高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质随堂练习题

课时作业(四十)　[第40讲　直线、平面垂直的判定与性质]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．[2011·青岛一模]  已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是(　　)

A．①和②  B．②和③

C．③和④  D．②和④

3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是(　　)

A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥β

B．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β

C．若a∥α，b⊂α，则a∥b

D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

4．[2011·吉林实验中学模拟]  在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

5．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

B．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n

C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

6．四面体ABCD中，AB＝AC＝2，DB＝DC＝2，BC＝2AD＝4，则二面角A－BC－D的大小是(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．135°

7．[2011·全国卷] 已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　)

A.  B.  C.  D．1

8．若直线l与平面α相交，但不垂直，则有(　　)

A．∀平面β，若l⊂β，都有平面β⊥平面α

B．∃平面β，若l⊂β，使得平面β⊥平面α

C．∀平面β，若l⊂β，都有平面β∥平面α

D．∃平面β，若l⊂β，使得平面β∥平面α

9．如图K40－1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D－AE－B为60°，则四棱锥D－ABCE的体积是(　　)

图K40－1

A.  B.

C.  D.

10．结论“过一点作一个平面的垂线只能作一条”是________的(填“正确”或“错误”)．

11．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，一个对角面的面积是一个侧面面积的倍，则侧面与底面所成锐二面角等于________．

12．[2011·全国卷] 已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．

13．已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；

②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；

③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积不变；

④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．

14．(10分)[2012·长郡中学月考] 如图K40－2，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形．PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点．

(1)求证：PA∥平面BFD；

(2)求二面角C－BF－D的正切值的大小．

图K40－2

15．(13分)[2011·朝阳一模]  如图K40－3，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.

(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；

(3)求二面角A－PD－C的余弦值．

图K40－3

16．(12分)如图K40－4，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，折起后∠AEF＝θ.

(1)求证：面AEF⊥面BCD；

(2)cosθ为何值时，AB⊥CD.

图K40－4

课时作业(四十)

【基础热身】

1．B　[解析] l⊥α，α∥β⇒l⊥β，又m⊂β，故l⊥m.反之当l⊥m时，α，β的位置不确定．故选B.

2．D　[解析] 命题①中两条直线可能平行，故得不到两个平面互相平行的结论，命题①为假命题；根据两个平面垂直的判定定理，命题②是真命题；命题③是平面几何里面成立的一个命题，但在空间不成立，如在正方体ABCD－A1B1C1D1，AB⊥AD，DD1⊥AD，但AB，DD1并不平行，故命题③为假命题；命题④中，两平面垂直，如果一个平面内的直线垂直于另一个平面，则这条直线一定和交线垂直，故在一个平面内与交线不垂直的直线一定不会与另一个平面垂直，命题④为真命题．

3．D　[解析] 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．正确选项D.

4．C　[解析] 如图，E为BC中点，设三棱柱的棱长为2，则DE＝1，AE＝，则tan∠ADE＝，故所求的角是60°.

【能力提升】

5．D　[解析] 选项A中，当直线m，n都不在平面α，β内时，根据m∥α，n∥β，α∥β可以推证m，n都平行于平面α，β，但平行于同一个平面的两条直线不一定平行；选项B中，根据n⊥β，α⊥β可以推证n⊂α或者n∥α，同样平行于同一个平面的两条直线不一定平行；选项C中，同选项B；选项D中，根据m⊥α，α⊥β可以推证m⊂β或者m∥β，而n⊥β，故m⊥n.正确选项为D.

6．B　[解析] ∴AB＝2，AD＝2，BD＝2，AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，同理AD⊥DC，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD.如图，取BC的中点E，连接AE，DE，根据二面角的平面角的定义，∠AED即为所求二面角的平面角，各个线段的长度如图，则∠AED＝45°.

7．C　[解析]  ∵α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，则平面ABC⊥β，在平面β内过D作DE⊥BC，则DE⊥平面ABC，DE即为D到平面ABC的距离，在△DBC中，运用等面积法得DE＝，故选C.

8．B　[解析] 由于直线l与平面α斜交，故不是过直线l的任意平面都和平面α垂直，选项A中的结论不正确；只要过直线l上一点作平面α的垂线m，则直线l，m确定的平面β即与平面α垂直，故选项B中的结论是正确的；由于直线l与平面α存在公共点，故经过直线l的任意平面β都与平面α存在公共点，此时平面α，β不可能平行，故选项C、D中的两个结论都不可能成立．正确选项为B.

9．A　[解析] 在平面图形中，Rt△ADE斜边上的高是，故折起后棱锥的高是sin60°＝，棱锥的底面积是9，故其体积是×9×＝.

10．正确　[解析] 理由是如果能够作两条，则根据直线与平面垂直的性质定理，这两条直线平行，但根据已知这两条直线又相交，这是不可能的．

11.　[解析] 如图，根据＝，得＝，即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值，故侧面与底面所成的锐二面角为.

12.　[解析] 法一：在平面BC1内延长FE与CB的延长线相交于G，连接AG，过B作BH垂直于AG于H，连接EH，则EH⊥AG，故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角．设正方体的棱长为a，可得BE＝，BG＝a，所以BH＝a，则tan∠BHE＝＝＝.

法二：设正方体的边长为3，建立以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴的空间直角坐标系，则A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，则＝(3,0,1)，＝(0,3，－1)，设平面AFE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，即3x＋z＝0且3y－z＝0，取z＝3，则x＝－1，y＝1，所以n＝(－1,1,3)，又平面ABC的法向量为m＝(0,0,3)，所以面AEF与面ABC所成的二面角的余弦值为cosθ＝＝，∴sinθ＝＝，所以tanθ＝.

13．②③④　[解析] 如图，三棱锥A1－ABC的四个面均为直角三角形，故命题①不正确．GF⊥DE，AF⊥DE，得DE⊥平面AFG.又∵AP⊂平面AFG，故AP⊥DE，命题②正确．由于BC1∥AD1，可得BC1∥平面ACD1，即点Q到平面ACD1的距离与其位置无关，故三棱锥Q－ACD1的体积不变，即三棱锥A－D1QC的体积不变，命题③正确．空间到两个点的距离相等的点的轨迹是这两点所在线段的中垂面，这个平面和上底面的交线即为所求的轨迹，这个轨迹是线段．命题④正确．

14．[解答] (1)证明：连接AC，BD与AC交于点O，连接OF.

∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点．

∵点F为PC的中点，∴OF∥PA.

∵OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，

∴PA∥平面BDF.

(2)∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC.

∵OF∥PA，∴OF⊥AC.∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD.

∵OF∩BD＝O，∴AC⊥平面BDF.

作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，

∠CHO为二面角C－BF－D的平面角．

∵PA＝AD＝AC，

∴OF＝PA，BO＝PA，BF＝＝PA.

在Rt△FOB中，OH＝＝PA，

tan∠OHC＝＝＝.

∴二面角C－BF－D的正切值大小为.

15．[解答] (1)证明：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.

而CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD.

在底面ABCD中，因为∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD，

所以AC＝CD＝AD，所以AC⊥CD.

又因为PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.

(2)在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，

证明如下：设PD的中点是F，

连接BE，EF，FC，

则EF∥AD，且EF＝AD.

又BC∥AD，BC＝AD，

所以BC∥EF，且BC＝EF，

所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF.

因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，

所以BE∥平面PCD.

(3)设G为AD中点，连接CG，

则CG⊥AD.

又因为平面ABCD⊥平面PAD，

所以CG⊥平面PAD.

过G作GH⊥PD于H，

连接CH，由三垂线定理可知CH⊥PD.

所以∠GHC是二面角A－PD－C的平面角．

设AD＝2，则PA＝AB＝CG＝DG＝1，DP＝.

在△PAD中，＝，所以GH＝.

所以tan∠GHC＝＝，cos∠GHC＝.

即二面角A－PD－C的余弦值为.

【难点突破】

16．[解答] (1)证明：在Rt△ABC中，∠C＝30°，D为AC的中点，则△ABD是等边三角形，

又E是BD的中点，故BD⊥AE，BD⊥EF，折起后，AE∩EF＝E，∴BD⊥面AEF，

∵BD⊂面BCD，∴面AEF⊥面BCD.

(2)过A作AP⊥面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD的延长线相交于Q.

令AB＝1，则△ABD是边长为1的等边三角形，

若AB⊥CD，又AP⊥CD，故CD⊥平面ABP，则BQ⊥CD.在Rt△CBQ中，由于∠C＝30°，故∠CBQ＝60°.又∠CBD＝30°，故∠EBP＝30°.在Rt△EBP中，PE＝BEtan30°＝×＝，

又AE＝，故cos∠AEP＝＝，

故cosθ＝cos(π－∠AEP)＝－，

故当cosθ＝－时，AB⊥CD.