2020-2021学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）直线x+2＝0的倾斜角是（ ）
A．不存在B．0°C．90°D．180°
2．（4分）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．（0，±1）B．（±1，0）C．D．
3．（4分）若直线l与平面α不平行，且直线l也不在平面α内，则（ ）
A．α内不存在与l异面的直线 B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l相交 D．α内存在无数条与l垂直的直线
4．（4分）已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则它的表面积是（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
5．（4分）在空间中，设m、n是不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
6．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣a）2＝1与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16相切，则实数a的取值个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）三棱锥P﹣ABC的各棱长都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）
A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC
8．（4分）双曲线的上支与焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝3|OF|，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
9．（4分）如图，棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和最小是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图F1，F2是椭圆的左、右焦点，P，Q是椭圆上两点，满足PF2∥QF1，F2P⊥F2Q，若F2Q＝3PF2，则直线PF1的斜率为（ ）
A．﹣1B．C．D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（6分）双曲线x2﹣y2＝1的焦距为 ，渐近线方程为 ．
12．（6分）已知空间向量分别是OA，OB的方向向量，则＝ ；向量与的夹角为 ．
13．（6分）若过点（1，1）的直线l被圆x2+y2＝4截得的弦长最短，则直线l的方程是 ，此时的弦长为 ．
14．（6分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，它的每条棱长均为2，并且侧面A1C与底面ABC垂直，∠A1AC＝60°，则B1C与底面ABC所成角的正弦值为 ，cs∠A1AB＝ ．
15．（4分）已知抛物线y2＝12x的焦点恰与双曲线的右焦点F1重合，F2为左焦点；点P在双曲线上运动，⊙I是△PF1F2的内切圆，则介于抛物线内部的圆心I的轨迹长为 ．
16．（4分）如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则四面体A'﹣BCD的外接球的球心到平面A'CD的距离等于 ．
17．（4分）已知A、B为椭圆上两点，线段AB的中点在圆x2+y2＝1上，则直线AB在y轴上截距的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知点P（0，a）及圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣3＝0．
（Ⅰ）若点P（0，a）在圆C内部，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣2时，求线段PC的中垂线所在直线的方程．
19．（15分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，面AA1C1C⊥平面ABC，2AA1＝2A1C1＝2C1C＝AC，BC＝BA，点D是BC的中点．
（1）求证：DC1∥平面ABB1A1；
（2）求证：BC1⊥A1C．
20．（15分）已知圆和点是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，记P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点A是曲线E与y轴正半轴的交点，过点（0，2）的直线交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，试探索k1•k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（15分）如图矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E，Q分别为AB，CD的中点，沿EC将点B折起至点P，连接PA，PD，PQ．
（1）当∠PEB＝60°时（如图1），求二面角P﹣EC﹣B的大小；
（2）当二面角P﹣EC﹣B等于120°时（如图2），求PD与平面PAQ所成角的正弦值．
22．（15分）如图，已知P（﹣2，t）是直线x＝﹣2上的动点，过点P作抛物线y2＝4x的两条切线，切点分别为A，B，与y轴分别交于C，D．
（1）求证：直线AB过定点，并求出该定点；
（2）设直线AB与x轴相交于点Q，记A，B两点到直线PQ的距离分别为d1，d2；求当取最大值时△PCD的面积．
2020-2021学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）直线x+2＝0的倾斜角是（ ）
A．不存在B．0°C．90°D．180°
【解答】解：直线x+2＝0的斜率不存在，倾斜角为90°．
故选：C．
2．（4分）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．（0，±1）B．（±1，0）C．D．
【解答】解：椭圆，可知a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆的焦点坐标为：（±1，0）．
故选：B．
3．（4分）若直线l与平面α不平行，且直线l也不在平面α内，则（ ）
A．α内不存在与l异面的直线
B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l相交
D．α内存在无数条与l垂直的直线
【解答】解：由直线l与平面α不平行，且直线l也不在平面α内，可得直线l与平面α相交，设交点为O，
则α内不过O的直线都与直线l异面，故A错误；
若α内存在与l平行的直线，由直线与平面平行的判定，可得l∥α，与已知矛盾，故B错误；
α内所有过O的直线都与直线l相交，故C错误；
若l⊥α，则α内的所有直线都与l垂直，若l与α不垂直，则α内所有与l在α内的射影垂直的直线都与l垂直，
故D正确．
故选：D．
4．（4分）已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则它的表面积是（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【解答】解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，
则这个圆锥的表面积是×2π×2+π•12＝3π．
故选：B．
5．（4分）在空间中，设m、n是不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
【解答】解：对于A，α∥β，m∥α，可能有m⊂β，未必有m∥β，所以A错；
对于B，α⊥β，m⊥α，可能有m⊂β，未必有m∥β，所以B错；
对于C，α⊥β，m∥α，可能有m⊂β或m∥β等，未必有m⊥β，所以C错；
对于D，设α∩β＝l，取不在α、β、m、n上点P，过P作PA∥m交α于A，作PB∥n交β于B，
m⊥α，n⊥β⇒PA⊥α，PB⊥β，设PA与PB确定的平面γ交l于O点，连AO，BO，AB，PO，
l⊥PA，l⊥PB⇒l⊥γ⇒l⊥OA，l⊥OB⇒∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，
∠PAO＝∠PBO＝90°⇒四点A、O、B、P共圆⇒∠AOB+∠APB＝180°；
α⊥β⇒∠AOB＝90°⇒∠APB＝90°⇒PA⊥PB⇒m⊥n，所以D对．
故选：D．
6．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣a）2＝1与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16相切，则实数a的取值个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据题意，圆（x+1）2+（y﹣a）2＝1，其圆心为（﹣1，a），半径r＝1，
圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16，其圆心为（2，4），半径R＝4，
其圆心距d＝＝，
若两圆内切，则有d＝R﹣r＝3，即a2﹣8a+25＝9，解可得a＝4，
若两圆外切，则有d＝R+r＝5，即a2﹣8a+25＝25，解可得a＝0或8，
故实数a的取值个数为3，
故选：C．
7．（4分）三棱锥P﹣ABC的各棱长都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）
A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC
【解答】解：对于A，D、F分别是AB、CA的中点⇒BC∥DF⇒BC∥平面PDF，所以A对；
对于B，AE⊥BC，PE⊥BC⇒BC⊥平面PAE，DF∥BC⇒DF⊥平面PAE，所以B对；
对于C，反证法，假设平面PDE⊥平面ABC，AE⊥BC，PE⊥BC⇒BC⊥平面PAE，
又平面PDE⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，与已知矛盾，所以C错；
对于D，AE⊥BC，PE⊥BC⇒BC⊥平面PAE，又平面PDE⊥平面ABC，所以D对．
故选：C．
8．（4分）双曲线的上支与焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝3|OF|，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：把y2＝2px（p＞0）代入双曲线（a＞0，b＞0），
可得：a2x2﹣2pb2x﹣a2b2＝0，
∴xA+xB＝，
∵|AF|+|BF|＝3|OF|，∴xA+xB+2×＝3×，
∴＝，
∴a2＝4b2，即a2＝4（c2﹣a2），解得e＝．
故选：A．
9．（4分）如图，棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和最小是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，
当P位于BB1 的中点P1 时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，
BP1＝B1P1＝1，B1D1＝2 ，
求得OD1＝＝，OP1＝＝，D1P1＝＝3．
∴OD12+OP12＝D1P12，得OD1⊥OP1．
又OP1∩OC＝O，OP1⊂平面OP1 C，OC⊂平面OP1 C，
∴D1O⊥平面OP1 C，得到P的轨迹在线段P1C上．
过B作关于CP1的对称点B'，过P作PH⊥BC于H，
当B'，P，H三点共线时，点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和取得最小值．
在直角三角形P1BC中，BC＝2，P1B＝1，P1C＝＝，
BB'＝，所以B'H＝BB'sin∠HBB'＝×＝，
故选：A．
10．（4分）如图F1，F2是椭圆的左、右焦点，P，Q是椭圆上两点，满足PF2∥QF1，F2P⊥F2Q，若F2Q＝3PF2，则直线PF1的斜率为（ ）
A．﹣1B．C．D．
【解答】解：由题意PF2∥QF1，F2P⊥F2Q，若F2Q＝3PF2，取Q点关于原点O的对称点M，
则F1M＝F2Q，F1Q＝F2M，所以四边形F1QF2M为矩形，得到M，P，F2，共线，
设F2P＝x，则F2Q＝3x，
由椭圆定义可得F1P＝2a﹣x，F2M＝2a﹣3x，MP＝2a+2x，
∵∠F1MF2＝90°，则（2a﹣2x）2+4x2＝（2a﹣x）2，解得x＝，
∴，F2Q＝3x＝a，F1Q＝a，
∴∠F1QF2＝∠QF2P＝∠PF2x＝45°，
过P作x轴的垂线，垂足为N，
则PN＝，F1N＝，
所以k＝﹣＝﹣．
故选：D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（6分）双曲线x2﹣y2＝1的焦距为 ，渐近线方程为 y＝±x ．
【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1，可得a＝b＝1，所以c＝，双曲线的焦距为2，
双曲线的渐近线方程为：y＝±x．
故答案为：2；y＝±x．
12．（6分）已知空间向量分别是OA，OB的方向向量，则＝ 3 ；向量与的夹角为 60° ．
【解答】解：根据题意，空间向量，
则+＝（3，0，3），则|+|＝＝3，
•＝2×1+（﹣1）×1+1×2＝3，||＝＝，||＝＝，
则cs＜，＞＝＝，
又由0°≤＜，＞≤180°，则＜，＞＝60°，
故答案为：3，60°．
13．（6分）若过点（1，1）的直线l被圆x2+y2＝4截得的弦长最短，则直线l的方程是 x+y＝2 ，此时的弦长为 ．
【解答】解：直线I的方程为y﹣1＝k（x﹣1），与圆联立可得出两点M，N，即x2+（kx﹣k+1）2＝4，韦达定理求解得，，MN＝＝＝，当k＝﹣1时，MN最短，直线I为x+y＝2，弦长为，
故填：x+y＝2；．
14．（6分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，它的每条棱长均为2，并且侧面A1C与底面ABC垂直，∠A1AC＝60°，则B1C与底面ABC所成角的正弦值为 ，cs∠A1AB＝ ．
【解答】解：如图，取AC中点O，连接A1O，BO，
由A1A＝A1C，BA＝BC，得A1O⊥AC，BO⊥AC，
又A1O⊥AC，侧面A1C与底面ABC垂直，A1O⊂侧面A1AC，
侧面A1C∩底面ABC＝AC，∴A1O⊥底面ABC，
以O为坐标原点，分别以OB、OC、OA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（，0，0），A（0，﹣1，0），C（0，1，0），A1（0，0，），B1（，1，），
，，．
平面ABC的一个法向量为，
设B1C与底面ABC所成角为θ，则sinθ＝＝||＝；
cs∠A1AB＝cs＜＞＝＝．
故答案为：；．
15．（4分）已知抛物线y2＝12x的焦点恰与双曲线的右焦点F1重合，F2为左焦点；点P在双曲线上运动，⊙I是△PF1F2的内切圆，则介于抛物线内部的圆心I的轨迹长为 ．
【解答】解：由抛物线y2＝12x，得F1（3，0），即双曲线的半焦距c＝3，
由a2＝c2﹣b2＝9﹣8＝1，可得双曲线方程为．
如图，
设⊙I与△PF1F2的三边分别切于E、F、G，可得|PE|＝|PF|，|F1F|＝|F1G|，|F2E|＝|F2G|，
由双曲线定义，得|PF2|﹣|PF1|＝2，即|F2G|﹣|F1G|＝2，可得G的横坐标为定值1，
∴圆心I的横坐标为定值1，代入抛物线方程，可得y2＝12，即y＝，
则介于抛物线内部的圆心I的轨迹长为．
故答案为：．
16．（4分）如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则四面体A'﹣BCD的外接球的球心到平面A'CD的距离等于 ．
【解答】解：平面四边形ABCD中，BD＝，，BD⊥CD，
可得BC＝，
将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，
由面面垂直的性质可得，CD⊥平面A′BD，则CD⊥A′D，
由A′D＝AD＝1，CD＝，得A′C＝2，
又A′B＝AB＝1，BC＝，∴A′B2+A′C2＝BC2，得A′B⊥A′C，
由BD⊥CD，取BC中点O，则O为四面体A'﹣BCD的外接球的球心．
∵A′B＝A′D＝1，BD＝，∴A′B⊥A′D，
又A′B⊥A′C，A′C∩A′D＝A′，A′C、A′D⊂平面A′CD，
∴BA′⊥平面A′CD，即A′B＝1为B到平面A′CD的距离，
而O为BC中点，则O到平面A'CD的距离等于．
即四面体A'﹣BCD的外接球的球心到平面A'CD的距离等于．
故答案为：．
17．（4分）已知A、B为椭圆上两点，线段AB的中点在圆x2+y2＝1上，则直线AB在y轴上截距的取值范围为 （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） ．
【解答】解：设点A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点为（m，n），则m2+n2＝1，
∴，
两式相减整理得，＝
①当n≠0，即﹣1≤n＜0或0＜n≤1时，＝，此时直线AB的方程为y﹣n＝（x﹣m），
令x＝0，则y＝n+＝＝+＝（n+），
若﹣1≤n＜0，则y＝（n+）在[﹣1，0）上单调递减，∴y≤﹣1；
若0＜n≤1，则y＝（n+）在（0，1]上单调递减，∴y≥1，
∴y∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；
②当n＝0时，直线AB过点（1，0）或（﹣1，0），且垂直于x轴，在y轴上无截距．
综上所述，直线AB在y轴上截距的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知点P（0，a）及圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣3＝0．
（Ⅰ）若点P（0，a）在圆C内部，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣2时，求线段PC的中垂线所在直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）圆C可以化为（x﹣2）2+（y+1）2＝8，
若点P在圆C内部，则4+（a+1）2＜8，
即（a+1）2＜4，|a+1|＜2，
解得：﹣3＜a＜1；
（Ⅱ）C（2，﹣1），当a＝﹣2时，线段PC的中点的坐标为（1，﹣），
，
故线段PC的中垂线所在直线的斜率为﹣2，
由y＝﹣2（x﹣1）﹣，
所求直线方程为4x+2y﹣1＝0．
19．（15分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，面AA1C1C⊥平面ABC，2AA1＝2A1C1＝2C1C＝AC，BC＝BA，点D是BC的中点．
（1）求证：DC1∥平面ABB1A1；
（2）求证：BC1⊥A1C．
【解答】（1）证明：取AB中点E，连接DE，，
又∵，
又∵C1D⊄平面ABB1A1，∴C1D∥平面ABB1A1；
（2）证明：取AC中点O，连接BO，A1O，C1O由BC＝BA⇒BO⊥AC，
∵，
∵，∴四边形A1C1CO是平行四边形，
又∵AC＝2C1C，AC＝2CO，∴CO＝C1C，∴四边形A1C1CO是菱形，
∵C1O⊥A1C，BO⊥A1C，C1O∩BO＝O，C1O⊂平面BOC1，BO⊂平面BOC1，
∴A1C⊥平面BOC1，
∵BC⊂平面BOC1，∴BC1⊥A1C．
20．（15分）已知圆和点是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，记P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点A是曲线E与y轴正半轴的交点，过点（0，2）的直线交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，试探索k1•k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】（1）圆的圆心为，半径为，
点在圆M内，，
所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，
由，得b2＝3﹣2＝1，
所以曲线E的方程为．
（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），A（0，1），由已知直线BC的斜率存在，
设直线BC：y＝kx+2，联立方程组，得（1+3k2）x2+12kx+9＝0，
∴．
∴＝（定值）．
21．（15分）如图矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E，Q分别为AB，CD的中点，沿EC将点B折起至点P，连接PA，PD，PQ．
（1）当∠PEB＝60°时（如图1），求二面角P﹣EC﹣B的大小；
（2）当二面角P﹣EC﹣B等于120°时（如图2），求PD与平面PAQ所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取CE中点O，连接BP，BO，PO，∵AB＝2BC＝2BE＝2，
∴，
∴就是所求二面角的平面角，
因为是正三角形，
又因为等腰Rt△BEC⇒CE＝2⇒BO＝PO＝1⇒BO2+PO2＝BP2⇒∠POB＝90°，
所以二面角P﹣EC﹣B的大小为90°．
（2）由于沿EC将点B折起至点P，所以点P在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，
又因为B，O，Q三点共线，二面角P﹣EC﹣B等于1200⇒∠POQ＝60°⇒BO＝PO＝OQ＝1⇒
△POQ是正三角形⇒PQ＝1，取OQ中点M，PM⊥OQ，又平面POQ⊥平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD．
综上所述，可建立空间直角坐标系如图，由已知可得各点坐标如下：
O（0，0，0）、P（，0，）、Q（1，0，0）、A（1，2，0）、D（2，1，0）；
所以点A坐标为（1，2，0），
所以，
设平面PQA的法向量为，，
令．
所以，PD与平面PAQ所成角的正弦值为．
22．（15分）如图，已知P（﹣2，t）是直线x＝﹣2上的动点，过点P作抛物线y2＝4x的两条切线，切点分别为A，B，与y轴分别交于C，D．
（1）求证：直线AB过定点，并求出该定点；
（2）设直线AB与x轴相交于点Q，记A，B两点到直线PQ的距离分别为d1，d2；求当取最大值时△PCD的面积．
【解答】解：（1）证明：设过点P与抛物线相切的直线方程为：x+2＝m（y﹣t），
由，
因为相切，所以，
设m1，m2是该方程的两根，
由韦达定理得：，
m1，m2分别表示切线PA，PB斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，
所以切点
所以直线AB为：，
直线AB方程为：，
所以AB过定点（2，0）．
（2）方法一
由（1）知，
由（1）知点Q坐标为（2，0），P（﹣2，t），所以直线PQ方程为：，
即：，A，B分居直线两侧，，
∴，
∴当且仅当t2＝8，
又由x+2＝m（y﹣t），令x＝0得：，
；
方法二：
因为，
由（1）知点Q坐标为（2，0），，
又由（1）知直线AB方程为：，
，
∴当且仅当t2＝8取到等号，
又由x+2＝m（y﹣t），令x＝0得：，．
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日期：2022/1/5 13:06:37；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983