2020年湖北省武汉市青山区中考数学二模试卷及答案

这是一份2020年湖北省武汉市青山区中考数学二模试卷及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖北省武汉市青山区中考数学二模卷一、选择题1．（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始6min内既出水又进水，在随后的4min内只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则7min容器内的水量为（　　）A．35L B．37.5L C．40L D．42.5L2．（4分）对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　）A．12 B．14 C．16 D．183．（4分）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（　　）A． B．1 C． D．4．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣301y44n当n＜0时，下列结论中一定正确的是　   　（填序号即可）．①abc＜0；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③a＜﹣1；④当n＝﹣时，关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1．二、填空题5．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠D＝45°，过点A作AF∥BC交DC于点F，交BD于点E，若EF＝，AE＝2，则BC＝　   　．三、解答题6．（8分）在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（5，3），C（1，5）．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）画出以AB为斜边的等腰Rt△ABD（D在AB下方）；（2）连接CD交AB于点E，则∠ACE的度数为　   　°；（3）在直线AB下方找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为　   　；（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为　   　．7．（8分）已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点．（1）如图1，求证：BE﹣AE＝CG；（2）如图2，连接DF，DE．若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝，求FC的值．8．（10分）某水果经销商以20元/千克的价格新进1000kg杨梅进行销售，因为杨梅不耐储存，在运输储存过程损耗率为．为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）2025303540日销售量y（千克）300225150750（1）这批杨梅的实际成本为　   　元/千克，每千克定价为　   　元时，这批杨梅可获得5000元利润；（2）①请你根据表中的数据直接写出y与x之间的函数表达式．②该水果经销商应该如何确定这批杨梅的销售价格，才能使日销售利润w1最大？（3）该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克杨梅需支出a元（a＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤30，该水果经销商日获利w2的最大值为1200元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）9．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠B＝n，CD⊥AB于点D．（1）如图1，求证：＝n2；（2）如图2，AF⊥CE于点G，交BC于点F，若n＝，＝，求的值；（3）如图3，A为CM中点，MD交BC于点N，若MC＝3CN，则n＝　   　．10．（12分）已知，直线l：y＝kx+2与y轴交于点M，且与抛物线C：y＝x2交于A，B两点（A在B的右边）．（1）如图1，求S△AOB（用含k的式子表示）；（2）如图2，当k＝时，过O点的另一条直线与直线y＝kx+2交于点Q（Q在线段AB上），与抛物线C交于点N．若sin∠OQM＝，求点N的坐标；（3）如图3，作抛物线y＝x2的任意一条切线（不含x轴）与直线y＝2交于点N1，与直线y＝﹣2交于点N2．求MN22﹣MN12的值．
2020年湖北省武汉市青山区中考数学备考复习试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始6min内既出水又进水，在随后的4min内只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则7min容器内的水量为（　　）A．35L B．37.5L C．40L D．42.5L【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得当6≤x≤10时，y与x的函数关系式，然后将x＝7代入函数解析式，得到相应的y的值，即7min容器内的水量，本题得以解决．【解答】解：当6≤x≤10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，∵点（6，50），（10，0）在此函数图象上，∴，解得，，即当6≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣12.5x+125，当x＝7时，y＝﹣12.5×7+125＝37.5，即7min容器内的水量为37.5L，故选：B．2．（4分）对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】按照题目规则，分别调换数字，求出三个数字，求和后除以111，即可求解．【解答】解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，这三个新三位数的和为648+864+486＝1998，1998÷111＝18，所以F（468）＝18．故选：D．3．（4分）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（　　）A． B．1 C． D．【分析】如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．利用全等三角形的性质证明CJ＝BF，OJ＝OF，设BF＝CJ＝x，OJ＝OF＝y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．4．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣301y44n当n＜0时，下列结论中一定正确的是　②③④　（填序号即可）．①abc＜0；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③a＜﹣1；④当n＝﹣时，关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1．【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝﹣1.5，∴a＜0，b＜0，又∵x＝0时，y＝4，∴c＝4＞0，∴abc＞0，故①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝﹣1.5，∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；③∵c＝3，∴二次函数y＝ax2+bx+4，∵当x＝1时，y＝n＜0，∴a+b+4＜0，∵﹣＝﹣1.5，∴b＝3a，∴a+3a+4＜0，解答a＜﹣1，故③正确；④∵点（﹣3，4）和（1，﹣）是直线y＝﹣x上的点，且二次函数y＝ax2+bx+c经过这两个点，∴抛物线与直线y＝﹣x的交点为（﹣3，4），（1，﹣），∴关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1，故④正确．故答案为②③④．二、填空题5．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠D＝45°，过点A作AF∥BC交DC于点F，交BD于点E，若EF＝，AE＝2，则BC＝　5　．【分析】如图，连接AD，过点F作FH⊥BC于H．过点E作EK⊥AD于K，EJ⊥DF于J．设AB＝BC＝x．首先证明AD：DF＝7：3，再证明∠DAF＝∠CFH，根据tan∠CFH＝tan∠DAF构建方程求解即可．【解答】解：如图，连接AD，过点F作FH⊥BC于H．过点E作EK⊥AD于K，EJ⊥DF于J．设AB＝BC＝x．∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠BAC＝∠BDC，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∴∠ADE＝∠EDF，∵EK⊥AD，EJ⊥DF，∴EK＝EJ，∵＝＝＝＝，∵AF∥BC，FH⊥BC，∴∠BAF＝∠ABC＝∠FHB＝90°，∴四边形ABHF是矩形，∴BH＝AF＝2+＝，AB＝FH＝x，CH＝x﹣，∵∠FCH+∠HFC＝90°，∠DAF+∠BAF+∠FCH＝180°，∴∠DAF＝∠CFH，∴tan∠CFH＝tan∠DAF＝＝，∴＝，∴＝，解得x＝5，∴BC＝5，故答案为5．三、解答题6．（8分）在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（5，3），C（1，5）．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）画出以AB为斜边的等腰Rt△ABD（D在AB下方）；（2）连接CD交AB于点E，则∠ACE的度数为　45　°；（3）在直线AB下方找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为　（6，0）　；（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为　3　．【分析】（1）取格点M，N，连接AM，BN交于点D，点D即为所求．（2）利用四点共圆的性质解决问题即可．（3）取格点G，作直线CG可得点F．（4）在Rt△ACF中，求出AF，AC即可解决问题．【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求．（2）∠ACE＝45°．理由：∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴A，C，B，D四点共圆，∵DA＝DB，∴＝，∴∠ACD＝∠BCD＝45°．故答案为45°．（3）点F即为所求．F（6，0）．理由：在△ACE和△ACG中，∵∠CAE＝∠CAG，∠ACE＝∠AGC＝45°，∴∠AEC＝∠ACG，即∠ACF＝∠AEC．故答案为（6，0）．（4）在Rt∠ACF中，tan∠ACF＝＝＝3，∵∠ACF＝∠AEC，∴tan∠AEC＝3．故答案为3．7．（8分）已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点．（1）如图1，求证：BE﹣AE＝CG；（2）如图2，连接DF，DE．若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝，求FC的值．【分析】（1）连接OE，延长EO与CD交于点M，证明四边形AEMD和四边形BEMC都是矩形，得AE＝DM，BE＝CM，由垂径定理得DM＝GM，再由线段和差便可得结论；（2）连接EO，延长EO交⊙O于点N，交CD于点M，连接OD，EF，FN，过点N作NH⊥BC，与BC的延长线交于点H，设⊙O的半径为r，在Rt△OMD中，由勾股定理列出r的方程求得半径r，再在Rt△EFN中，由勾股定理求得EF与FN，再证明△BEF∽△HFN，由相似三角形的性质求得结果．【解答】解：（1）连接OE，延长EO与CD交于点M，∵⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，∴EM⊥CD，∴∠EMD＝∠EMC＝90°，DM＝GM，∴四边形AEMD和四边形BEMC都是矩形，∴AE＝DM，BE＝CM，∵CM﹣CG＝GM，∴BE﹣AE＝CG；（2）连接EO，延长EO交⊙O于点N，交CD于点M，连接OD，EF，FN，过点N作NH⊥BC，与BC的延长线交于点H，如图2，由（1）知，四边形AEMD为矩形，∴AE＝DM＝MG＝3，AD＝EM＝9，设⊙O的半径为r，则OD＝r，OM＝9﹣r，∵OD2﹣OM2＝DM2，∴r2﹣（9﹣r）2＝32，解得，r＝5，∴BH＝EN＝2r＝10，∴CH＝BH﹣BC＝BH﹣AD＝1，∵EN为⊙O的直径，∴∠EFN＝90°，∵∠ENF＝∠EDF，tan∠EDF＝，∴tan∠ENF＝，设EF＝4x，则FN＝3x，∵EF2+FN2＝EN2，∴16x2+9x2＝100，解得，x＝2，或x＝﹣2（舍），∴EF＝8，FN＝6，设CF＝y，BE＝HN＝z，则BF＝9﹣y，FH＝y+1，∵∠EFN＝90°，∠B＝∠H＝90°，∴∠BFE+∠HFN＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠HFN，∴△BEF∽△HFN，∴，即，解得，y＝，即CF＝．8．（10分）某水果经销商以20元/千克的价格新进1000kg杨梅进行销售，因为杨梅不耐储存，在运输储存过程损耗率为．为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）2025303540日销售量y（千克）300225150750（1）这批杨梅的实际成本为　24　元/千克，每千克定价为　30　元时，这批杨梅可获得5000元利润；（2）①请你根据表中的数据直接写出y与x之间的函数表达式．②该水果经销商应该如何确定这批杨梅的销售价格，才能使日销售利润w1最大？（3）该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克杨梅需支出a元（a＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤30，该水果经销商日获利w2的最大值为1200元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）【分析】（1）由题意得：成本价为20÷（1﹣）＝24（元），设当定价为x元/千克时获利为5000元，则1000×（1﹣）（x﹣24）＝5000，即可求解；（2）①假设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（20，300）、（25，225）代入上式即可求解，最后把其它点代入验证即可；②由题意得：w1＝y（x﹣24）＝（﹣15x+600）（x﹣24）＝﹣15（x﹣40）（x﹣24），求函数的最大值即可；（3）由题意得：w2＝y（x﹣20﹣a），函数的对称轴为x＝30+a＞30，故当25≤x≤30时，在x＝30时，w2取得最大值为1200，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：成本价为20÷（1﹣）＝24（元），设当定价为x元/千克时获利为5000元，则1000×（1﹣）（x﹣24）＝5000，解得x＝30（元/千克），故答案为24，30； （2）①假设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（20，300）、（25，225）代入上式得，解得，故函数的表达式为y＝﹣15x+600，把其它点代入验证，表达式也成立，故函数的表达式为y＝﹣15x+600；②由题意得：w1＝y（x﹣24）＝（﹣15x+600）（x﹣24）＝﹣15（x﹣40）（x﹣24），∵﹣15＜0，故函数w1有最大值，当x＝（40+24）＝32（元/千克）时，w1的最大值为960（元），即销售价格为32元/千克时，日销售利润w1最大值为960元； （3）由题意得：w2＝y（x﹣20﹣a）＝﹣15（x﹣40）（x﹣20﹣a），函数的对称轴为x＝（40+20+a）＝30+a＞30，故当25≤x≤30时，在x＝30时，w2取得最大值为1200，即﹣15（30﹣40）（30﹣20﹣a）＝1200，解得a＝2．9．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠B＝n，CD⊥AB于点D．（1）如图1，求证：＝n2；（2）如图2，AF⊥CE于点G，交BC于点F，若n＝，＝，求的值；（3）如图3，A为CM中点，MD交BC于点N，若MC＝3CN，则n＝　1或　．【分析】（1）证明△ADC∽△CDB，推出＝，推出CD2＝AD•DB，因为tanB＝＝n，可得＝n2，由此可得结论．（2）如图2中，过点E作EH⊥BC于H．设FH＝4x，设CF＝4k，BE＝5k，利用平行线分线段成比例定理国际关系在求出x与k的关系即可解决问题．（3）如图3中，连接BM，过点M作MT⊥BA交BA的延长线于T．设CD＝x，AD＝y．证明△MAD∽△BAM，推出∠AMD＝∠ABM，推出tan∠AMD＝tan∠ABM＝＝，由此构建关系式，求出x与y的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝AD•DB，∵tanB＝＝n，∴＝n2，∴＝n2，∴＝n2． （2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H．设FH＝4x，∵＝，∴可以假设CF＝4k，BE＝5k，∵tanB＝＝，∴EH＝3k，BH＝4k，∴BC＝CF+BH+FH＝8k+4x＝4（2k+x），∵tanB＝＝，∴AC＝3（2k+x），∵CE⊥AF，∴∠AGC＝90°，∵∠GCF+∠GCA＝90°，∠GCA+∠CAG＝90°，∴∠CAG＝∠GCF，∴tan∠CAF＝tan∠ECH，∴＝，∴＝，∴x＝k，∴CH＝4k+k＝k，∴tan∠ECH＝tan∠CAF＝＝，由（1）可知，＝（tan∠CAF）2＝． （3）如图3中，连接BM，过点M作MT⊥BA交BA的延长线于T．设CD＝x，AD＝y．∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB，∵AC＝AM，∴＝，∵∠MAD＝∠MAB，∴△MAD∽△BAM，∴∠AMD＝∠ABM，∴tan∠AMD＝tan∠ABM＝＝，∵MT⊥TA，CD⊥AB，∴∠T＝∠CDA＝90°，∵∠MAT＝∠CAD，MA＝AC，∴△MTA≌△CDA（AAS），∴MT＝CD＝x，AT＝AD＝y，∵tan∠MBT＝＝，∴BT＝3x，DB＝3x﹣2y，由△ADC∽△CDB，可得CD2＝AD•DB，∴x2＝y（3x﹣2y），∴x2﹣3xy+2y2＝0，解得x＝y或x＝2y，当x＝y时，∠ABC＝45°，n＝tan45°＝1，当x＝2y时，n＝tan∠ABC＝＝＝＝，综上所述，n的值为1或．故答案为1或．10．（12分）已知，直线l：y＝kx+2与y轴交于点M，且与抛物线C：y＝x2交于A，B两点（A在B的右边）．（1）如图1，求S△AOB（用含k的式子表示）；（2）如图2，当k＝时，过O点的另一条直线与直线y＝kx+2交于点Q（Q在线段AB上），与抛物线C交于点N．若sin∠OQM＝，求点N的坐标；（3）如图3，作抛物线y＝x2的任意一条切线（不含x轴）与直线y＝2交于点N1，与直线y＝﹣2交于点N2．求MN22﹣MN12的值．【分析】（1）由，消去y得到，x2﹣4kx﹣8＝0，可得xA+xB＝4k，xA•xB＝﹣8，推出|xA﹣xB|＝＝4•，再根据S△AOB＝•OM•|xA﹣xB|，求解即可．（2）如图2中，过点O作OH⊥AB于H．设Q（m，m+2），构建方程组求出A，B两点坐标，解直角三角形求出OQ的长，再求出点Q的坐标，求出直线OQ的解析式，构建方程组确定交点N坐标即可．（3）设切线的解析式为y＝ax+b（a≠0），代入y＝x2，得x2＝4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b＝0，由△＝0得（4a）2+16b＝0，化简整理得b＝﹣a2．故切线的解析式可写成y＝ax﹣a2．分别令y＝2、y＝﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），再利用 勾股定理，构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2交y轴于M，∴M（0，2），由，消去y得到，x2﹣4kx﹣8＝0，∴xA+xB＝4k，xA•xB＝﹣8，∴|xA﹣xB|＝＝4•，∴S△AOB＝•OM•|xA﹣xB|＝4•． （2）如图2中，过点O作OH⊥AB于H．设Q（m，m+2），由，解得或，∴A（4，4），B（﹣2，1）．∴AB＝＝3，∵S△AOB＝•AB•OH＝4，∴OH＝，∵sin∠OQH＝＝，∴OQ＝4，∴m2+（m+2）2＝16，解得m＝﹣4或，∵点Q在线段AB上，∴Q（，），∴直线OQ的解析式为y＝x，由，解得（即原点）或，∴点N（，）． （3）设切线的解析式为y＝ax+b（a≠0），代入y＝x2，得x2＝4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b＝0，由△＝0得（4a）2+16b＝0，化简整理得b＝﹣a2．故切线的解析式可写成y＝ax﹣a2．分别令y＝2、y＝﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），∴MN22﹣MN12＝（﹣a）2+42﹣（+a）2＝8．