天津市第一中学、益中学校2020-2021学年高三下学期5月联考数学试卷+Word版含解析

这是一份天津市第一中学、益中学校2020-2021学年高三下学期5月联考数学试卷+Word版含解析，共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B＝（ ）
A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5}
2．设α，β是两个不同平面，直线m⊂α，直线n⊂β，则下列结论正确的是（ ）
A．m⊥β是m⊥n的充分条件B．m∥n是α∥β的必要条件
C．m⊥β是m⊥n的必要条件D．m⊥n是α⊥β的必要条件
3．函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（ ）
A．100B．1000C．90D．900
5．已知a＝lg32，b＝ln2，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
6．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线，△ABC为等边三角形．若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为△ABC的中位线，双曲线M的左焦点为F，经过F和抛物线x2＝16y焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增
C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象
9．已知函数f（x）＝，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]∪[1，+∞）B．（﹣∞，]∪[，+∞）
C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
二、填空题：
10．若复数，则z＝ ．
11．二项式的展开式中的常数项为 ．
12．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值为 ．
13．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为 ．
14．天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经600多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游圣地．2021年元月份以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩记1分，继续游玩记2分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，则X的数学期望E（X）＝ ．
15．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝2，CA＝CB＝3，若点H为CA上的动点，则的最小值为 ，若，则等于 ．
三、解答题：
16．已知△ABC中，角c的对边分别为a，b，c，3bcsC+2csinCsinB＝0．
（1）求角C；
（2）若，，求a+b的值．
（3）若，，求．
17．如图，已知平面BCE⊥平面ABC，直线DA⊥平面ABC，且DA＝AB＝AC．
（1）求证：DA∥平面EBC；
（2）若，DE⊥平面BCE；
（ⅰ）求二面角A﹣BD﹣E的余弦值；
（ⅱ）在直线CE（除C、E两点外）上是否存在一M，使得直线AM与平面BDE所成角的余弦值为，若存在，求的值；如不存在，请说明理由．
18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且等比数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1b1＝2，S2＝6，S3＝12，b1+b2＝3．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）求满足条件的最小正整数k，使得对∀n≥k（n∈N*）不等式Tn+1≥Sn恒成立；
（3）对任意的正整数n，设，求数列{cn}的前2n项和．
19．已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线3x+4y+5＝0截得的弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，右焦点F，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过点M的圆与x轴相交，交点T在F右边，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线FE⊥MT，交直线l于点E，判断是否为定值，并给出证明．
20．已知函数f（x）＝xex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单减区间；
（2）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；
（3）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．
参考答案
一、选择题：
1．已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B＝（ ）
A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5}
解：∵A＝{x∈Z|﹣5＜x＜5}，B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x∈Z|2≤x＜5}＝{2，3，4}．
故选：C．
2．设α，β是两个不同平面，直线m⊂α，直线n⊂β，则下列结论正确的是（ ）
A．m⊥β是m⊥n的充分条件B．m∥n是α∥β的必要条件
C．m⊥β是m⊥n的必要条件D．m⊥n是α⊥β的必要条件
解：∵m⊥β，n⊂β，∴m⊥n，故是充分条件，故A正确，
由α∥β，得m∥n或异面，故不是必要条件，故B错误，
由m⊥n推不出m⊥β，也可能m与β平行，故不是必要条件，故C错误，
由α⊥β推不出m⊥n，也可能平行，不是必要条件，故D错误，
故选：A．
3．函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
解：∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，排除选项C和D，
当x∈（0，1）时，csx＞0，ex﹣e﹣x＞0，∴f（x）＞0，排除选项B，
故选：A．
4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（ ）
A．100B．1000C．90D．900
解：由频率分布直方图得支出在[50，60）元的同学所占频率为：
1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3，
支出在[50，60）元的同学有30人，
∴n＝＝100．
故选：A．
5．已知a＝lg32，b＝ln2，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
解：，
∵lg23＞lg2e＞1，
∴，且0.5﹣0.2＞0.50＝1，
∴a＜b＜c．
故选：B．
6．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
A．B．C．D．
解：如图，
设底面三角形ABC的外心为G，则AG＝，
再设三棱锥外接球的球心为O，连接OA，OG，则OG⊥底面ABC，得OG⊥AG，
设OA＝R，由外接球的体积为，可得R3＝，则R＝2，
∴，则PA＝2OG＝2．
∴三棱锥P﹣ABC的体积为．
故选：D．
7．已知双曲线，△ABC为等边三角形．若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为△ABC的中位线，双曲线M的左焦点为F，经过F和抛物线x2＝16y焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
解：因为双曲线M的实轴为等边△ABC的中位线，
所以△ABC的边长为4a，不妨设点B（2a，a）在第一象限，
代入﹣＝1，得﹣＝1，解得a＝b，
所以c2＝a2+b2＝2a2，得c＝a，
所以双曲线M的左焦点F的坐标为（﹣a，0），
因为抛物线x2＝16y焦点为D（0，4），
所以kDF＝＝，
因为渐近线的斜率为k＝±1，
所以＝1或＝﹣1（舍去），
所以a＝2，b＝2，
所以双曲线的方程为﹣＝1，
故选：B．
8．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增
C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象
解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为•＝，∴ω＝4，f（x）＝sin（4x+φ）．
∵直线x＝﹣是其中一条对称轴，∴4×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，
∴φ＝﹣，f（x）＝sin（4x﹣）．
故函数f（x）的最小正周期为 ＝，故A正确；
当x∈[﹣，]，4x﹣∈[﹣，]，函数f（x）没有单调性，故B错误；
令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故C正确；
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2x﹣）的图象；
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin（2x+）的图象，故D错误，
故选：AC．
9．已知函数f（x）＝，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]∪[1，+∞）B．（﹣∞，]∪[，+∞）
C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
解：y＝f（x）﹣|x﹣1|＝，
在直角坐标系中，画出函数y＝f（x）﹣|x﹣1|和y＝|x﹣2k|的图象，
①当2k＝1即k＝时，它们都过（1，0），当x＜1时，y＝|x﹣1|＝1﹣x，
y＝f（x）﹣|x﹣1|＝﹣2x2+3x﹣1，
由1﹣x﹣（﹣2x2+3x﹣1）＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2＞0，则有x≤1时，f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，
x＞1时，由图象可得f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；
②当2k＝即k＝时，它们都过（，0），当x＞，y＝|x﹣|＝x﹣，
由于x＞1时，f（x）＜0，只要考虑＜x＜1，y＝f（x）﹣|x﹣1|＝﹣2x2+3x﹣1，
由x﹣﹣（﹣2x2+3x﹣1）＝2x2﹣2x+＝2（x﹣）2＞0，则有＜x＜1，f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，
x＞1或x＜时，由图象可得，f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，
则k＝，时，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；
③当2k＞1或2k＜，即k＞或k＜时，由图象平移可得，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣2k|﹣|x﹣1|≤0恒成立．
综上可得，k的取值范围为k≥或k≤．
故选：B．
二、填空题：
10．若复数，则z＝ ．
解：z＝＝＝，
故答案为：．
11．二项式的展开式中的常数项为 ﹣80 ．
解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1＝•（﹣2）r•，
令 ＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为 •（﹣2）3＝﹣80，
故答案为：﹣80．
12．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值为 ．
解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，
∴1＝a+b≥2，∴0＜ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
设t＝，t∈（0，]，
则++ab＝+ab＝t+，t∈（0，]，
∵y＝t+在t∈（0，]上单调递减，∴当t＝时，函数y取得最小值为，
即++ab的最小值为．
故答案为：．
13．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为 ﹣1﹣ ．
解：函数f（x）＝ex﹣x的导数f′（x）＝ex﹣1，
可得切线的斜率为k＝f（x0）＝ex0﹣1，
则切线方程为y＝（ex0﹣1）（x﹣x0）+ex0﹣x0，
即y＝（ex0﹣1）x﹣ex0x0+ex0，
因为切线方程为y＝kx+b，
所以k＝ex0﹣1，b＝﹣ex0•x0+ex0，所以k﹣b＝ex0x0﹣1，
对于函数y＝xex﹣1，y′＝ex（x+1），
当x＜﹣1时，y′＜0，y＝xex﹣1递减；当x＞﹣1时，y′＞0，y＝xex﹣1递增．
故函数y＝xex﹣1在x＝﹣1处取得极小值，即为最小值，
所以k﹣b的最小值是﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
14．天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经600多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游圣地．2021年元月份以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩记1分，继续游玩记2分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，则X的数学期望E（X）＝ 5 ．
解：X的可能取值为3，4，5，6，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，
所以E（X）＝＝5．
故答案为：5．
15．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝2，CA＝CB＝3，若点H为CA上的动点，则的最小值为 ，若，则等于 2 ．
解：＝，
设点 B 到 AC 的距离为 h，所以 ，解得 ，
所以 ，故 ．
故 的最小值为 ．
因为＝＝，
所以，
由 ，
可得 ，
＝
＝
＝
＝，
所以．
故答案为：，2．
三、解答题：
16．已知△ABC中，角c的对边分别为a，b，c，3bcsC+2csinCsinB＝0．
（1）求角C；
（2）若，，求a+b的值．
（3）若，，求．
解：（1）由正弦定理及3bcsC+2csinCsinB＝0得3sinBcsC+2sinCsinCsinB＝0．
因为sinB＞0，
所以3csC+2sin2C＝0，即3csC+2﹣2cs2C＝0，
解得csC＝﹣或csC＝2（舍），
由C为三角形内角得C＝；
（2）因为S△ABC＝＝＝，
所以ab＝4，
因为c＝2，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcsC，即12＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝（a+b）2﹣4，
所以a+b＝4；
（3）由正弦定理得，
所以sinA＝＝，csA＝，
故sin2A＝2sinAcsA＝，cs2A＝1﹣2sin2A＝，
所以＝＝+＝．
17．如图，已知平面BCE⊥平面ABC，直线DA⊥平面ABC，且DA＝AB＝AC．
（1）求证：DA∥平面EBC；
（2）若，DE⊥平面BCE；
（ⅰ）求二面角A﹣BD﹣E的余弦值；
（ⅱ）在直线CE（除C、E两点外）上是否存在一M，使得直线AM与平面BDE所成角的余弦值为，若存在，求的值；如不存在，请说明理由．
解：（1）证明：过点E作EF⊥BC于点H，
因为平面BCE⊥平面ABC，又平面BCE∩平面ABC＝BC，EH⊂平面BCE，
所以EH⊥平面ABC，
又因为DA⊥平面ABC，所以AD∥EH，
因为EH⊂平面BCE，DA⊄平面BCE，所以DA∥平面EBC；
（2）（ⅰ）因为DE⊥平面BEC，所以∠DEB＝∠DEC＝，
由AB＝AC，可知DB＝DC，DE＝DE，△DEB≌△DEC，则BE＝CE，
所以点H是BC的中点，连接AH，则AH⊥BC，
所以AH⊥平面EBC，则DE∥AH，AH⊥EH，所以四边形DAHE是矩形．
以H为坐标原点，分别以HB、HA、HE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝2a，则E（0，0，2a），A（0，a，0），B（a，0，0），D（0，，2a），
＝（a，﹣a，0），＝（0，0，2a），＝（﹣a，），＝（﹣a，0，2a），
设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），
由，得，取y＝1，得＝（，1，0）．
设平面BDE的一个法向量为＝（x0，y0，z0），
由，得，取z0＝1，得＝（2，0，1），
设二面角A﹣BD﹣E的平面角为θ，由题知θ是钝角，
则csθ＝﹣＝﹣＝﹣，
则二面角A﹣BD﹣E的余弦值为﹣．
（ⅱ）设，（λ≠0，λ≠1），
＝（λ﹣1，﹣，2λ），
设直线AM与平面BCE所成角为α，
则sinα＝|cs＜＞|＝＝，
解得λ＝0（舍）或．
所以在直线CE（除C、E两点外）上是存在一M，
使得直线AM与平面BDE所成角的余弦值为，且＝．
18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且等比数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1b1＝2，S2＝6，S3＝12，b1+b2＝3．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）求满足条件的最小正整数k，使得对∀n≥k（n∈N*）不等式Tn+1≥Sn恒成立；
（3）对任意的正整数n，设，求数列{cn}的前2n项和．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1b1＝2，S2＝6，S3＝12，b1+b2＝3，
可得2a1+d＝6，3a1+3d＝12，解得a1＝2，d＝2，
所以b1＝1，b2＝2，q＝＝2，
所以an＝2n，bn＝2n﹣1；
（2）由（1）可得Sn＝n（2+2n）＝n2+n，Tn＝＝2n﹣1，
Tn+1≥Sn即为2n≥n2+n，
当n＝1时，Tn+1＝Sn＝2；
当2≤n≤4时，Tn+1＜Sn；
当n≥5时，2n≥2（C+C+C）＝n2+n+2＞n2+n，
所以满足条件的最小正整数k为5；
（3）C2n﹣1＝＝＝（﹣），
所以c1+c3+...+c2n﹣1＝（﹣+﹣+...+﹣）＝（﹣）；
C2n＝＝8n•（）n，
则c2+c4+...+c2n＝8•+16•（）2+...+8n•（）n，
（c2+c4+...+c2n）＝8•（）2+16•（）3+...+8n•（）n+1，
两式相减可得（c2+c4+...+c2n）＝2+8[（）2+...+（）n]﹣8n•（）n+1
＝2+8•﹣8n•（）n+1，
化简可得c2+c4+...+c2n＝﹣（n+）•（）n+1，
所以数列{cn}的前2n项和为（﹣）+﹣（n+）•（）n+1＝﹣（n+）•（）n﹣•．
19．已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线3x+4y+5＝0截得的弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，右焦点F，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过点M的圆与x轴相交，交点T在F右边，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线FE⊥MT，交直线l于点E，判断是否为定值，并给出证明．
解：（1）由题意可得：，解得：，
则椭圆方程为：．
（2）设直线AM的方程为 y＝k（x+2），
联立直线方程和椭圆方程可得 （4k2+3）x2+16k2x+16k2−12＝0，
由 可得 ，
以F为圆心，|FM|为半径的圆为，
联立 可得，
线段MT的中垂线为：y＝2k（x−1），
，
又 ，
所以E 为线段BN中点，．
20．已知函数f（x）＝xex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单减区间；
（2）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；
（3）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．
解：（1）a＝1时，f（x）＝xex﹣1﹣x﹣lnx，f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝（xex﹣1﹣1），
令g（x）＝xex﹣1﹣1，g′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，
g（x）在（0，+∞）递增，而g（1）＝0，即f′（x）＝0，
故x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，1）递减；
（2）∵函数f（x）＝xex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．
∴f′（x）＝（xex﹣1﹣a），（x＞0）．
令g（x）＝xex﹣1﹣a，
则g′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．
∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在极值点；
当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．
∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）存在极小值点．
综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．
证明：（3）由（1）知x0﹣a＝0，即a＝x0．
∴lna＝lnx0+x0﹣1，
f（x0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）．
由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．
令g（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
又g（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，
令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1﹣＝，
当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；
当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；
∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，
∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即ex﹣1≥x，
∴≥x0＞0，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，
∴f（x0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）≥x02•2（1﹣x0）＝2（x02﹣x03），
∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．