数学 1.3《函数的基本性质》学案（新人教A版必修1）

【学习目标】

1. 建立增（减）函数的概念,通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义.

2.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

【学习重点】

函数的单调性及其几何意义．

【学习难点】

对单调性的理解

【自主质疑】

一、创设情景，揭示课题

1．  观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

随x的增大，y的值有什么变化？

 能否看出函数的最大、最小值？

 函数图象是否具有某种对称性？

画出下列函数的图象，观察其变化规律：     

（1）f(x) = x

  从左至右图象上升还是下降 ______?

  在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x) = -x+2

  从左至右图象上升还是下降 ______?

  在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x2

 在区间 ____________ 上，

f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

  在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

3、从上面的观察分析，能得出什么结论？(AB)

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变

化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性

【精讲点拨】

1.增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

2.类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

注意：

 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．

3．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

例1.下图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。

例2．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

【知识梳理】

函数单调性的证明：

a.设x1、x2∈给定区间，且x1<x2；

b.计算f(x1)- f(x2)至最简；

c.判断上述差的符号；

函数的最大（小）值

【学习目标】

理解函数的最大（小）值及其几何意义．

学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

【学习重点】

函数的最大（小）值及其几何意义

【学习难点】

利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

【自主质疑】

（一）创设情景，揭示课题．

画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①               ②

③           ④

（二）研探新知

1．函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的，都有；

    （2）存在，使得．

那么，称M是函数的最大值．

思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．

2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．

①配方法     ②换元法     ③数形结合法

【精讲点拨】

（三）质疑答辩，排难解惑．

例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解（略）

例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

例3．求函数在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

例4．求函数的最大值．

【巩固拓展训练】

（1）P38练习4

（2）求函数的最大值和最小值．

（3）如图，把截面半径为25cm的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

1.3.2  函数的奇偶性

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3.学会判断函数的奇偶性。

【学习重点】

函数的奇偶性及其几何意义

【学习难点】

判断函数的奇偶性的方法与格式

【自主质疑】

一、创设情景，揭示课题

    “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？

    观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

                               －1                      0     

 通过讨论归纳：各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？

归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

【合作探究】

函数的奇偶性定义：

1．偶函数

一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

2．奇函数

一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

【精讲点拨】

    例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）

（2）

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）    （2）   （3）   （4）

【知识梳理】

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定；

③作出相应结论：

若；

若．

【巩固拓展训练】

1．书面作业：课本P46习题A组1．3．题 

2．设＞0时，

试问：当＜0时，的表达式是什么？

函数的基本性质要点精讲（两课时）

1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

 确定f(－x)与f(x)的关系；

 作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

2．单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

 作差f(x1)－f(x2)；

 变形（通常是因式分解和配方）；

 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

    ③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；

减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；

减函数增函数是减函数。

3．最值

（1）定义：

最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

注意：

 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

 利用图象求函数的最大（小）值；

 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

四．典例解析

题型一：判断函数的奇偶性

例2．(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。

必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）

题型二：奇偶性的应用

例3．（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____   _。

例4．已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。

题型三：判断证明函数的单调性

例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。

例7．（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。

例11．（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。

（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。

五．思维总结

1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)= f(x)f(x) f(x)=0；

2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。

3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，

4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

5．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。