高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计
展开第二课时 平面与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
教学过程 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
新课导入 | 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ | 学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？ | 复习巩固，以旧导新 |
探索新知 | 一、二面角 1．二面角 （1）半平面 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面. （2）二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （3）二面角的求法与画法 棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角. 有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P – AB – Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P – l – Q. 2．二面角的平面角 如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. （2）二面角的平面角的大小与O点位置无关. （3）二面角的平面角的范围是[0，180°] （4）平面角为直角的二面角叫做直二面角. | 教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）. 师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？ 生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等. 师：改变O的位置，这个角的大小变不变. 生：由等角定理知不变. | 通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.
通过实验，培养学生学习兴趣和探 索意识，加深对知识的理解与掌握. |
探索新知 | 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义，记法与画法. 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥. 2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. | 学生自学，教师点拔一下注意事项. 师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即，请同学给出面面垂直的判定定理. | 培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力. |
典例分析 | 例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明：设⊙O所在平面为，由已知条件， PA⊥，BC在内， 所以PA⊥BC. 因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径， 所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC. 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线. 所以BC⊥平面PAC. 又因为BC在平面PBC内， 所以，平面PAC⊥平面PBC. | 师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A – PC – B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找 (作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？ 学生分析，教师板书 | 巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力. |
随堂练习 | 1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S – EFG中必有（ A ） A．SG⊥EFG所在平面 B．SD⊥EFG所在平面 C．GF⊥SEF所在平面 D．GD⊥SEF所在平面 2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ 答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD 面ACD⊥面ABC. | 学生独立完成 | 巩固知识 提升能力 |
归纳总结 | 1．二面角的定义画法与记法. 2．二面角的平面角定义与范围. 3．面面垂直的判定方法. 4．转化思想. | 学生总结、教师补充完善 | 回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力 |
课后作业 | 2.3 第二课时 习案 | 学生独立完成 | 固化知识 提升能力 |
备选例题
例1 如图，平面角为锐角的二面角，A∈EF，，∠GAE = 45°若AG与所成角为30°，求二面角的平面角.
【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与所成的角(过G到的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.
【解析】作GH⊥于H，作HB⊥EF于B，连结GB，
则CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.
又∠GAH是AG与所成的角，
设AG = a，则，.
所以∠GBH = 45°
反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.
例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．
【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需
要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD ”与需证结论
“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．
【证明】连结AC、BD，交点为F，连结EF，
∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．
又EF平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键．
例3 如图，四棱锥P – ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【分析】由△PAD ≌ △PCD，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．作AE⊥DP,垂足为E，连接EC，则△ADE ≌△CDE．
∴AE = CE，∠CED = 90°．故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．设AC与BD相交于点O．连接EO，则EO⊥AC．
∴，
在△AEC中，
=，
∴∠AEC ＞ 90°．
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．
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