模板14 圆解题方法归纳-备战2022年中考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）.学案

一、怎样解垂径定理及其应用的问题

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).在应用垂径定理及其推论进行计算时,通常利用圆的半径r，弦心距d,拱高h，弦长这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量.根据上述公式,在,d,r,h这些量中,知道其中任何两个量就可以求出其余两个量.

在圆中，一般利用垂径定理,过圆心作弦的垂线段,连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解.

例题1

（2021·黑龙江九年级其他模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA至E，连接CE，使CD＝CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AB＝9，AE＝6，求AD的长．

例题2

（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）求证：；

（3）若，，求线段AD的长度．

例题3

（2021·安徽九年级三模）如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．

（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若，，在（1）的条件下，求的长．

二、怎样解圆周角定理的应用问题

(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同国中可以利用圆周角定理进行角的转化;

(2)在证明圆周角相等或弧相等时,通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”;

(3)当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角

例题1

（2021·吉林省第二实验学校九年级二模）如图，中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，到点停止．同时点从点出发，沿的线路向点运动，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，到停止，以为边向右或右下方构造等边，设的运动时间为秒，解答下列问题：

（1）填空：__________，__________．

（2）当在上，落在边上时，求的值．

（3）连结．

①当在边上，与的一边垂直时，求的边长．

②当在边上且不与点重合时，判断的方向是否变化，若不变化，说明理由．

例题2

（2021·杭州市十三中教育集团（总校）九年级三模）如图，在△ABC中，BA＝BC．以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于D、F两点，点E为AC延长线上一点，连结AD、BE，若∠E＝∠DAC．

（1）求证：△ADC∽△EBA；

（2）求证：AF＝CF；

（3）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．

例题3

（2021·陕西西安市·交大附中分校九年级其他模拟）如图，ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，过D作AB的垂线交线段BC于点E．点F在线段DE的延长线上，且满足FC＝FE．

（1）求证：CF是⊙O的切线，

（2）当直径AB＝13，EB＝CB，tanA＝时，求线段CF的长．

三、怎样解弧长公式的应用问题

(1)在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°;

(2)在弧长公式中，已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量

例题1

（2021·长沙市北雅中学九年级二模）如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当，时，求劣弧的长．

例题2

（2021·河北唐山市·九年级三模）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结．

（1）求证：；

（2）设小半圆与相交于点，．

①当取得最大值时，求其最大值以及的长；

②当恰好与小半圆相切时，求弧的长．

例题3

（2021·福建九年级其他模拟）如图，在中，，以为直径的交边于点，为中点，连接．

（1）求证：与相切；

（2）为的中点，连接，，若，，求劣弧的长．

四、怎样解圆锥的侧面展开图问题

在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即”来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式(其中r为底面圆半径,l为母线长)来解决问题.

例题1

（2021·全国九年级课时练习）如图所示是一个几何体的三视图．

(1)写出这个几何体的名称；

(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；

(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．

例题2

（2019·湖南邵阳市·中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，

（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；

（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．

例题3

（2010·广西河池市·中考真题）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．