2021-2022学年北师大版九年级上册数学期末练习试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年北师大版九年级上册数学期末练习试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了在△ABC中，等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北师大新版九年级上学期数学期末练习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（　　）

A． B． C． D．
2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（　　）
A．3.2米 B．4.8米 C．5.2米 D．5.6米
4．已知关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，则实数a的值可能是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（　　）

A．（﹣3，2） B．（﹣3，1） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CE＝m．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（　　）

A．3 B．2 C． D．5
7．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若EC＝1，则△ABC移动的距离是（　　）

A． B．﹣1 C． D．1﹣
8．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（　　）

A．1 B．m C．m2 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．若2sin（A+20°）＝，则锐角∠A＝　 　．
10．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是　 　．
11．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例函数的解析式为 　 　．

12．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　 　元时，才能使每天所获销售利润最大．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，点E是OB的中点，点P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为 　 　．

14．已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝6，E是BC边上一点且CE＝2BE，F是CD边的中点，连接AF、BF、DE相交于M、N两点，则△FMN的面积是　 　．

三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）
15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）

四．解答题（共9小题，满分74分）
16．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．

17．（6分）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．

18．（6分）新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
19．（6分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？（结果保留根号）
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）

20．（8分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．

21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．

22．（10分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：

进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
600
900
200
B型
800
1200
400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
23．（10分）[归纳探究]
把长为n （n为正整数） 个单位的线段，切成长为1个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次？
我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．
不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系．

如图，当n＝1时，最少需要切0次，即m＝0．
如图，当n＝2时，从线段中间最少需要切1，即m＝1．
如图，当n＝3时，第一次切1个单位长的线段，第二次继续切剩余线段1个单位长即可，最少需要切2次，即m＝2．
如图，当n＝4时，第一次切成两根2个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切2次，即m＝2．
如图，当n＝5时，第一次切成2个单位长和3个单位长的线段．将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切3次，即m＝3．
仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当n＝16时，所需最少切制次数的方法，
如此操作实验，可获得如下表格中的数据：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
m
0
1
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
当n＝1时，m＝0．
当1＜n≤2时，m＝1．
当2＜n≤4时，m＝2．
当4＜n≤8时，m＝3．
当8＜n≤16时，m＝　 　．
…
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：　 　
当n＝1180时，m＝　 　
[类比探究]
由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法解决如下问题．
把边长n （n为正整数） 个单位的大正方形，切成边长为1个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次？
不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系．

通过实验观察：
当n＝1时，从行的角度分析，最少需要切0次，从列的角度分析，最少需要切0次．最少共切0，即m＝0．
当n＝2时，从行的角度分析，最少需要切1次，从列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，当1＜n≤2时，m＝2．
当n＝3时，从行的角度分析，最少需要切2次，从列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，当2＜n≤4时，m＝4．
…
当n＝8时，从行的角度分析，最少需要切3次，从列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，当4＜n≤8时，m＝6．
当8＜n≤16时，m＝　 　
…
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：　 　
[拓广探究]
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问题．
问题（1）：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　 　次．
问题（2）：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　 　次，
问题（3）：把棱长为n （n 为正整数） 个单位长的大正方体，切成边长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　 　次．
请用m的代数式表示线段n的取值范围：　 　．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过A点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，BE∥PQ？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：从这个几何体的左面看，所得到的图形是长方形，能看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此，选项D的图形，符合题意，
故选：D．
2．解：由（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，得
2cosA＝，1﹣tanB＝0．
解得A＝45°，B＝45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
3．解：设旗杆的高为x，有，可得x＝4.8米．
故选：B．
4．解：∵关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴1﹣4（a﹣1）＞0，
∴a＜，
∴a＝1符合题意，
故选：A．
5．解：如图点P为位似中心，
∴＝，即＝，
解得，PB＝3，
∴点P的坐标为（﹣3，2），
故选：A．

6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝m，∠A＝∠D＝∠C＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，
∴BC'＝BC＝6，∠BC'E＝∠C＝90°，C'E＝CE＝m，DE＝CD﹣CE＝m﹣m＝m，
∴DE＝C'E，
∴∠DC'E＝30°，
∴∠AC'B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴AB＝BC'×sin∠AC'B＝6×＝3，
即m＝3；
故选：A．
7．解：由平移的性质可知，EH∥AB，
∴△CHE∽△CAB，
∵重叠部分的面积是△ABC面积的一半，
∴＝，
∵EC＝1，
∴BC＝，
∴BE＝BC﹣EC＝﹣1，即△ABC移动的距离是﹣1，
故选：B．
8．解：设点A、B在二次函数y＝x2图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2＝0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3＝
∴ω＝x1+x2+x3＝x3＝
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．解：∵2sin（A+20°）＝，
∴sin（A+20°）＝，
故A+20°＝60°，
则锐角∠A＝40°．
故答案为：40°．
10．解：∵通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，
∴估计摸到红球的概率为0.6，
故答案为：0.6．
11．解：∵图中阴影部分的面积等于4，
∴正方形OABC的面积为4，
∵P点坐标为（2a，a），
∴2a×2a＝4，
∴a＝1（a＝﹣1舍去），
∴P点坐标为（2，1），
把P（2，1）代入y＝，得
k＝2×1＝2，
故答案为y＝．

12．解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣9）]•（x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
13．解：如图，取OD的中点H，连接HP，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝2，OB＝OD＝3，
∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，
∴OH＝，OE＝，HP＝OC＝1，HP∥AC，
∴EH＝3，∠DOC＝90°，
∴EP＝＝＝，
故答案为：．
14．解：过点F作FG∥BC，过点M作MH⊥FG于点H，交AD于点S，过点N作NP⊥FG于点P，交BC于点Q，如图：

∵矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，
∴BC＝6，CD＝8，
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝2，
∵FG∥BC，F是CD边的中点，
∴FG＝CE＝×4＝2，
∴FG＝BE，
又∵∠FNG＝∠BNE，∠NFG＝∠NBE，
在△FNG和△BNE中，

∴△FNG≌△BNE（AAS），
∴GN＝EN，FN＝BN，
∴NQ＝CF＝CD＝2，
∴PN＝PQ﹣NQ＝4﹣2＝2，
∴S△FNG＝FG×PN＝×2×2＝2；
∵FG∥BC，BC∥AD，
∴FG∥AD，
∴△FMG∽△ADM，
∴MH：MS＝FG：AD＝2：6＝1：3，
∴MH＝1，
∴S△FMG＝FG×MH＝×2×1＝1，
∴△FMN的面积是：2+1＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）
15．解：如图，正方形AEFG为所作．

四．解答题（共9小题，满分74分）
16．解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图：
；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
17．解：根据题意画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是，
∴合唱《红旗飘飘》的概率是，
∵＜，
∴游戏不公平．
18．解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝20时，40﹣x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
∴定价＝80﹣10＝70（元）
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
19．解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80nmile，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝AB＝40（nmile）
答：渔船航行40nmile与小岛B的距离最近．
（2）∵BM＝40nmile，MC＝40nmile，
∴，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BC＝2BM＝80（nmile），
答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80nmile．

20．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（6，0），B（0，4），
∵线段AB的中点是C，
∴C（3，2）．
将C（3，2）代入y1＝（x＞0），得k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y1＝；

（2）∵将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，
∴a＝﹣，D（10，0）．
把D（10，0）代入y＝﹣x+b，解得b＝，
∴直线EF的解析式为y2＝﹣x+．
由，解得或，
∴E（1，6），F（9，）．
如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，则P点的横坐标为3．
将x＝3代入y2＝﹣x+，得y＝，
∴CP＝，
∴S△ECF＝S△ECP+S△PCF
＝××（3﹣1）+××（9﹣3）
＝+8
＝；

（3）由图象可得，不等式y1＜y2的解集为1＜x＜9．

21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．

22．解：（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，

解得0≤x≤60，
故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；
（2）x的取值范围为20≤x≤60．
理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，
当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，
（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，
解得：x＝20或x＝70．
要使y≥234000，
得20≤x≤70；
∵0≤x≤60，
∴20≤x≤60；
（3）设捐款后每天的利润为w元，
则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，
当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
当x＝40时，w最大，
∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，
解得a＝30．
23．解：由截取一维线段所得到的图标可知当8＜n≤16时，m＝4，
故答案是：8．
然后观察左列n的值与右列m的值的关系可以得到2m﹣1＜n≤2m
故答案是：2m﹣1＜n≤2m
当n＝1180时，通过计算可知符合条件的m的值等于11．
故答案是11．
熟悉了截取的过程很容易得到当n的值相等时，截取二维图形的次数是一维图形的次数的2倍，截取三维图形的次数是截取一维线段的次数的三倍．
当8＜n≤16时，根据截取线段时次数是4，所以截取二维图片时次数是8
故答案是：8．
截取一维线段时用m的代数式表示线段n的取值范围：2m﹣1＜n≤2m
所以，截取二维图片时，m的代数式表示线段n的取值范围是：＜n≤．
同理，截取三维立体图形时，n为4时，要切6次，故答案是：6．
n为8时，要切9次，故答案时9．
用m的代数式表示线段n的取值范围：＜n≤，
故答案是＜n≤
24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，
∵PE∥DC，
∴△APE∽△ADC，
∴＝，
即＝，
解得：y＝﹣x+3，
即y关于x的函数关系式为：y＝﹣x+3；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝5，
由（1）得：△APE∽△ADC，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：PE＝﹣x+3，AE＝﹣x+5，
∴QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝﹣x+5，
∵BE∥PQ，
∴∠PQE＝∠BEQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∵PE∥DC，
∴PE∥AB，
∴∠PEQ＝∠BAE，
∴△PEQ∽△BAE，
∴＝，
即＝，
解得：x＝或x＝0，
∴t为0s或s时，BE∥PQ；
（3）存在，理由如下：
分两种情况：
①当Q在线段AE上时，QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝﹣x+5，
（i）当QE＝PE时，﹣ x+5＝﹣x+3，
解得：x＝；
（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，
∴∠APQ＝∠PAQ，
∴AQ＝QP＝QE，
∴x＝﹣x+5，
解得：x＝；
（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，如图1所示：
则FE＝QE＝（﹣x+5）＝，
∵PE∥DC，
∴∠AEP＝∠ACD，
∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝＝，
∵cos∠AEP＝＝＝，
解得：x＝；
②当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示：
∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣x+5，PE＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝x﹣（﹣x+5），
解得：x＝；
综上，存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，x为s或s或s或s．