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2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷，共19页。
2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）2022年北京冬奥会己顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+1＝x（x）
4．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）
5．（3分）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝3a﹣2b，例如，4*5＝3×4﹣2×5．若实数m满足m*2＜1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．10cm C．13cm D．16cm
7．（3分）如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（ ）米．（小路的宽度忽略不计）
A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
8．（3分）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
9．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A．5＜m≤6 B．4＜m≤5 C．5≤m＜6 D．4≤m＜5
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．3
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ．
12．（3分）若a＞b，则﹣2a ﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空）
13．（3分）如果（m+1）x|m|＞2是一元一次不等式，则m＝ ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
（2）因式分解：2a2x2+4a2xy+2a2y2．
17．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
18．（8分）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组关联方程是 （填序号）．
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 （写出一个即可）．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，2），C（﹣3，4）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△ABC平移，使点B移动到点B1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
20．（10分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G．
（1）求证：AE＝AF．
（2）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．
21．（10分）直线y1＝﹣x+3和直线y2＝kx﹣2分别交y轴于点A，B，两直线交于点C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
22．（10分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？
23．（12分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）2022年北京冬奥会己顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
【解答】A、等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等．故此选项是真命题；
B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题；
C、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，故此选项是真命题；
D、等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，故此选项是假命题．
故选：D．
3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+1＝x（x）
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）
【解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0），
故选：A．
5．（3分）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝3a﹣2b，例如，4*5＝3×4﹣2×5．若实数m满足m*2＜1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：3m﹣4＜1，
移项得：3m＜5，
解得：m．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．10cm C．13cm D．16cm
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为10cm，
∴AB+BD+AD＝10cm，
∴AB+BD+CD＝10cm，即AB+BC＝10cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16cm，
故选：D．
7．（3分）如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（ ）米．（小路的宽度忽略不计）
A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
【解答】解：由平移的性质可知，由于小路的宽度忽略不计，因此说行走的路程为AD+AB+BC＝25+50+25＝100（米），
故选：C．
8．（3分）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【解答】解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，
∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，
∴PC＝PD＝2，
∵OE＝4，
∴S△OPEOE•PC．
故选：C．
9．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A．5＜m≤6 B．4＜m≤5 C．5≤m＜6 D．4≤m＜5
【解答】解：不等式组整理得：，即2＜x＜m，
所以不等式组的整数解有2个整数解为3，4，
则m的范围为4＜m≤5．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．3
【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，AE⊥BC，
∴CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，
∴AE6，
∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，
∴AC＝AC1，
∵AD平分∠CAC1，
∴∠CAD＝∠C1AD，
在△ACD和△AC1D中，
，
∴△ACD≌△AC1D（SAS），
∴∠C＝∠C1，
∵DC1∥AB，
∴∠C1＝∠HAB，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB＝10，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
∴AD2，
∵S△ABDBD×AEAD×BF，
∴10×6＝2BF，
∴BF＝3，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ∠B≥90° ．
【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
12．（3分）若a＞b，则﹣2a ＜ ﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空）
【解答】解：a＞b两边同时乘以﹣2得，
﹣2a＜﹣2b．
故答案为：＜．
13．（3分）如果（m+1）x|m|＞2是一元一次不等式，则m＝ 1 ．
【解答】解：∵（m+1）x|m|＞2是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|＝1，
解得：m＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为 2 ．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，CD，
∴BC＝1，
∴BD＝2BC＝2，
∴AD＝BD＝2．
故答案为：2．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 4 ．
【解答】解：将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到Rt△EBD，
则此时E，C，B三点在同一直线上，
∵∠ABC＝60°，∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠EBQ，
随着P点运动，总有AE＝EB，PB＝QB，
∴总有△APB≌△EQB（SAS），即E，Q，D三点在同一直线上，
∴Q的运动轨迹为线段ED，
∴当CQ⊥ED时，CQ的长度最小，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，
∴BC＝BD＝8，EC＝8，即C为EB的中点，
∵CQ⊥ED，∠D＝90°，
∴CQ∥BD，CQ为△EBD的中位线，
∴CQBD＝4，
故答案为：4．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
（2）因式分解：2a2x2+4a2xy+2a2y2．
【解答】解：（1），
解①，得x≤4．
解②，得x＞3．
∴不等式组的解集为：3＜x≤4．
解集表示在数轴上为：
（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2
＝2a2（x2+2xy+y2）
＝2a2（x+y）2．
17．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴MN＝MO+ON＝BM+CN．
18．（8分）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组关联方程是 ③ （填序号）．
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 x﹣1＝0（答案不唯一，只要解为x＝1即可） （写出一个即可）．
【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0得：x，
解方程x+1＝0得：x
解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，
解不等式组得：x，
所以不等式组的关联方程是③，
故答案为：③；
（2）解不等式组得：x，
∴不等式组的整数解是1，
这个不等式组的一个关联方程可以是x﹣1＝0，
故答案为：x﹣1＝0（答案不唯一，只要解为x＝1即可）．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，2），C（﹣3，4）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△ABC平移，使点B移动到点B1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2，B2，C2的坐标分别为（4，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣4）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是成中心对称图形，
如图，对称中心T的坐标为（3，）．
20．（10分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G．
（1）求证：AE＝AF．
（2）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF；
（2）解：AD⊥EF，
理由如下：∵DE＝DF，AE＝AF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF．
21．（10分）直线y1＝﹣x+3和直线y2＝kx﹣2分别交y轴于点A，B，两直线交于点C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）把C（2，m）代入y1＝﹣x+3得m＝﹣2+3＝1，
所以C点坐标为（2，1），
把C（2，1）代入y2＝kx﹣2得2k﹣2＝1，解得k．
综上所述，m＝1，k．
（2）当x＝0时，y＝﹣0+3＝3，则A（0，3）；
当x＝0时，y20﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），
所以△ABC的面积（3+2）×2＝5；
（3）如图所示，当x＜2时，y1＞y2．
22．（10分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？
【解答】解：（1）设公司购买x辆轿车，则购买（10﹣x）辆面包车，
依题意，得：，
解得：3≤x≤5，
又∵x为正整数，
∴x可以取3，4，5，
∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买3辆轿车，7辆面包车；方案2：购买4辆轿车，6辆面包车；方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
（2）依题意，得：250x+150（10﹣x）≥2000，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤5，
∴x＝5，
∴公司应该选择购买方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
23．（12分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 BQ＝PC ；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
【解答】解：【发现问题】由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP，
故答案为：BQ＝PC；
【探究猜想】结论：BQ＝PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP；
【拓展应用】如图3，
在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠CAQ＝∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝4，
∵AE＝AC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2，
∴EFBE＝1，
故线段CQ长度最小值是1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/18 9:13:11；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.com；学号：21522783
2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）2022年北京冬奥会己顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+1＝x（x）
4．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）
5．（3分）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝3a﹣2b，例如，4*5＝3×4﹣2×5．若实数m满足m*2＜1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．10cm C．13cm D．16cm
7．（3分）如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（ ）米．（小路的宽度忽略不计）
A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
8．（3分）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
9．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A．5＜m≤6 B．4＜m≤5 C．5≤m＜6 D．4≤m＜5
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．3
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ．
12．（3分）若a＞b，则﹣2a ﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空）
13．（3分）如果（m+1）x|m|＞2是一元一次不等式，则m＝ ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
（2）因式分解：2a2x2+4a2xy+2a2y2．
17．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
18．（8分）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组关联方程是 （填序号）．
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 （写出一个即可）．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，2），C（﹣3，4）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△ABC平移，使点B移动到点B1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
20．（10分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G．
（1）求证：AE＝AF．
（2）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．
21．（10分）直线y1＝﹣x+3和直线y2＝kx﹣2分别交y轴于点A，B，两直线交于点C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
22．（10分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？
23．（12分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
2021-2022学年河南省郑州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）2022年北京冬奥会己顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
【解答】A、等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等．故此选项是真命题；
B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题；
C、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，故此选项是真命题；
D、等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，故此选项是假命题．
故选：D．
3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+1＝x（x）
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）
【解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0），
故选：A．
5．（3分）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝3a﹣2b，例如，4*5＝3×4﹣2×5．若实数m满足m*2＜1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：3m﹣4＜1，
移项得：3m＜5，
解得：m．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．10cm C．13cm D．16cm
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为10cm，
∴AB+BD+AD＝10cm，
∴AB+BD+CD＝10cm，即AB+BC＝10cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16cm，
故选：D．
7．（3分）如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（ ）米．（小路的宽度忽略不计）
A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
【解答】解：由平移的性质可知，由于小路的宽度忽略不计，因此说行走的路程为AD+AB+BC＝25+50+25＝100（米），
故选：C．
8．（3分）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【解答】解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，
∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，
∴PC＝PD＝2，
∵OE＝4，
∴S△OPEOE•PC．
故选：C．
9．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A．5＜m≤6 B．4＜m≤5 C．5≤m＜6 D．4≤m＜5
【解答】解：不等式组整理得：，即2＜x＜m，
所以不等式组的整数解有2个整数解为3，4，
则m的范围为4＜m≤5．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．3
【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，AE⊥BC，
∴CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，
∴AE6，
∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，
∴AC＝AC1，
∵AD平分∠CAC1，
∴∠CAD＝∠C1AD，
在△ACD和△AC1D中，
，
∴△ACD≌△AC1D（SAS），
∴∠C＝∠C1，
∵DC1∥AB，
∴∠C1＝∠HAB，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB＝10，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
∴AD2，
∵S△ABDBD×AEAD×BF，
∴10×6＝2BF，
∴BF＝3，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ∠B≥90° ．
【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
12．（3分）若a＞b，则﹣2a ＜ ﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空）
【解答】解：a＞b两边同时乘以﹣2得，
﹣2a＜﹣2b．
故答案为：＜．
13．（3分）如果（m+1）x|m|＞2是一元一次不等式，则m＝ 1 ．
【解答】解：∵（m+1）x|m|＞2是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|＝1，
解得：m＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为 2 ．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，CD，
∴BC＝1，
∴BD＝2BC＝2，
∴AD＝BD＝2．
故答案为：2．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 4 ．
【解答】解：将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到Rt△EBD，
则此时E，C，B三点在同一直线上，
∵∠ABC＝60°，∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠EBQ，
随着P点运动，总有AE＝EB，PB＝QB，
∴总有△APB≌△EQB（SAS），即E，Q，D三点在同一直线上，
∴Q的运动轨迹为线段ED，
∴当CQ⊥ED时，CQ的长度最小，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，
∴BC＝BD＝8，EC＝8，即C为EB的中点，
∵CQ⊥ED，∠D＝90°，
∴CQ∥BD，CQ为△EBD的中位线，
∴CQBD＝4，
故答案为：4．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
（2）因式分解：2a2x2+4a2xy+2a2y2．
【解答】解：（1），
解①，得x≤4．
解②，得x＞3．
∴不等式组的解集为：3＜x≤4．
解集表示在数轴上为：
（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2
＝2a2（x2+2xy+y2）
＝2a2（x+y）2．
17．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴MN＝MO+ON＝BM+CN．
18．（8分）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组关联方程是 ③ （填序号）．
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 x﹣1＝0（答案不唯一，只要解为x＝1即可） （写出一个即可）．
【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0得：x，
解方程x+1＝0得：x
解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，
解不等式组得：x，
所以不等式组的关联方程是③，
故答案为：③；
（2）解不等式组得：x，
∴不等式组的整数解是1，
这个不等式组的一个关联方程可以是x﹣1＝0，
故答案为：x﹣1＝0（答案不唯一，只要解为x＝1即可）．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，2），C（﹣3，4）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△ABC平移，使点B移动到点B1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2，B2，C2的坐标分别为（4，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣4）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是成中心对称图形，
如图，对称中心T的坐标为（3，）．
20．（10分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G．
（1）求证：AE＝AF．
（2）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF；
（2）解：AD⊥EF，
理由如下：∵DE＝DF，AE＝AF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF．
21．（10分）直线y1＝﹣x+3和直线y2＝kx﹣2分别交y轴于点A，B，两直线交于点C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）把C（2，m）代入y1＝﹣x+3得m＝﹣2+3＝1，
所以C点坐标为（2，1），
把C（2，1）代入y2＝kx﹣2得2k﹣2＝1，解得k．
综上所述，m＝1，k．
（2）当x＝0时，y＝﹣0+3＝3，则A（0，3）；
当x＝0时，y20﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），
所以△ABC的面积（3+2）×2＝5；
（3）如图所示，当x＜2时，y1＞y2．
22．（10分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？
【解答】解：（1）设公司购买x辆轿车，则购买（10﹣x）辆面包车，
依题意，得：，
解得：3≤x≤5，
又∵x为正整数，
∴x可以取3，4，5，
∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买3辆轿车，7辆面包车；方案2：购买4辆轿车，6辆面包车；方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
（2）依题意，得：250x+150（10﹣x）≥2000，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤5，
∴x＝5，
∴公司应该选择购买方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
23．（12分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 BQ＝PC ；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
【解答】解：【发现问题】由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP，
故答案为：BQ＝PC；
【探究猜想】结论：BQ＝PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP；
【拓展应用】如图3，
在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠CAQ＝∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝4，
∵AE＝AC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2，
∴EFBE＝1，
故线段CQ长度最小值是1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/18 9:13:11；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.com；学号：21522783
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