高中数学人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试练习

这是一份高中数学人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分  专题一  第2讲  函数的图象及其性质 (限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．y＝sinx            B．y＝－x2C．y＝xlg2            D．y＝－x3解析：根据基本初等函数的图象，可以判断y＝xlg2在(0，＋∞)上单调递增，且是奇函数．答案：C2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(　　)A．log2x           B.           C．        D．x2解析：由题意f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，∴a＝loga＝，∴f(x)＝.答案：C3．函数y＝的定义域是(　　)A．{x|0<x<2}B．{x|0<x<1或1<x<2}C．{x|0<x≤2}D．{x|0<x<1或1<x≤2}解析：要使函数有意义只需要 解得0<x<1或1<x≤2，∴定义域为{x|0<x<1或1<x≤2}．答案：D4．函数y＝的图象大致是(　　)解析：由已知，函数的定义域为{x|x≠0}，令y＝f(x)，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A、B，又f(1)＝f(－1)＝0，∴选D.答案：D5．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则使不等式f(2x－1)≤f(x－2)成立的实数x的取值范围是(　　)A．[－1,1]                  B．(－∞，1]C．[0,1]                    D．[－1，＋∞)解析：由f(x)在R上为偶函数得f(2x－1)＝f(|2x－1|)，f(x－2)＝f(|x－2|)，所以原不等式等价于f(|2x－1|)≤f(|x－2|)．又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以|2x－1|≤|x－2|，解得－1≤x≤1.答案：A6．设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为(　　)A．①②             B．②③         C．③④         D．①④解析：①中F(x)＝f(x)f(－x)，则F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数；②中F(x)＝f(x)|f(－x)|，F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此时F(x)与F(－x)的关系不能确定，即函数F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确定；③中F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函数F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数；④中F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数．答案：D二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．设函数f(x)＝ax＋2，且y＝f－1(x)的图象过点(－2,1)，则f－1(a)＝________.解析：由于y＝f－1(x)的图象过点(－2,1)，则(1，－2)在函数f(x)＝ax＋2的图象上，因此a＋2＝－2，a＝－4.根据反函数知识令－4x＋2＝－4，可得x＝，因此f－1(－4)＝.答案：8．(精选考题·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.答案：－19．对于定义在R上的函数f(x)，有下述三个命题：①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；②若对于任意的x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数．其中正确命题的序号为______．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：y＝f(x－1)图象是由y＝f(x)向右平移1个单位得到．∵f(x)是奇函数，图象关于(0,0)对称，因此y＝f(x－1)关于(1,0)对称，故①正确；对于②，对任意x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，可知2是f(x)的一个周期，故②错；∵y＝f(x－1)图象是由y＝f(x)图象向右平移1个单位得到的，y＝f(x－1)图象关于直线x＝1对称，则y＝f(x)关于y轴对称．∴f(x)为偶函数，故③正确．答案：①③三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解：(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点B′(x′，y′)，则，∴.∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2，∴2－y＝－x－＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.(2)g(x)＝x2＋ax＋1，∵g(x)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4，∴a的取值范围为(－∞，－4]．11．(本小题满分15分)设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，∴y＝－2(x－3)2＋4，即y＝－2x2＋12x－14.设x<－2，则－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.∴函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)函数f(x)的值域为(－∞，4]．12．(本小题满分16分)如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f()＝f(x)－f(y)；(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．解：(1)证明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)，∴f()＝f(x)－f(y)．(2)∵f(3)＝1，f(a)>f(a－1)＋2，∴f(a)－f(a－1)>2.∴f()>2＝f(3)＋f(3)＝f(9)．∵f(x)是增函数，∴>9.又a>0，a－1>0，∴1<a<.∴a的取值范围是1<a<.1．函数y＝的定义域为(　　)A．(－4，－1)　　　　　　　　B．(－4,1)C．(－1,1)                    D．(－1,1]解析：定义域⇒－1＜x＜1.答案：C2．已知函数y＝2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图象是图中的(　　)解析：f－1(x)＝log2x，f－1(1－x)＝log2(1－x)．f－1(1－x)的定义域是(－∞，1)，排除A、B、D.答案：C3．已知f(x)是周期为3的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝lgx.设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　)A．a<b<c       B．b<a<cC．c<b<a       D．c<a<b解析：a＝f()＝f(－)＝－f()，b＝f()＝f(－)＝－f()，c＝f()＝f()<0，∴c<a<b.答案：D4．若函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，那么g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)解析：对任意x，f(－x)＋f(x)＝0，即ka－x－ax＋kax－a－x＝0，∴(k－1)(a－x＋ax)＝0.∵a－x＋ax≠0，∴k＝1.∴f(x)＝ax－a－x，g(x)＝loga(x＋1)．∵f(x)＝ax－a－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故a>1，∴g(x)＝loga(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．答案：C5．已知f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.解析：依题意：当x>0时，由f(x)＝2可得1＋2lgx＝2，∴x＝；当x≤0时，由f(x)＝2可得x2－x＝2，∴x＝－1或x＝2(舍)，∴x＝或x＝－1.答案：－1或6．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.(1)求a、b、c的值；(2)试判断函数f(x)在(0，)上的单调性并说明理由；(3)试求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值．解：(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0.由f(1)＝，f(2)＝，得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝.∴a＝2，b＝，c＝0.(2)由(1)知，f(x)＝2x＋，∴f′(x)＝2－.当x∈(0，)时，0<2x2<，则>2.∴f′(x)<0.∴函数f(x)在(0，)上为减函数．(3)由f′(x)＝2－＝0，x>0，得x＝.∵当x>时，<2，∴f′(x)>0，即函数f(x)在(，＋∞)上为增函数．又由(2)知x＝处是函数的最小值点，即函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f()＝2.