天津市南开区2023届高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

天津市南开区2023届高三第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，则是的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

4．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于的棵数是（    ）

A．18 B．24 C．36 D．48

5．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．设，若，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（    ）

A． B． C．8 D．10

8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，若关于的不等式的解集为，且，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．已知为虚数单位，则复数_______.

11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是__________．

12．已知，则的最小值是______．

13．圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________.

三、双空题

14．某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是___________；若用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则___________.

15．已知平面四边形，，，，，则______；动点，分别在线段，上，且，，则的取值范围为____.

四、解答题

16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为AB的中点，点E满足，且．

(1)求A；

(2)若，，求的面积．

17．如图,正三棱柱中,是中点．

(1)求证:平面;

(2)若,,求点到平面的距离;

(3)当为何值时,二面角的正弦值为？

18．已知坐标平面内三点.

(1)求直线的斜率和倾斜角；

(2)若可以构成平行四边形且点D在第一象限，求点的坐标；

19．已知等差数列的前n项和为，公差，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求．

20．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，．

参考答案：

1．D

【分析】解出集合，利用补集和交集的含义即可得到答案.

【详解】，则或，则或，，

，则，

故选：D.

2．B

【分析】首先解不等式得到：或，：或，再根据包含关系即可得到答案.

【详解】，得，即，即：或.

由得，即，：或.

因为或或，

所以是的必要不充分条件．

故选：B

3．C

【分析】由已知可得，，可得出A、B项错误；根据，可得出D项错误.

【详解】由已知可得，定义域为R，且，所以A、B项错误；

又，所以为偶函数.

又，所以D项错误，C项正确.

故选：C.

4．B

【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可.

【详解】由频率直方图可知：树木的底部周长小于的棵数为：

，

故选：B

5．C

【分析】作曲线与直线的图象，计算出直线与曲线相切时对应的实数的值，数形结合可得结果.

【详解】对方程变形得，即，

所以曲线表示圆的上半圆，

对直线方程变形得，该直线过定点，且斜率为，如下图所示：

当直线与半圆相切时，则有，解得，

当直线过点时，，解得.

由图形可知，当曲线与直线有两个相异的交点时，.

故选：C

6．C

【分析】先解出，再根据对数性质化简，最后根据基本不等式求最值.

【详解】

（当且仅当时取等号）

因此

即的最大值为2，

故选：C

【点睛】本题考查指数式与对数式转换、对数运算性质、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

7．A

【分析】设双曲线左焦点为,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将转化为，利用当三点共线时，取得最小值，即可求得答案.

【详解】由双曲线,可得，,

设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，

作，垂足为E，即，

作,垂足为H，则，

因为点P为C左支上的动点，

所以，可得，

故，

由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，

最小值为，

即的最小值为，

故选：A．

8．B

【分析】求得，由可求得，结合函数的单调性可得出关于的不等式，由此可得出的最大值.

【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象.

因为，所以，

因为在上单调递减，所以，，所以的最大值为.

故选：B.

9．A

【分析】易知，由表达式画出函数图像，再分类讨论与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解

【详解】易知当，时，，

的图象如图所示.

当直线在图中的位置时，，得，

为方程的两根，

即的两根，

故；

而

则，

即，解得，所以；

当直线在图中的位置时，且，得；此时

则，得.

所以，的取值范围是.

故选：A

【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题

10．．

【解析】直接利用虚数单位的运算性质得答案.

【详解】；

故答案为：．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位的性质，是基础题．

11．28

【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得的值，然后再利用展开式通项公式求得常数项.

【详解】解：因为的展开式中二项式系数之和为256，

所以，故，即该二项式为

设其展开式的通项为，则，

当时，即，此时该项为

故答案为：28.

12．6

【分析】根据给定条件，利用均值不等式计算作答.

【详解】，则，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值是6.

故答案为：6

13．

【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果.

【详解】

设圆柱的高为，

圆柱体积为，底面半径为，

，，

设球半径为，

则，

，可得，

球的体积为，故答案为.

【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质，以及柱体与球体的体积公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，考查了空间想象能力，属于中档题.

14．          ##

【分析】由条件概率公式计算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率，由古典概型概率公式计算事件的概率，再由期望公式公式得结论．

【详解】由题意三人全是男志愿者，即事件，，，，，

，

再记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件，

，，

．

故答案为：；．

15．     ##    

【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到，求出，建立直角坐标系，写出点的坐标，表达出向量的坐标，从而求出向量数量积的关系式，求出取值范围.

【详解】，，

所以

，

解得：，

因为，

所以，

以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，

因为，，

所以设，

由得：，

，解得：，

所以、

，

当时，取得最小值，最小值为，

当或1时，取得最大值，最大值为

所以的取值范围是

故答案为：，

16．(1)；

(2).

【分析】（1）由三角形内角性质及正弦定理边角关系可得，进而求角的大小；

（2）在△ABC、△ADE中应用余弦定理可得、，求出b、c，再由三角形面积公式求面积.

（1）

由得：，即，

由正弦定理得，

在△ABC中，，故，则，

因为，所以．

（2）

在△ABC中，由余弦定理，得，

在△ADE中，由余弦定理得，

所以，化简得，即，

所以，代入得：，，

则△ABC的面积．

17．(1)证明见解析

(2)

(3)1

【分析】(1) 连接交于点,连接,根据中位线即可证明,再利用线面平行判定定理即可证明;

(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及,再用等体积法即可求得;

(3)建立合适空间直角坐标系,设出长度,找到平面及平面的法向量,建立等式,求出长度之间的关系即可证明.

【详解】（1）证明:连接交于点,连接如图所示:

因为三棱柱,

所以四边形为平行四边形,

所以为中点,

因为是中点,

所以,

因为平面,平面,

所以平面;

（2）由题知,因为正三棱柱,

所以平面,

且为正三角形,

因为,,

所以,,,

所以为直角三角形,

,

,

记点到平面的距离为,

则有,

即,

即,

解得,

故到平面的距离为;

（3）由题,取中点为,可知,

所以平面,

因为为正三角形,是中点,

所以,

故以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立如图所示空间直角坐标系,

不妨记,

所以,

,

记平面的法向量为,

则有,

即,

取,可得;

记平面的法向量为,

则有,

即,

取,可得;

因为二面角的正弦值为,

所以

,

解得: ,

即当时,二面角的正弦值为.

18．(1)斜率为1，倾斜角为；

(2)；

【分析】（1）根据直线的斜率公式可求得的斜率，进而求得倾斜角；

（2）根据平行四边形对边平行，可得对边斜率相等，设,由斜率公式列出方程组，即可求得答案.

【详解】（1）由题意可知直线的斜率为，

直线倾斜角范围为，所以直线的倾斜角为；

（2）如图，当点在第一象限时，，

设，则，解得，

故点的坐标为；

19．(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列下标和性质得，联立解得，求出值，写出通项即可；

（2）利用等差数列前和公式求得，则，最后利用裂项相消求和即可.

【详解】（1）等差数列，公差，．

解得，或，但此时

故，

（2），

则，

20．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先求出切线的斜率，再求出切点即得解；

（2）令，利用导数求出函数的最小值即得证.

【详解】（1）解：由题得，所以，

又，所以切线方程为，即.

（2）证明：令，

，

当时，，当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，，

时，

故当时，.