《函数的基本性质》教案14（人教A版必修1）

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1.3.1  单调性与最大（小）值（第一课时）教学目标：1．使学生理解增函数、减函数的概念；2．使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3．培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4．培养学生数形结合、辩证思维的能力；5．养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯．教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明教学方法：讲授法 教学过程：（I）复习回顾1．函数有哪几个要素？2．函数的定义域怎样确定？怎样表示？3．函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4．区间的表示方法．前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）． （II）讲授新课1．引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加．问题2：怎样用数学语言表示呢？设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1)， y2=f(x2)．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)．结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数．（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2．定义：（投影2）一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)< f(x2)．那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）．如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)．那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)．如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1，x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念． （III）例题分析例1．如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数（课本P32例1）．解：函数的单调区间有，其中在区间，上是减函数，在区间上是增函数． 注意：1 单调区间的书写      2 各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？问题3：y=f(x)在区间，上是减函数；在区间，上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2，x=-1，x=3处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调．因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）．说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法．严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．例2．证明函数在R上是增函数．证明：设是R上的任意两个实数，且，则，所以，在R上是增函数．分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a．设x1、x2∈给定区间，且x1<x2；b．计算f(x1)- f(x2)至最简；c．判断上述差的符号；d．下结论．例3．证明函数在上是减函数．证明：设是上的任意两个实数，且，则由，得，且于是所以，在上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤：（1） 取值（2） 计算、（3） 对比符号（4） 结论 （IV）课堂练习   课本P33 “探究题”和P36练习1—3 注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法． （V）课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明． （VI）课后作业1、书面作业：课本P43习题1.3A组题1、2、3题．2、预习作业：（1）       预习内容：函数的最大值与最小值（P33—P36）；（2）       预习提纲：a．函数最大值与最小值的含义是什么？b．函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？