人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计

2.3.4 平面与平面垂直的性质

【教学目标】

（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；

（2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.

（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.

【教学重难点】

重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。

难点：运用性质定理解决实际问题。

【教学过程】

 (一) 复习提问

1.线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.

2.面面垂直判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

(二)引入新课

已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！

（三）探求新知

已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，

求证：AB⊥β

(让学生思考怎样证明)

分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.

 证明：在平面β内过B作BE⊥a，

又∵AB⊥a，

∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，

又∵α⊥β，

∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 

   又∵AB⊥a,  BE∩a = B,

∴AB⊥β

面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

（用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β=a, ABα, AB⊥a于 B，则 AB⊥β

师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面

我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。

（四）拓展应用

例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.

例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,

试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)

分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)

解：在α内作垂直于α 、β交线AB的直线b，

∵ α⊥β   ∴b⊥β  

∵ a⊥β    ∴ a ∥b ,  

又∵aα   ∴ a ∥α

课堂练习：

练习     第1、2题

  A组      第1题

（四）当堂检测

1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。

(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD  (2) DD′⊥ 面ABCD  (3)AD′⊥ 面ABCD   

2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由

参考答案

2解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，

连结AE，则AE为BD的中线

∴AE⊥BD  

又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD

∴AE⊥面BCD

（五）课堂小结  

1. 面面垂直判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

2. 面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

② 利用性质定理解决问题

【板书设计】

一、平面与平面垂直的性质定理

二、三种形式表达

三、性质定理的应用

【作业布置】课后练习与提高

2.3.4 平面与平面垂直的性质

课前预习导学案

一、预习目标

（1）               明确平面与平面垂直的判定定理。

（2）              直线与平面垂直的性质定理

二、  预习内容

1、平面与平面垂直的判定定理

2、直线与平面垂直的性质定理

3、思考题：

（1）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

（2）在长方体中，平面与平面垂直，直线垂直于其交线。平面内的直线与平面垂直吗？

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标

（1）探究平面与平面垂直的性质定理

（2）应用平面与平面垂直的性质定理解决问题

学习重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。

学习难点：运用性质定理解决实际问题。

二、学习过程

探究一

已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，

求证：AB⊥β

(让学生思考怎样证明，小组间可以相互讨论)

由证明结果的平面与平面垂直的性质定理（三种形式的表达）

探究二、性质的应用

例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.

证明（略）

变式 练习     第1题

例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,

试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)

解：（略）

变式 练习      2题（略）

A组      第1题（略）

当堂检测

1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。

(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD  (2) DD′⊥ 面ABCD  (3)AD′⊥ 面ABCD   

2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由

课后练习与提高

1．已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有                                                   （     ）

5对       6对       7对        8对

2．平面⊥平面，=，点，点，那么是的（     ）

充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件

3．若三个平面，之间有，，则与                      （     ）

垂直       平行      相交        以上三种可能都有

4．已知，是两个平面，直线，，设（1），（2），（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是             (      )

0         1          2          3

5．在四棱锥中，底面，

底面各边都相等，是上的一动点，

当点满足__________时，平面平面。

6．三棱锥中，，点为中点，于点，连，求证：平面平面

参考答案:1B  2C   3D   4C   5中点   6略