专题1.33 《有理数》计算题综合训练（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题1.33 《有理数》计算题综合训练（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共26页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.33 《有理数》计算题综合训练（培优篇）（专项练习）
一、解答题
1．（1）计算： （2）解方程：




2．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；
第二个数是；
第三个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．
（1）经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；
（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，
求证：．
3．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；

(5) ； (6)．


4．计算：
(1)； (2)[(－3)3－(－5)3]÷[(－3)－(－5)]；



(3) ； (4)．


5．计算：
(1) 0.125×(-7)×8； (2) -32-(-8)×(-1)5÷(-1)4；



(4) [2-(-+)×36]÷5； (4) (-370)×(-)+0.25×24.5+(-5)×(-25%).


6．计算
（1）； （2）；
（3）； （4）



7．计算
（1）； （2）；


（3） ； （4）；

（4） ； （6）．



8．阅读下面文字：
对于（﹣5）+（﹣9）+17 +（﹣3）
可以如下计算：
原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
=[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]=0+（﹣1）
=﹣1
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，请你计算：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999）


9． 计算：（1）-2-（+10）； （2）0-（-3.6）；

（3） （-30）-（-6）-（+6）-（-15）； （4）．

10．计算下列各题：
（1）3.587-（-5）+（-5）+（+7）-（+3）-（+1.587）；



（2） （－1）5×{[－4÷（－2）2+（－1.25）×（－0.4）]÷（－）－32}.


10． （1）．

（3） ．


（3）．


11． 已知，求x＋y＋z的值．

12． 计算： × × ×…×(1－)×(1－ )．


14．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．

请你利用这个几何图形求的值．



15． 计算：1+．



16．阅读下面文字：
对于
可以如下计算：
原式



上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）
（2）




17．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）
①_________；
②_______；
③________．
（2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果）
（3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________．



18．阅读材料：
求l+2++++…+2的值．
解：设S= l+2++++…++2，将等式两边同时乘2，
得2S=2+++++…+2+2．
将下式减去上式，得2S-S=2-l 即S=2-l，
即1+2++++…+2= 2-l
仿照此法计算：(1)1+3++…+

19．2014年“十一”黄金周期间，罗浮山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正
数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：
日 期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化
（单位：万人）
0.16
0.08
0.04
-0.04
-0.08
0.02
-0.12
（1）请判断7天中游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
（2）若9月30日的游客人数为0.3万人，则这7天的游客总人数是多少万人？




20．观察下列各式：，，，…
请叙述等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？
利用上述规律，计算：．





21．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：1－（1+）；
第2个数：2－（1+）[1+][1+]；
第3个数：3－（1+）[1+][1+][1+][1+].
…
(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案)；
(2)写出第2 017个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果．



22．数学老师布置了一道思考题：“计算”，小红和小明两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题．
小红的解法：原式的倒数为．所以．
小明的解法：原式．
请你分别用小红和小明的方法计算：．





23．观察下列各等式，并回答问题：
=1﹣；=﹣；=﹣；=﹣；…
（1）填空：=______（n是正整数）
（2）计算： ++++…+=______．
（3）计算： ++++…+=______．
（4）求++++…+的值．




24．计算：

参考答案
1．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）先去括号和绝对值符号后，再计算即可；（2）按等式性质称项、两边同时乘2，直至系数为1即可；
试题解析：
（1）原式＝ ;
（2） {[ ( -3)-3]-3}-3=0
{[ ( -3)-3]-3}=3
[ ( -3)-3]-3=6
[ ( -3)-3]=9
( -3)-3=18
( -3)=21
-3=42
=45
x=90
2．（1）第5个；（2）；证明过程见解析；（3）证明过程见解析.
【解析】
试题分析：（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；
（3）将每个分式根据﹣=＜＜=﹣，展开后再全部相加可得结论．
试题解析：（1）由题意知第5个数a==；
（2）∵第n个数为，第（n+1）个数为，
∴+=（+）=×=×=，
即第n个数与第（n+1）个数的和等于；
（3）∵1﹣=＜=1，
=＜＜=1﹣，
﹣=＜＜=﹣，
…
﹣=＜＜=﹣，
﹣=＜＜=﹣，
∴1﹣＜+++…++＜2﹣，
即＜+++…++＜，
∴．
考点：（1）分式的混合运算；（2）规律型；（3）数字的变化类
3．(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14
【解析】
试题分析：（1）（2）（3）利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计算；（4）（5）（6）把乘数运算，带分数，统一成假分数的乘积形式，约分求解.
试题解析：(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
4．(1) ；(2)49；(3)－22；(4)－10
【解析】
（1）原式=，
=，
=.
（2）原式=，
=，
=，
=.
（3）原式=
=，
=.
（4）原式=，
=，
=，
=.
考点：有理数的混合运算.
5．（1）-7；（2）-17；（3）；(4)100.
【解析】
试题分析：
这是一组有理数的混合运算题，在计算时，首先确定好正确的运算顺序，其次注意“符号”问题；具体解题过程中，（1）小题要注意乘法交换律和结合律的使用；（2）小题要特别注意“符号”方面的问题；（3）小题注意乘法分配律的使用；（4）小题注意乘法分配律的逆用.
试题解析：
（1）原式=
=
=.
（2）原式=
=
=.
（3）原式=
=
=.
（4）原式=
=
=.
6．（1）; （2） ; （3）－17 ; （4）
【解析】
试题分析：进行有理数的加减混合运算时，可先统一成加法，再运用加法交换律，结合律进行运算．
试题解析：解：（1）
=
=-5+(- )
=
（2）
=
=
=-+
=
（3）
=
=-11+(-6)
=-17
（4）
=
=
=0+3+
=
7．（1）70；（2）；（3）；（4）－385.5；（5）2.2；（6）.
【解析】
试题分析：（1）利用有理数的乘方和有理数乘除法法则计算即可；
（2）按先乘除，后加减的顺序计算，注意有因数为0；
（3）利用乘法分配率进行简算；
（4）利用乘法分配率进行简算；
（5）按先乘除，后加减，有括号先算括号内的；
（6）按照有理数四则混合运算顺序进行计算即可．
试题解析：
（1）原式=16+18×3=16+54=70；
（2）原式==；
（3）原式===；
（4）原式= ；
（5）原式=
（6）原式=．
8．.
【解析】
试题分析：首先分析（-5）+（-9）+17+（-3）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值．
试题解析：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999）
=﹣1+（﹣）+（﹣2000）+（﹣）+4000++（﹣1999）+（﹣），
=﹣1+（﹣2000）+4000+（﹣1999）+（﹣）+（﹣）++（﹣），
=（﹣2）+，
=﹣．
点拨：首先阅读材料，结合有理数运算的法则，理解拆项法的原理及应用，然后仿照材料的方法，进行计算．
9．（1）-12；（2）3.6（3）-15；（4）-1．
【解析】
试题分析：根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，然后根据加法法则求解即可.
试题解析：（1）-2-（+10）=-2+（-10）=-12.
（2）0-（-3.6）=0+3.6=3.6．
（3）（-30）-（-6）-（+6）-（-15）=（-30）+（+6）+（-6）+（+15）=-30+0+15=-15．
（4）（-3）-（-2）-（-1）-（+1.75）
=-3+2+1+（-1）
=（-3+1）+ [（+2）+（-1）]
=-2+1
=-1．
10．（1）原式=5；（2）原式＝3.
【解析】
【分析】
（1）运用加法的运算律，把小数与小数相加，整数与整数相加，分数与分数相加；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，再按有理数的混合运算法则计算.
【详解】
（1）原式=3.587+5-5+7-3-1.587
=（3.587-1.587）+（5+7）+（-5-3）
=2+12-8
=5.
（2）原式＝-1×{[-÷4+0.5]÷（-）-9}
＝-1×[（-）÷（-）-9]
＝-1×（6-9）
＝-1×（-3）
＝3.
11．（）．（）．（）．【解析】
试题分析：（1）化简，利用加法结合律计算.(2)利用乘法分配律计算 .(3)先算乘方，再算乘除，最后计算加减.
试题解析：
（）


．
（）



．
（）


．
点拨：计算题中的一些运算技巧
（1）熟练掌握常用分数和小数的互化：，，，，,
,,.
（2）利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计算.
(3)多个数相乘，负数是奇数个，最后符号为负；负数是偶数个，最后符号为正.
(4) 带分数，统一成假分数的乘积形式，约分计算.
（5）有理数的混合运算法则即先算乘方或开方,再算乘法或除法,后算加法或减法.有括号时、先算小括号里面的运算,再算中括号,然后算大括号.
运算律：
①加法的交换律：a+b=b+a； 
②加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 
③乘法的交换律：ab=ba； 
④乘法的结合律：(ab)c=a(bc)； 
⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac； 
注：除法没有分配律.
12．3
【解析】
【试题分析】根据绝对值、完全平方的非负性得，由题意可知，解得，代入得：x＋y＋z＝3.．
【试题解析】
由题意可知，解得，所以x＋y＋z＝3.．
【方法点拨】绝对值的非负性与平方的非负性可以和许多数学知识相结合进行考查．
13．
【解析】
【分析】
先计算括号内的，然后再根据多个有理数相乘的运算法则进行求解即可.
【详解】
× × ×…×(1－)×(1－ )
=
=.
【点拨】
本题考查了有理数的加、乘混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算法则是解题的关键.
14．
【分析】
把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形分成两个面积为的三角形，…，由图形揭示的规律进行解答即可得.
【详解】
由图可知，
，
，
…
，
所以.
【点拨】
本题考查了规律题——图形的变化类，认真观察，通过计算从中发现规律是解题的关键.
15．1
【分析】
根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】
因为1+2+3+…+n={（1+2+…+n）+[n+（n-1）+（n-2）+…+1]}
= [（1+n）+（2+n-1）+（3+n-2）+…+（n+1）]= n（n+1），所以．
所以原式=1+2（-）+2（-）+…+2（=1
【点拨】
本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键，解答时，注意正确找出规律．
16．（1）（2）
【分析】
（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【详解】
（1）



（2）原式


【点拨】
此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
17．（1）①>；②=；③>；（2）；（3），10或或5或
【分析】
（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可；
（2）根据（1）的规律即可得到答案；
（3）根据（2）的规律即可得到答案.
【详解】
（1）①因为，
所以.
②因为，
所以.
③因为，
所以.
故答案为>，=，>；
（2）当a，b异号时，，
当a，b同号时，，
所以；
（3）由（2）中得出的结论可知，x与同号，
所以x的取值范围是.
因为，
所以与异号，
则或或5或，
故答案为，10或或5或.
【点拨】
此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用.
18．.
【分析】
先仿照已知条件给的设设S=1+3++…+，然后再将等式的两边同时乘以3，就可得出另外一个式子，然后两式相减，即可求出.
【详解】
解：设S=1+3++…+（1），
3S=3++…++（2）
（2）-（1）得：
2S=-1 ∴S=
∴1+3++…+=
19．（1）0.22万人（2）这7天的游客总人数是3.42万人
【分析】
(1)根据表格确定出七天内游客人数最多与最少的，求出之差即可；；
(2) 根据9月30日的人数，以及表格，求出这7天的游客总人数即可．
【详解】
解：7天中游客人数最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差
0.58-0.36=0.22(万人).
(2) (1) 1日游客人数为0.3+0.16=0.46(万人)；
2日游客人数为0.46+0.08=0.54(万人)；
3日游客人数为0.54+0.04=0.58(万人)；
4日游客人数为0.58-0.04=0.54(万人)；
5日游客人数为0.54-0.08=0.46(万人)；
6日游客人数为0.46+0.02=0.48(万人)；
7日游客人数为0.48-0.12=0.36(万人).
0.46+0.54+0.58+0.54+0.46+0.48+0.36=3.42(万人).
答：这7天的游客总人数是3.42万人
20．(1) 右边幂的底数等于左边各个幂的底数的和；(2)．
【解析】
【分析】
（1）通过观察可知,右边幂的底数等于左边各个幂的底数的和,（2）利用规律即可解决问题．
【详解】
右边幂的底数等于左边各个幂的底数的和,
（2）,
,
,
．
【点拨】
本题主要考查数字变化类规律型,解决本题的关键是要熟练掌握学会观察并归纳规律.
21．（1）见解析（2）
【分析】
（1）按照运算法则运算即可；
（2）按照（1）中计算方式，逐步写出第2017个代数式，由此可以写出第2017个数；
【详解】
(1)第1个数：；第2个数：；第3个数：.
(2)第2 017个数：
2 017－
=2017-
=2017-
=.
【点拨】
题目考查了数字的变化规律，解决此类问题的关键是找出所求数字与序号的关系，题目整体难易适中，适合课后训练．
22．
【解析】
【分析】
参考小红和小明的两种不同方法计算即可.
【详解】
解：法：原式的倒数为，
∴；
法：原式．
【点拨】
灵活采用运算技巧能使计算简化.
23．（1） ；（2） ；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意确定出拆项规律，写出第n个式子即可；
（2）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（3）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（4）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解．
【详解】
解：（1）（n是正整数）
（2）
=
=1﹣
=．
（3）
=
=
=．
（4）
=
=
=
=．
故答案为：（1） ；（2） ；（3）；（4）.
【点拨】
考查了有理数的混合运算，（4）的关键是将式子变形为进行计算．
24．4
【分析】
根据题意将小数和分数互相转化，将分数除法转变为分数乘法，然后根据分数的乘法运算法则和乘法分配律计算即可．
【详解】
原式
=
=
=
=4
故答案为4．
【点拨】本题考查了含小数的分数乘除混合运算，关键是掌握分数除法的运算法则，并且要将小数转化为分数或分数转化为小数．