数学必修24.1 圆的方程学案

4.1.1　圆的标准方程

【教学目标】

１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．

２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

【教学重难点】

教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

【教学过程】

（一）情景导入、展示目标

前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．

2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

（二）检查预习、交流展示

求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

（三）合作探究、精讲精练

探究一：如何建立圆的标准方程呢？

1．建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得： (x-a)+(y-b) =r　　　　　　　　(1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x+y=r．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

例1　 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)

(1)圆心在原点，半径是3；

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

解：(1)x+y=9；(2)(x-3)+(y-4)=5；

点评： 圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．

变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)

(1)(x-3)+(y-2)=5；　　　(2)(x+4)+(y+3)=7；　　　(3)(x+2)+ y=4

答案：(1) 圆心是(3,2),半径是；(2) 圆心是(－４,－３),半径是；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．

例２　 (1)已知两点P(4，9)和P2(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．

解：(1) 解法一：(学生口答)

设圆心C(a，b)、半径r，则由C为PP的中点得：

又由两点间的距离公式得：

∴所求圆的方程为：(x-5)+(y-6)=10

解法二：(给出板书)

∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP⊥PP．

化简得：x+y-10x-12y+51=0．

即(x-5)+(y-6)=10为所求圆的方程．

解(2)：(学生阅读课本)

分别计算点到圆心的距离：

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．

点评：1．求圆的方程的方法

(1)待定系数法，确定a，b，r；

(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．

2．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上 d=r；

(2)点在圆外 d＞r；

(3)点在圆内 d＜r．

变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．

证明：略．

（四）反馈测试

导学案当堂检测

　　（五）总结反思、共同提高

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．

【板书设计】

探究一：圆的标准方程

1．建系设点

2．写点集

3．列方程

4．化简方程

探究二：圆的方程形式特点

例1　

变式训练１

例２　

变式训练２

课堂小结

【作业布置】

导学案课后练习与提高

学校--临清实高 学科--数学 编写人—刘肖 审稿人--周静

4.１.1　圆的标准方程

课前预习学案

一．预习目标

回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．

二．预习内容

1：圆的定义是怎样的？

2：圆的特点是什么？

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

    一．学习目标

１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．

２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

二．学习过程

探究一：如何建立圆的标准方程呢？

1．建系设点

2．写点集

3．列方程

4．化简方程

探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

例1　 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)

(1)圆心在原点，半径是3；

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)

(1)(x-3) +(y-2)=5；

(2)(x+4)+(y+3) =7；

(3)(x+2)+ y=4

例２　 (1)已知两点P(4，9)和P(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．

三．反思总结

四．当堂检测

１．圆(x＋1)2+(y－2)2=4的圆心、半径是  （     ）

A．(1,－2),4            B．(1,－2),2         C．(－1,2),4           D．(－1,2),2

２．过点A(4,1)的圆C与直线相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为                .

3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．

参考答案:１．Ｄ　　２．　　

课后练习与提高

１．圆的周长是（　　　）

Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．２　　　Ｄ．　

２．点Ｐ（）与圆的位置关系是(      )

Ａ．在圆外　　　　Ｂ．在圆内　　　　Ｃ．在圆上　　　　Ｄ．不确定

３．已知圆Ｃ与圆关于直线对称，则圆Ｃ的方程为（　　　）

Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　

Ｃ．　　　　　　　Ｄ．

４．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为                      ．

５.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是       　　　．

６．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．

参考答案：

1．Ｃ　　２．Ａ　　３．Ｃ　　４．　　５．

６ ．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：

x+(y+27.88)=27.882(-7.2≤y≤0)