
∴＝，
∵∠OND＝∠FNM，
∴△OND∽△FNM，
∴∠DON＝∠NFM，
∴∠MDN+∠NFM＝∠NOF+∠DON＝90°，
∴∠DMF＝90°，
∴DE⊥FM．
（3）MD＝MN，
∴∠MDN＝∠MND＝α，
而∠COB＝α，∠DNM＝∠ONF＝α，
即△ONF为以ON为底，底角为α的等腰三角形，
则tan∠NFO＝＝＝tanβ（证明见备注）；
设OF＝m，则DF＝FB＝3﹣m，
cos∠DFO＝cosβ＝，
解得：m＝，
OD7＝DF2﹣OF2＝（5﹣m）2﹣m2＝；
则OD＝，
故点D（0，）．
备注：如下图，
过点N作HN⊥OF于点H，tanα＝，作FM⊥ON于点M，
设FN＝OF＝7a，则FM＝4a，
同理可得：NH＝，
sin∠NFO＝＝＝sinβ．
25．（14分）如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．
（1）求证：△CPB∽△BPA；
（2）连接AC，若AC⊥BC，试求；
（3）记AP＝a，BP＝b，CP＝c，a≥2b，且a、b、c为整数，b，c的值．
【解答】（1）证明：∵∠BPA＝135°，
∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°，
∵∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°，
∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP，
∴∠BAP＝∠CBP，
∵∠BPA＝∠BPC，
∴△CPB∽△BPA；
（2）解：∵AC⊥BC，∠MBN＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵△CPB∽△BPA，
∴＝＝＝＝，
设PC＝a，
则BP＝a，AP＝4a，
∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴AC＝＝＝a，
∴＝＝；
（3）解：∵△CPB∽△BPA，
∴＝，
即＝≥2，
∴b2＝ac，c≤，
∴a+b﹣c≥2b+b﹣＝b，
∴b≤20，
∴b≤8，
∵a、b、c为正整数，
∴当b＝8时，ac＝64，
解得：a＝16，c＝3或a＝﹣4，
当b＝7时，a＝14；与＝矛盾，
当b＜7时，c＜0（b＜7时，只能得到没有正整数解，
∴a，b，c的值为16，5，4．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/13 10:26:59；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
2019-2020学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
2．（4分）若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．8（1+2x）＝11 B．8（1+x）2＝11
C．8（1+2x）2＝11 D．8+8（1+x）+8（1+2x）2＝11
5．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
6．（4分）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
7．（4分）如图为某一试验结果的频率随机试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（ ）
A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2
B．掷一枚硬币，出现正面朝上
C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球
D．从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于7
8．（4分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°（即BC的长）约为（ ）
A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．
9．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE与BD相交于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣7＝0的根，则a4+a3+7a﹣1的值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算：+＝ ．
12．（4分）一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 ．
13．（4分）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若BC＝30米 米．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，M、N分别是AB与AC的中点 ．
15．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上（∠CAB+∠ABC）＝ ．
16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝8，点F在边AD上，连接AG并延长交CD于点E，若点E将CD分为1：3的两部分 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.
17．（8分）计算：×+﹣2cos45°
18．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1、x2，有如下结论：x1+x2＝﹣，x1x2＝，试利用上述结论，解决问题：已知关于x的一元二次方程3x2﹣x﹣2019＝0的两根分别为x1、x2，求（x1+2）（x2+2）的值．
19．（8分）某校有一块矩形绿地（数据如图所示，单位：m），现在其中修建一条道路（阴影所示），若所修建道路的面积为325m2，求x的值．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k+1）x+1＝0
（1）求证：这个方程一定有实根；
（2）若这个方程有一根为﹣3，试求k的值．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD．
（1）尺规作图：在线段CD上求一点E，使得∠AED＝30°（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）连接BE，若点F为边BE的中点，求证：∠EAF＝∠EBC．
22．（10分）将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点A、B、D在同一条直线上，EF∥AB，∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝45°，BD＝3﹣3
23．（10分）某台机床生产铸件产品，按照生产标准，铸件产品评定等级、整改费用规定如下：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
评定等级
整改费用
（单位：元/件）
a＝30.0
特优品
/
29.9≤a≤30.1
优等品
/
29.8≤a≤30.2
合格品
/
a≤29.7
不合格品
50
a≥30.3
不合格品
30
注：在统计优等品个数时，将特优品计算在内；在统计合格品个数时（含特优品）计算在内．
现该机床生产20件产品，测量其重量，得到如下统计表：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
a≤29.7
29.8
29.9
30.0
30.1
30.2
a≥30.3
件数
2
3
4
x
3
1
y
对照生产标准，发现这批铸件产品的合格率为80%．
（1）求x与y的值；
（2）根据客户要求，这批铸件产品的合格率不得低于90%，现决定从不合格产品中随机抽取两件进行整改
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N
（1）求tan∠ABO的值；
（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；
（3）若MD＝MN，求点D的坐标．
25．（14分）如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．
（1）求证：△CPB∽△BPA；
（2）连接AC，若AC⊥BC，试求；
（3）记AP＝a，BP＝b，CP＝c，a≥2b，且a、b、c为整数，b，c的值．
2019-2020学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0．
故选：C．
2．（4分）若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝1+
∵＝
∴＝
把＝代入＝
故选：C．
3．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝，故本选项错误；
B、＝2；
C、＝，故本选项错误；
D、＝3．
故选：B．
4．（4分）某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．8（1+2x）＝11 B．8（1+x）2＝11
C．8（1+2x）2＝11 D．8+8（1+x）+8（1+2x）2＝11
【解答】解：设该快递公司这两年投递总件数的年平均增长率为x，
根据题意，得：8（1+x）4＝11，
故选：B．
5．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴＝，AC∥DF，
∴＝＝，
∴＝．
故选：B．
6．（4分）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
【解答】解：x2﹣6x+4＝0，
x2﹣5x＝﹣7，
x2﹣3x+9＝﹣7+7，
（x﹣3）2＝7，
则m＝3，n＝2．
故选：D．
7．（4分）如图为某一试验结果的频率随机试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（ ）
A．掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2
B．掷一枚硬币，出现正面朝上
C．从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球
D．从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于7
【解答】解：根据实验频率可以估计该事件发生的概率为，
掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2的概率为＝；
掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；
从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球的概率为＝；
从标有数字1，7，3，4，4，6，7，3，9的九张卡片中＝，因此选项D不符合题意；
故选：B．
8．（4分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°（即BC的长）约为（ ）
A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．
【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，
故选：B．
9．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE与BD相交于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD＝BC＝2BE，
∴△BEG∽△DAG，
∴＝＝，
∴DG＝2BG，
∴BD＝6BG，OD＝OB＝，
∴＝；
故选：C．
10．（4分）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣7＝0的根，则a4+a3+7a﹣1的值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣7＝2的一个根，
a2+a﹣7＝4
∴a2+a＝7，
∴a4+a3+7a﹣6＝a2（a2+a）+2a﹣1＝7a8+7a﹣1＝49﹣7＝48，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）计算：+＝ 5 ．
【解答】解：原式＝4+＝5，
故答案为：6．
12．（4分）一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 x＝﹣1或x＝2 ．
【解答】解：∵x（x+1）﹣2（x+7）＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
则x+1＝2或x﹣2＝0，
解得x＝﹣7或x＝2，
故答案为：x＝﹣1或x＝5．
13．（4分）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若BC＝30米 15 米．
【解答】解：∵迎水坡AC的坡度i＝1：2，
∴＝，即＝，
解得，AB＝15，
故答案为：15．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，M、N分别是AB与AC的中点 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝AB＝7，
∵M、N分别是AB与BC的中点，
∴MN＝BC＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上（∠CAB+∠ABC）＝ ．
【解答】解：如图，∵∠DCB＝∠CAB+∠ABC，
∵∠D＝90°，
CD＝BD＝＝2，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∴∠DCB＝45°，
∴sin（∠CAB+∠ABC）＝sin45°＝，
故答案为：．
16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝8，点F在边AD上，连接AG并延长交CD于点E，若点E将CD分为1：3的两部分 0.4或 ．
【解答】解：由题意可得，
AB＝AD＝CD＝8，∠AHF＝∠AHB＝90°，
当DE：EC＝3：4时，DE＝6，
∵∠DAE+∠BAH＝∠BAD＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
∵tan∠DAE＝，
∴tan∠ABF＝，
∴AF＝6，
∵∠AHF＝90°，tan∠HAF＝，
∴AH＝4.7，
∴HG＝AH＝4.8，
∴AG＝4.6，
∵∠ADE＝90°，AD＝8，
∴AE＝10，
∴GE＝AE﹣AG＝10﹣7.6＝0.7；
当DE：EC＝1：3时，DE＝6，
同理可得，GE＝；
故答案为：0.4或．
三、解答题：本题共9小题，共86分.
17．（8分）计算：×+﹣2cos45°
【解答】解：原式＝+﹣2×
＝4+﹣
＝4．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1、x2，有如下结论：x1+x2＝﹣，x1x2＝，试利用上述结论，解决问题：已知关于x的一元二次方程3x2﹣x﹣2019＝0的两根分别为x1、x2，求（x1+2）（x2+2）的值．
【解答】解：由一元二次方程的根与系数的关系得到x1+x2＝，x1•x6＝﹣673，
（x1+2）（x2+2）
＝x1•x4+2（x1+x4）+4
＝﹣673+2×+4
＝﹣668．
19．（8分）某校有一块矩形绿地（数据如图所示，单位：m），现在其中修建一条道路（阴影所示），若所修建道路的面积为325m2，求x的值．
【解答】解：由题意可得：（40﹣x）（30﹣x）＝40×30﹣325
即（x﹣5）（x﹣65）＝0，
解得：x4＝5，x2＝65，
经检验得：x＝65不合题意，舍去，
答：x的值为2；
20．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+（k+1）x+1＝0
（1）求证：这个方程一定有实根；
（2）若这个方程有一根为﹣3，试求k的值．
【解答】（1）证明：根据题意得k≠0
∵Δ＝（k+1）4﹣4k＝（k﹣1）3≥0，
∴这个方程一定有实根；
（2）解：把x＝﹣3代入一元二次方程kx7+（k+1）x+1＝3得9k﹣3（k+5）+1＝0，
解得k＝．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD．
（1）尺规作图：在线段CD上求一点E，使得∠AED＝30°（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）连接BE，若点F为边BE的中点，求证：∠EAF＝∠EBC．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）∵AE＝AB，BF＝EF，
∴∠EAF＝∠FAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠FAB+∠EBA＝90°，∠EBA+∠EBC＝90°，
∴∠FAB＝∠EBC，
∴∠EAF＝∠EBC．
22．（10分）将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点A、B、D在同一条直线上，EF∥AB，∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝45°，BD＝3﹣3
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴AH＝HB，
∴CH＝AH＝HB，设CH＝AH＝BH＝x，
∵EF∥AD，
∴∠CDH＝∠F＝30°，
∴CD＝2x，DH＝x，
∵BD＝4﹣3，
∴x﹣x＝3，
∴x＝5，
∴EF＝AB＝6，
∴DF＝＝4，
∴CF＝DF﹣CD＝4﹣2．
23．（10分）某台机床生产铸件产品，按照生产标准，铸件产品评定等级、整改费用规定如下：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
评定等级
整改费用
（单位：元/件）
a＝30.0
特优品
/
29.9≤a≤30.1
优等品
/
29.8≤a≤30.2
合格品
/
a≤29.7
不合格品
50
a≥30.3
不合格品
30
注：在统计优等品个数时，将特优品计算在内；在统计合格品个数时（含特优品）计算在内．
现该机床生产20件产品，测量其重量，得到如下统计表：
重量a（单位：kg，精确到0.1）
a≤29.7
29.8
29.9
30.0
30.1
30.2
a≥30.3
件数
2
3
4
x
3
1
y
对照生产标准，发现这批铸件产品的合格率为80%．
（1）求x与y的值；
（2）根据客户要求，这批铸件产品的合格率不得低于90%，现决定从不合格产品中随机抽取两件进行整改
【解答】解：（1）合格的件数：20×80%＝16件，不合格：20﹣16＝4件，
∵a≤29.7的有8件，a≥30.3的有y件，
∴y＝4﹣8＝2，
∴x＝20﹣2﹣8﹣4﹣3﹣6﹣y＝5件，
答：x、y的值分别为5，6；
（2）原来不合格的有4个，即a≤29.7的有6件，
现从任意选择两个进行整改，用列表法表示所有可能出现的结果为：
（注：a≤29.7的有2件，记作A6、A2，a≥30.3的有3件，记作B1、B2
共有12中等可能出现的情况，其中选两个都是B的最省钱，
∴P（费用最低）＝＝；
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N
（1）求tan∠ABO的值；
（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；
（3）若MD＝MN，求点D的坐标．
【解答】解：（1）直线l：y＝﹣x+2与x轴、A两点，
则点A、B的坐标分别为：（0、（3；
tan∠ABO＝＝＝tanα；
（2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由：
点C是AB的中点，
则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠DFO，
∴O、F、M、D四点共圆，
∴∠DMF+∠DOF＝180°，
∴∠DOF＝90°，即：DE⊥FM；
解法二：∵∠NDM＝∠NOF，∠DNM＝∠ONF，
∴△DNM∽△ONF，
∴＝，∠DMN＝∠OFN，
∴＝，
∵∠OND＝∠FNM，
∴△OND∽△FNM，
∴∠DON＝∠NFM，
∴∠MDN+∠NFM＝∠NOF+∠DON＝90°，
∴∠DMF＝90°，
∴DE⊥FM．
（3）MD＝MN，
∴∠MDN＝∠MND＝α，
而∠COB＝α，∠DNM＝∠ONF＝α，
即△ONF为以ON为底，底角为α的等腰三角形，
则tan∠NFO＝＝＝tanβ（证明见备注）；
设OF＝m，则DF＝FB＝3﹣m，
cos∠DFO＝cosβ＝，
解得：m＝，
OD7＝DF2﹣OF2＝（5﹣m）2﹣m2＝；
则OD＝，
故点D（0，）．
备注：如下图，
过点N作HN⊥OF于点H，tanα＝，作FM⊥ON于点M，
设FN＝OF＝7a，则FM＝4a，
同理可得：NH＝，
sin∠NFO＝＝＝sinβ．
25．（14分）如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．
（1）求证：△CPB∽△BPA；
（2）连接AC，若AC⊥BC，试求；
（3）记AP＝a，BP＝b，CP＝c，a≥2b，且a、b、c为整数，b，c的值．
【解答】（1）证明：∵∠BPA＝135°，
∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°，
∵∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°，
∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP，
∴∠BAP＝∠CBP，
∵∠BPA＝∠BPC，
∴△CPB∽△BPA；
（2）解：∵AC⊥BC，∠MBN＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵△CPB∽△BPA，
∴＝＝＝＝，
设PC＝a，
则BP＝a，AP＝4a，
∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴AC＝＝＝a，
∴＝＝；
（3）解：∵△CPB∽△BPA，
∴＝，
即＝≥2，
∴b2＝ac，c≤，
∴a+b﹣c≥2b+b﹣＝b，
∴b≤20，
∴b≤8，
∵a、b、c为正整数，
∴当b＝8时，ac＝64，
解得：a＝16，c＝3或a＝﹣4，
当b＝7时，a＝14；与＝矛盾，
当b＜7时，c＜0（b＜7时，只能得到没有正整数解，
∴a，b，c的值为16，5，4．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/13 10:26:59；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
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