2021-2022学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,5}，∁UB={4,5,6}，则集合A∩B=(    )A. {1,2} B. {5} C. {1,2,3} D. {3,4,6}已知命题p：∀x>0，总有(x+1)ex>1，则¬p为(    )A. ∃x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1 B. ∃x0>0，使得(x0+1)ex0≤1C. ∀x>0，总有(x+1)ex≤1 D. ∀x≤0，总有(x+1)ex≤1若a，b为实数，则“0b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含x3的项的系数是(    )A. 74 B. 121 C. -74 D. -121某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有(    )A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 16种已知变量x和y的统计数据如表：根据上表可得回归直线方程y=bx-0.25，据此可以预测当x=8时，y=(    )A. 6.4 B. 6.25 C. 6.55 D. 6.45某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=6.705，则所得到的统计学结论是：有的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”．(    )附：A. 99.9% B. 99% C. 1% D. 0.1%已知函数f(x)=x2+(b-4-a2)x+2a-b是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是(    )A. -4 B. 2 C. 3 D. 4第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）二项式(x3-3x)12的展开式的中间一项为______．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回．已知第一次抽到A牌，则第二次抽到A牌的概率为______．计算：2(log43+log83)(log32+log92)=______．已知随机向量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c-1)=P(X0，y>0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为          ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．已知函数f(x)=x3+x-16．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程；(Ⅱ)已知函数g(x)=f(x)-3ax2+(2b-1)x+16在点x=1处有极小值-1，试确定a，b的值，并求出g(x)的单调区间．已知函数f(x)=lnx+1x-1．(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2,6]，f(x)>lnm(x-1)(7-x)恒成立，求实数m的取值范围．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(Ⅱ)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(Ⅰ)的选择方案，求X的分布列和数学期望．已知函数f(x)=(x2-3x+3)⋅ex定义域为[-2,t](t>-2)，设f(-2)=m，f(t)=n．(Ⅰ)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数；(Ⅱ)求证：n>m；(Ⅲ)求证：对于任意的t>-2，总存x0∈(-2,t)，满足f'(x0)ex0=23(t-1)2，并确定这样的x0的个数．答案和解析1.【答案】A 【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，又∵∁UB={4,5,6}，∴B={1,2,3}，∵A={1,2,5}，∴A∩B={1,2}，故选：A．由题意全集U={1,2,3,4,5,6}，CUB={4,5,6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了全称量词命题的否定的写法，全称量词命题的否定是存在量词命题，属于基础题．据全称量词命题的否定为存在量词命题可写出命题p的否定．【解答】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，¬p为∃x0>0，使得(x0+1)ex0≤1．故选B．  3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题．根据不等式的性质，我们先判断“01a，即“01即“b<1a”⇒“0log22=1，∴c>a>b．故选：D．利用指数式的运算性质得到01，则答案可求．本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．6.【答案】D 【解析】解：(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含x3的项的系数C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-10+(-20)+(-35)+(-56)=-121．故选D．利用二项展开式的通项公式，分别求出的四部分中含x3的项的系数，再求出它们的和．本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题．7.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了分类和分步计数原理的综合应用，属于基础题．分三类，第一类选甲，先投甲，再投除甲乙之外的三种的任一种；第二类，选乙，乙有两种投法，再投除甲乙之外的三种的任一种；第三类，不选甲乙，除甲乙之外的三种的任二种进行投放，再对各类情况种数进行求和，即可得到答案．【解答】解：分三类，第一类选甲，先投甲，再投除甲乙之外的三种的任一种，有3种方法，第二类，选乙，乙有两种投法，再选择除甲乙之外的三种的任一种，有3种方法，共有2×3=6种，第三类，不选甲乙，除甲乙之外的三种的任二种依次进行投放，有３×２=6种，根据分类计数原理，共有3+6+6=15种，故选：C．  8.【答案】C 【解析】解：样本平均数x=15(3+4+5+6+7)=5，y=15(2.5+3+6+4+4.5)=4，即4=5b-0.25，∴b=0.85∴回归直线方程y=0.85x-0.25，当x=8时，y=0.85×8-0.25=6.55，故选：C．根据数据求解平均数x，y，代入求解b，可得回归直线方程，将x=8代入计算可得y的预测值．本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．9.【答案】C 【解析】【分析】本题考查独立性检验知识，难度不大，属于基础题．把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．【解答】解：∵K2=6.705>6.635，对照表格：∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系，∴有1%的把握说学生性别与支持该活动没有关系，故选：C．  10.【答案】D 【解析】解：由f(x)为偶函数可得b=4-a2，它表示以原点为圆心，以2为半径的上半圆；f(x)图象与y轴交点的纵坐标是f(0)=2a-b，令t=2a-b，则b=2a-t，它表示斜率为2的直线．如图：当直线过点A(2,0)时，在y轴上的截距-t最小，从而t最大，值为4 故选：D．因为f(x)为二次函数，故f(x)为偶函数时，对称轴为x=0，可求出a和b的关系．而f(x)图象与y轴交点的纵坐标是f(0)=2a-b，数形结合求最值即可．本题考查函数奇偶性的应用、数形结合求最值，有一定的综合性，能力要求较高．11.【答案】1155 【解析】解：因为n=12，所以展开式共有13项，中间一项为T7=T6+1=C126(x3)6⋅(-3x)6=C126=1155．故答案为：1155．中间一项为T7，再由展开式的通项公式，得解．本题考查二项式定理，熟练掌握展开式的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】117 【解析】解：第一次是A时，还剩下3张A，所以第二次也是A的概率为351=117．故答案为：117．在52张牌中，每种牌都有4张A，在第一次是A的情况下，还剩下3张A，据此即可求出第二次是A的概率．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键，属基础题．13.【答案】52 【解析】解：2(log43+log83)(log32+log92) =2(12log23+13log23)(log32+12log32) =2⋅56log23⋅32log32 =52，故答案为：52．根据对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质，是基础题．14.【答案】43 【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(3,1)，∵P(X>2c-1)=P(X0，y>0，x+3y+xy=9，则9-(x+3y)=xy=13×x×3y，13×x×3y≤13×(x+3y)24，当且仅当x=3y时，取“=”，即9-(x+3y)≤13×(x+3y)24，解得x+3y≥6或x+3y≤-18(舍去)，则此时x+3y+xy=9x=3y，由于x>0，y>0，解得x=3y=1，故答案为6．  16.【答案】解：(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)=1-C10-x2C102=79，得到x=5，故白球有5个．(2)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C53C103=112，P(ξ=1)=C51⋅C52C103=512，P(ξ=2)=C52⋅C51C103=512，P(ξ=3)=C53C103=112 分布列是 ξ的数学期望Eξ=112×0+512×1+512×2+112×3=32． 【解析】(1)根据从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，写出从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球的对立事件的概率，列出关于白球个数的方程，解方程即可．(2)从袋中任意摸出3个球，白球的个数为ξ，根据题意得到变量可能的取值，结合对应的事件，写出分布列和期望．本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力，考查对立事件的概率，考查古典概型问题，是一个综合题．17.【答案】解：(Ⅰ)f'(x)=3x2+1，将x=2代入可得：f'(2)=13，故由点斜式可得：y-(-6)=13(x-2)，化简得：y=13x-32；(Ⅱ)由已知有：g(x)=x3-3ax2+2bx，g'(x)=3x2-6ax+2b，由已知有g(1)=-1g'(1)=0，代入1-3a+2b=-13-6a+2b=0，解得：a=13,b=-12，经检验g(x)在x=1处取得极小值满足题意，此时g(x)=x3-x2-x，g'(x)=3x2-2x-1，令g'(x)>0，解得x>1或者x<-13，故g(x)的单调递增区间为(-∞,-13)，(1,+∞)，单调减区间为(-13,1). 【解析】(Ⅰ)对函数求导，将x=2代入导函数得到斜率，再利用点斜式计算即可．(Ⅱ)利用g(x)在x=1处取得极小值-1可得g(1)=-1g'(1)=0，从而解得a，b，再对g(x)求导，研究其单调区间即可．本题主要考查利用导函数研究函数切线及单调区间，属于中档题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=lnx+1x-1，∴x+1x-1>0，解得：x>1或x<-1，函数f(x)的定义域为{x|x>1或x<-1}．f(x)=lnx+1x-1，那么：f(-x)=ln1-x-x-1=ln(x-1x+1)=ln(x+1x-1)-1=-lnx+1x-1=-f(x)故函数f(x)是奇函数；(2)由题意：x∈[2,6]，∴(x-1)(7-x)>0，∵m(x-1)(7-x)>0，可得：m>0．即：lnx+1x-1>lnm(x-1)(7-x)恒成立，整理：lnx+1x-1-lnm(x-1)(7-x)>0，化简：ln(x+1)(7-x)m>0，可得：(x+1)(7-x)m>1，(x+1)(7-x)-m>0，即：-x2+6x+7>m，(x∈[2,6])恒成立，只需m小于-x2+6x+7的最小值．令：y=-x2+6x+7=-(x-3)2+16开口向下，x∈[2,6]，当x=6时，y取得最小值，即ymin=-(6-3)2+16=7，所以：实数m的取值范围(0,7)． 【解析】(1)对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．(2)利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．本题考查了对数函数的性质的运用能力和化简计算能力．属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2.用频率估计相应的概率可得∵P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择Li，P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2．(Ⅱ)A，B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(Ⅰ)知P(A)=0.6，P(B)=0.9，又由题意知，A，B独立，P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.1=0.04，P(x=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42，P(X=2)=P(AB)=P(A)(B)=0.6×0.9=0.54，X的分布列：EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5． 【解析】本题主要考查了随机抽样用样本估计总体的应用，相互独立事件的概率的求解，离散型随机变量的数学期望与分布列的求解，属于基本知识在实际问题中的应用．(Ⅰ)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率P(A1)，P(A2)比较两者的大小，及P(B1)，P(B2)的从而进行判断甲与乙路径的选择；(Ⅱ)A，B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(Ⅰ)知P(A)=0.6，P(B)=0.9，且甲、乙相互独立，X可能取值为0，1，2，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可20.【答案】(Ⅰ)解：因为f'(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+3)ex，由f'(x)>0⇒x>1或x<0，由f'(x)<0⇒0-2时，f(-2)4或-20且g(t)>0，但由于g(0)=-43(t-1)2<0，所以g(x)=0在(-2,t)上有解，且有两解，当t=1时，g(x)=x2-x=0，解得x=0或1，所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解，当t=4时，g(x)=x2-x-6=0，所以g(x)=0在(-2,t)上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t>-2，总存在x0∈(-2,t)，满足f'(x0)ex0=23(t-1)2，且当t≥4或-2

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