《函数概念具有“八性”》文字素材7（人教A版必修1）教案

函数概念具有“八性”

众所周知，函数是高中数学的重要内容之一，是中学数学的主线，它贯穿于各个单元，函数的基础知识在数学和其它各学科有着广泛的应用.是进一步学习数学的重要基础.函数概念从侧面反映和刻划了客观世界中各种事物的动态变化和相互依存关系，它的产生和发展经历了漫长的历史过程，是从特殊到一般，从具体到抽象，逐步精确化的.因此必须正确理解“函数”概念，主要从下面几个方面考虑.

一、函数子概念的复杂性

函数涉及较多的子概念：对应、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、对应法则，等.其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性.如果将“变量”解释为“变化的量”，显然这是同义反复，于准确理解“变量”的意义并没有帮助.实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的.

二、函数变量的辩证性

数学中的“变量”与日常生活经验有差异.从日常经验看，“变量”不可能与“确定”联系在一起，而且变量的形式表示之间没有可替代性（例如，“牛吃草”中的变量“牛”与“学生吃饭”中的变量“学生”是不可替代的）.但数学中的“变量”具有形式的可替代性，即y＝f(x)与y＝f(t)并没有本质上的不同，而且它既有可变性又有确定性，它可以很好地反映静止与变化、量变与质变、内容与形式等的辩证关系，因此，变量概念的形成是辩证法在数学中运用的典范.

三、函数概念表示方式的多样性

函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来.与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难.

四、函数符号的抽象性

y＝f(x)表示了一种特殊的对应关系，其中每一个字母都有特定的含义.但这种含义仅从字面上是看不出的.我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容，也不能通过x（或y）来想象定义域（或值域）到底是什么.

五、函数概念的方向性：

函数是有方向的，从集合A到集合B的函数与从集合B到集合A的函数往往不是同一个函数.如设A＝{1，2，3，4}，B＝{3，5，7，9}，则从A到B的函数是y＝f(x)＝2x＋1，而从B到A的函数是y＝g(x)＝表示，这是两个不相同的函数.

六、函数变量的存在性

对于函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中变量的存在性是指集合A的任意一个元素x在集合B中都有元素和它对应.但是集合B中的元素在集合A中，不一定有元素与它对应.

七、函数变量的唯一性

对于函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中变量的唯一性是指说集合A的任意一元素在集合B中都有唯一的元素和它对应.但是集合B中的元素在集合A中有元素与它对应的条件下，其对应元素也不一定唯一，如函数f(x)＝x2(x∈R).

八、函数变量的封闭性

对于函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中变量的闭性是指素的元素在对应法则f的作用下，得出的一个新的元素都必须是B中的元素，无一例外.