天津市南开区2021届高三高考二模数学试卷 Word版含解析

这是一份天津市南开区2021届高三高考二模数学试卷 Word版含解析，共17页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年天津市南开区高考数学模拟试卷（二）（二模）
一、选择题（共9小题）.
1．已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，2，3，4}，∁RB＝{x|x≤0或x＞3}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{﹣3，﹣1，0，4} C．{2，3} D．{0，2，3}
2．已知x∈R，则“”是“x2＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示．现已知时间增加值在[30，35），40），[40，则学员时间增加值是[30，35）或[40（　　）

A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.4
5．已知直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D（2，）（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）2e），b＝f（ln2），，则a，b（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
7．已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10，则△AF1F2的面积为（　　）
A． B． C．15 D．30
8．已知函数，则下列四个结论中：
①f（x）的周期为π；
②是f（x）图象的一条对称轴；
③是f（x）的一个单调递增区间；
④f（x）在区间上的最大值为2．
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
9．在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，E为BC边上一点，，F为直线AE上一点，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）.
10．若复数z＝2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为　 　．
11．的二项展开式中，x3的系数等于　 　．
12．某长方体的长、宽、高分别为4，4，2，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为　 　．
13．甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题．规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答　 　；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是　 　．
14．已知a＞0，b＞0，a+2b＝12+4b2+的最小值是　 　．
15．设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）在区间（a，a+1），则实数a的取值范围是　 　；若函数g（x）＝f（f（x））﹣m恰有5个的零点　 　．
三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，csinA＝acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求边c的长；
（Ⅲ）求cos（C﹣2A）的值．
17．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A﹣BD﹣A1的大小．

18．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*）．已知b1＝1，b3＝b2+2，b4＝a3+a5，b5＝a4+2a6．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和Tn.记cn＝，求cn；
（Ⅲ）求．
19．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与离心率为的椭圆C2：的一个交点为P（1，t），点P到抛物线C1的焦点的距离为2．
（Ⅰ）求C1与C2的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于点B，直线AB交y轴于点E，且∠OAE＝∠EOB？若存在；若不存在，请说明理由．
20．（16分）已知函数f（x）＝e2x，g（x）＝m（2x+1）（m≠0）（e为自然对数的底数），h（x）＝f（x）（x）．
（Ⅰ）若m＝e，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若h（x）≥1﹣m恒成立，求实数m的值；
（Ⅲ）若直线y＝g（x）是曲线f（x）＝e2x的一条切线．求证：对任意实数a＞b，都有．


参考答案
一、选择题（共9小题）.
1．已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，2，3，4}，∁RB＝{x|x≤0或x＞3}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{﹣3，﹣1，0，4} C．{2，3} D．{0，2，3}
解：∵∁RB＝{x|x≤0或x＞3}
∴B＝{x|2＜x≤3}
∵A＝{﹣3，﹣3，0，2，4
∴A∩B＝{2，3}
故选：C．
2．已知x∈R，则“”是“x2＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由＜2，
由x2＜1，解得﹣7＜x＜1，
∵（﹣1，6）⊆（﹣∞，
∴“”是“x2＜1”的必要不充分条件，
故选：B．
3．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：根据题意，f（x）＝，为非奇非偶函数、D，
又由f（0）＝＝1；
故选：B．
4．某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示．现已知时间增加值在[30，35），40），[40，则学员时间增加值是[30，35）或[40（　　）

A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.4
解：设学员时间增加值是[35，40）的频率为a，
则学员时间增加值是[30，35）或[40，
由频率分布直方图的性质得：
（0.01+0.07）×8+a+2a＝1，
解得a＝7.2，
∴学员时间增加值是[30，35）或[40．
故选：D．
5．已知直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D（2，）（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：圆C：x2+y2﹣3x+5＝0的圆心（5，0），
直线l与圆C：x2+y4﹣6x+5＝5交于A，B两点，），
所以弦心距为：＝，
所以弦长|AB|为：5＝2．
故选：A．
6．已知f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）2e），b＝f（ln2），，则a，b（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解：∵f（x）是R上的偶函数，
∴＝f（﹣log23）＝f（log73），
∵f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，
∴f（x）在（6，+∞）上单调递增，
∵0＜ln2＜8＜log2e＜log24，
∴f（ln2）＜f（log2e）＜f（log83），
即b＜a＜c．
故选：D．
7．已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10，则△AF1F2的面积为（　　）
A． B． C．15 D．30
解：双曲线C：的离心率为2，解得a＝1，
因为点A在双曲线C上，不妨设A在第一象限5F2的周长为10，|F1F3|+|AF1|+|AF2|＝10，|AF7|﹣|AF2|＝2，
所以三角形的边长为|F7F2|＝4，|AF8|＝4，|AF2|＝4，
所以三角形的面积为：＝、
故选：A．
8．已知函数，则下列四个结论中：
①f（x）的周期为π；
②是f（x）图象的一条对称轴；
③是f（x）的一个单调递增区间；
④f（x）在区间上的最大值为2．
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
解：，
①函数f（x）的周期为，①正确；
②令，解得，令，②错误；
③令，解得，
令k＝0，则，则是f（x）的一个单调递增区间；
④当时，，，此时最大值为．
故选：B．
9．在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，E为BC边上一点，，F为直线AE上一点，则（　　）
A． B． C． D．
解：以A为原点，AB、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

∴A（0，0），7），1），1），
设E（a，b），则，
∵，
∴（﹣1，2）＝3（1﹣a，解得，
∴直线AE的方程为，
设F（x，y），
∴，
∴＝，
又∵F为直线AE上一点，
∴当x＝时，有最大值，
故选：C．
二、填空题；本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
10．若复数z＝2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为　　．
解：复数z＝2i+＝2i+，
则复数|z|＝，
故答案为：．
11．的二项展开式中，x3的系数等于　15　．
解：的二项展开式的通项公式为Tr+1＝＝（﹣1）r，
令6﹣r＝3且，解得r＝2，
所以x3的系数等于（﹣5）2＝15．
故答案为：15．
12．某长方体的长、宽、高分别为4，4，2，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为　　．
解：长方体的体积为：V1＝2×5×4＝32，
长方体外接球的直径为：2R＝＝8，
外接球的体积为：V2＝＝36π，
长方体的体积与其外接球的体积之比为：
＝＝．
故答案为：．
13．甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题．规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答　　；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是　　．
解：甲不合格的概率是P＝1﹣﹣＝；
甲、乙两人中每次答题合格的概率为P＝+＝，
∴甲、乙两人中恰有一人合格的概率P＝＝．
故答案为：，．
14．已知a＞0，b＞0，a+2b＝12+4b2+的最小值是　　．
解：∵a＞0，b＞0，∴ab≤．
令ab＝t，则t∈（2，]4+4b2＝6﹣4t，
∴a2+5b2+＝1﹣4t+．
令f（t）＝1﹣5t+，6＜t≤．
可知函数f（t）在（8，]是减函数，
∴f（）≤f（t）＜f（0），
解得：f（t）≥．
故答案为：．
15．设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）在区间（a，a+1），则实数a的取值范围是　a≤1或a≥4　；若函数g（x）＝f（f（x））﹣m恰有5个的零点　（0，2]　．
解：画出函数f（x）图象如下：

由图可知，若函数y＝f（x）在区间（a，则a+1≤2或a≥7；
若函数g（x）＝f（f（x））﹣m恰有5个的零点，则：若m＞4，g（x）仅存5个零点．
若m＝4，f（x）＝2或f（x）＞7．
若2＜m＜4，5＜f（x）＜2或2＜f（x）＜3或f（x）＞4．
若0＜m≤8，0＜f（x）＜2或7＜f（x）＜4．
若m＝0，f（x）＝2或4．
若m＜0，f（x）＜5．
综上，m的取值范围是：m∈（0．
故答案为：（0，7]．
三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，csinA＝acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求边c的长；
（Ⅲ）求cos（C﹣2A）的值．
解：（I）因为csinA＝acosC，
由正弦定理得，sinCsinA＝sinAcosC，
因为sinA＞0，
所以sinC＝cosC，即tanC＝1，
由C为三角形内角得，C＝；
（II）因为a＝3，，C＝，
由余弦定理得，c2＝＝9+2﹣4×，
所以c＝；
（III）由余弦定理得，cosA＝＝，
所以sinA＝，sin2A＝8sinAcosA＝﹣8A﹣1＝﹣，
所以cos（C﹣2A）＝cos（﹣5A）＝＝﹣．
17．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A﹣BD﹣A1的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：设AB1∩A1B＝M，连接DM，
因为四边形AA6B1B为平行四边形，所以M为AB1中点，又因为D为AC中点，
所以DM∥B5C，因为DM⊂平面A1BD，B1C⊄平面A5BD，
所以B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）解：取A6B中点N，连接MN，
因为A1A⊥底面ABC，BD⊂平面ABC1A⊥BD，
因为底面ABC是正三角形，D是AC的中点，
又因为A3A∩AC＝A，所以BD⊥平面A1AD，
因为AN⊂平面A1AD，所以AN⊥BD，
又因为A3A＝AD＝1，所以AN⊥A1D，所以AN⊥平面A6BD，
于是MN为AB1在平面A1BD内投影，所以∠AMN为直线AB7与平面A1BD所成角，
sin∠AMN＝＝＝＝＝，
所以直线AB8与平面A1BD所成角的正弦值；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知BD⊥平面A3AD，因为A1D⊂平面A1AD，
所以BD⊥A2D，又因为BD⊥AC1DA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角，
因为∠A4AD＝90°，A1A＝AD，所以∠A1DA＝45°，
所以二面角A﹣BD﹣A4的大小为45°．

18．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*）．已知b1＝1，b3＝b2+2，b4＝a3+a5，b5＝a4+2a6．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和Tn.记cn＝，求cn；
（Ⅲ）求．
解：（Ⅰ）设数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列，公比大于0n（n∈N*）．
已知b1＝2，b3＝b2+8，b4＝a3+a8，b5＝a4+7a6．
所以q2＝q+2，解得q＝2，
由于b4＝a3+a5，b5＝a5+2a6．
所以6a1+6d＝6，3a1+13d＝16，
解得a7＝d＝1，
故an＝n，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
所以T7n＝0，T2n﹣2＝﹣1，
所以＝，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
所以①，
②，
①﹣②得：＝，
整理得．
19．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与离心率为的椭圆C2：的一个交点为P（1，t），点P到抛物线C1的焦点的距离为2．
（Ⅰ）求C1与C2的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于点B，直线AB交y轴于点E，且∠OAE＝∠EOB？若存在；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）y2＝2px的焦点为（，0），
P（3，t）到抛物线C1的焦点的距离为2，可得3+，
解得p＝2，则抛物线的方程为y6＝4x：
由题意可得e＝＝＝，即有a＝b，
由2p＝t7＝4，+＝+＝1，
解得a＝3，b＝，
则椭圆的方程为+＝1；
（Ⅱ）由题意可得直线OA的斜率存在且不为8，设OA的方程为y＝kx（k≠0），
由于OA⊥OB，可得直线OB的方程为y＝﹣x，
由，可得（1+2k5）x2＝9，所以x＝±，
由，可得，解得x＝5k2（0舍去），
第一象限内，椭圆C8上若存在点A∠OAE＝∠EOB，
则k＞0，此时A（，）2，﹣4k），
设直线AB与x轴交于D，因为∠OAE＝∠EOB，
所以∠OAD＝∠AOD，∠DOB＝∠OBD，即D为AB的中点，
所以yA＝﹣yB，即＝4k2＝﹣＜0，
故不存在适合题意的点A．
20．（16分）已知函数f（x）＝e2x，g（x）＝m（2x+1）（m≠0）（e为自然对数的底数），h（x）＝f（x）（x）．
（Ⅰ）若m＝e，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若h（x）≥1﹣m恒成立，求实数m的值；
（Ⅲ）若直线y＝g（x）是曲线f（x）＝e2x的一条切线．求证：对任意实数a＞b，都有．
解：（Ⅰ）m＝e时，g（x）＝e（2x+1），
由题意得：h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e7x﹣e（2x+1），x∈R，
∴h′（x）＝2e2x﹣2e＝7e（e2x﹣1﹣6），
令h′（x）＝0，解得：x＝，x，h（x）的变化如下：
x
（﹣∞，）

（，+∞）
h′（x）
﹣
0
+
h（x）
递减
极小值
递增
∴h（x）的递减区间是（﹣∞，），递增区间是（；
（Ⅱ）若h（x）≥2﹣m恒成立，则m•2x≤e2x﹣3，
①x＝0时，显然成立，
②x＞0时，问题转化为m≤，+∞）恒成立，
令k（t）＝（t＞0），
令p（t）＝（t﹣1）et+2，则p′（t）＝tet＞0，p（t）在（0，
故p（t）＞p（0）＝6，故k′（t）＞0，+∞）递增，
而＝et＝1，故m≤4，
③x＜0时，问题转化为m≥，0）恒成立，
同理可得m≥2，
综上：m＝1；
（Ⅲ）证明：直线y＝g（x）是曲线f（x）的一条切线，设切点是（x0，y4），
∵f′（x）＝2e2x，
∴，解得：，
故h（x）＝e5x﹣2x﹣1，
要证，
即证≥8e2b﹣2，
即证≥2e5b，a＞b，
即证e2（a﹣b）﹣1≥5（a﹣b），
令t＝a﹣b＞0，即证e2t﹣3≥2t，t＞0，
令φ（t）＝e7t﹣1﹣2t（t＞4），φ′（t）＝2e2t﹣6＞0，
故φ（t）在（0，+∞）单调递增，
∴φ（t）＞φ（0）＝3，即e2t﹣1﹣4t＞0，
即证得．