2021届内蒙古赤峰市高三下学期3月模拟考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2021届内蒙古赤峰市高三下学期3月模拟考试数学（理）试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届内蒙古赤峰市高三下学期3月模拟考试数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为或，，所以，故选：D2．若(，为虚数单位)，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数的运算、复数相等和复数的模，即可得出结果.【详解】，，，，.故选：C.3．已知满足约束条作，则的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，直线中，，表示直线的纵截距，直线向上平行，纵截距增大，减小．由，得，即．平移直线，当直线过点时，为最小值．故选：C．4．新春钢嘉量是由王费国师刘故等人设计能造的标准世器，它包括了禽()，合，升､斗､解这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径､深､底面积和容积，根据钻文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径，深各个部位的测量､得到精确的计算容.从豹推算出当时的标座尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的暨周率分割为，，，，比径一周三的古率已有所进步，这个数据的平均数与极差分别为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】将4个数据相加除以4即可得出平均数，最大数减最小数即为极差.【详解】所给数据为：，，，， 所以这4个数据的平均数为，极差为.故选：B5．已知圆的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题首先可以求出圆心到直线的距离，然后根据圆被直线截得的弦长为求出圆的半径，即可求出圆的方程.【详解】因为圆心是坐标原点，直线方程为，所以圆心到直线的距离为，因为圆被直线截得的弦长为，弦长的一半为，所以圆的半径，则圆的方程为，故选：B.6．在中，内角的对边分别为，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，利用正弦定理转化为，再结合，用b表示a，c，然后利用余弦定理求解.【详解】因为，由正弦定理得，又因为，解得，由余弦定理得，故选：C7．已知数列的前项和为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由结合得出，由等比数列的定义求出，进而由求和公式得出.【详解】因为，所以又，所以因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以，所以故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由等比数列的定义证明数列是等比数列，从而由求和公式得出.8．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，利用二倍角公式求出.【详解】由，可得又故选：C.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件选择合适的公式进行计算．9．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为A，点在抛物线的准线上，且.若点A到直线的距离是，则直线的斜率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出A、B坐标，表示出直线的方程及点A到直线的距离，从而求出，利用斜率公式求出斜率.【详解】由题意可知，设，则直线的方程为即因为点A到直线的距离是所以因为点A在抛物线上，所以所以整理得解得所以即，故直线的斜率为.故选：A【点睛】坐标法是解析几何的基本方法.10．已知函数的图像如图所示，且的图像关于点对称，则的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由函数图像求出函数，再根据函数关于对称求出，从而当时，取得最小值为.【详解】由题可知则又由的图像关于点对称，可得当时，取得最小值为故选：B【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11．已知函数是定义在R上的偶函数，对于任意，都有，且当时，，若方程在区间上有个不同的实数根，则实数的取值为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的性质，结合时，，画出在区间上的图象，再根据方程在区间上有个不同的实数根，转化为函数与的图象在有个交点，利用数形结合法求解.【详解】因为函数对于任意，都有，所以函数的周期为4，由函数是定义在R上的偶函数，且当时，，由此画出在区间上的图象如图所示，因为在区间有个不同的实根，所以函数与的图象在有个交点.当时，如图所示：由图象知：，解得，当时，如图所示：由图象知：，解得，综上，实数的取值范围为.故选：D.12．在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由向量的共线定理和向量的坐标表示，即可求出结果.【详解】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图,易求得由已知可得设，则由可得解得所以由得，解得，此时设，则所以当时，取得最大值故选：D【点睛】方法点睛：用坐标法来解决平面几何和向量的综合题是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.  二、填空题13．的展开式中与的系数之比为___________【答案】【分析】先写出展开式的通项公式，然后分别考虑的次数为时对应的系数，由此求解出结果.【详解】因为令，则，所以的系数为，令，则，所以的系数为，所以与的系数之比为，故答案为：.14．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是___________.【答案】【分析】代入，利用对数的运算求解出此时的值.【详解】当时，.故答案为：.15．已知圆锥的体积为.其底面半径和母线长的比为.该圆锥内半轻最大的球的表面积为___________【答案】【分析】设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,利用勾股定理表示高，进而利用体积公式求得底面半径为1，然后利用等面积法求得内切球的半径，进而利用球的表面积公式计算.【详解】设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,高为,体积,所以,故.该圆锥内半轻最大的球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则,解得,其表面积.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积和球的表面积公式及圆锥的内切球半径的求法，属基础题，关键是根据已知条件，利用圆锥的体积求得底面半径和高，然后利用等面积法建立关系求得内切球的半径.16．已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，(为坐标原点)，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】由向量的数量积以及双曲线中之间的关系，可得，再在中，结合双曲线的定义以及余弦定理，可建立之间的等量关系从而可求出离心率.【详解】因为，所以，则，因为双曲线的渐近线方程为，则，所以.记，则，由，解得，由双曲线的定义可得，又，所以，由余弦定理可得，则，所以，整理得，解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题，一是要将垂直转化为斜率之间的关系，二是运用双曲线的定义，三是要运用余弦定理. 三、解答题17．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求证数列的项和【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得，，再由裂项相消求和，可得所求和．【详解】（1）公差的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，则，即解得则；（2）由等差数列求和公式得：，，故．【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式和及裂项相消法求和，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误，考查学生的运算能力，属于中档题．18．如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且，.（1）求证：平面；（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用等腰直角三角，证明，进一步证明，结合，由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【详解】解：（1）证明：因为，是等腰直角三角形，，所以，所以，所以，又因为是等腰直角三角形，所以，所以，因为，且，，平面，所以平面；（2）解：如图，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设则，设平面的法向量为由得令得平面的一个法向量为设平面的法向量由得令所以平面的法向量，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．甲､乙､丙三人，为了研究某地区高中男生的体重(单位：)与身高(单位：)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6名高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/体重/根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.（1）求关于的线性回归方程；（2）从该地区大量高中男生中随机抽出位男生，他们身高(单位：)的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过的频率，【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）先求出，代入求出，得到回归方程；（2）由回归方程求出体重超过同学身高约为177.7，根据茎叶图得到有3个，计算频率；由题意分析随机变量的可能取值，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】解：（1）依题意可知故关于的线性回归方程为①令得故这位男生的体重有位体重超过所以频率②的可能取值为则的分布列为.【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.20．已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线相互垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设椭圆的标准方程为，将点代入方程，由，结合即可求解.（2）当直线的斜率为时，分别求出，，可得；当直线的斜率不存在时，求出；当直线的斜率存在且不为时，直线的方程可设为，可得直线的方程为，分别将直线与椭圆联立，利用弦长公式求出，，可得，令，构造函数即可求解.【详解】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为由，即再由可得①将点代入椭圆方程，可得②由①②可解得故椭圆的方程为（2）由（2）知，椭圆右焦点为，设当直线的斜率为时，，直线，可得所以当直线的斜率不存在时，直线的斜率为当直线的斜率存在且不为时，直线的方程可设为，则直线的方程为整理得恒成立，则而 联立直线与椭圆方程可得则令令当时，则所以，综上，，当时，的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，解题的关键是利用弦长公式以及韦达定理得出，考查了数学运算以及分类讨论的思想.21．设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，若的最小值为，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求函数的导数，然后结合定义域分类讨论；（2）由，得，从而， 令，有，由不等式的可加性可获得证明.【详解】（1）由题意函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，所以，所以，即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立，令，则，整理得，所以.【点睛】关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到直线距离的最大值.【答案】（1）：，：；（2）最大值为.【分析】（1）由直线的参数方程(为参数)，消去参数即可得到直线的普通方程；由曲线的极坐标方程，转化为，然后利用求解.由曲线的参数方程(为参数)，设曲线上的动点，利用点到直线的距离，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，消去参数，得.曲线的极坐标方程为，,即，曲线的直角坐标方程为，即.曲线的参数方程为(为参数)，设曲线上的动点，则点到直线的距离，曲线上的点到直线的距离的最大值为.【点睛】思路点睛：本题第二问思路是根据曲线的参数方程，设，再利用点到直线的距离，转化为三角函数而得解.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数的形式，再解不等式即可；、（2）不等式解集为恒成立，设，则，求的最小值即可【详解】（1）由已知得①；②；③；∵，∴不等式的解集为.（2）不等式解集为恒成立，设，则①当时，；②当时，；③当时，.∴.∵恒成立，由，得.∴的取值范围是.【点睛】此题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.