高中3.3.1几何概型复习ppt课件

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3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点: (1)无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限 多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.4.几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位 置和形状无关.5.求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区 域和整个区域 的几何度量,然后代入公式即可求 解.
基础自测1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概 率为 ( ) B.0.5 C.0.6 解析 因为在［1,3］上任取一数是随机的,故这个 数大于1.5的概率
2.如图所示,边长为2的正方形中有 一封闭曲线围成的阴影区域,在正 方形中随机撒一粒豆子,它落在阴 影区域内的概率为 则阴影区域 的面积为 ( ) A. B. C. D.无法计算 解析 由几何概型知,
3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点 的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 此题可以看成向区间［0,5］内均匀投点,而 且点落入［0,3］内的概率设为A={某乘客候车时间 不超过3分钟}. 则P(A)=
4.如图所示,A是圆上固定的一点,在圆 上其它位置任取一点A′,连接AA′, 它是一条弦,它的长度大于等于半径 长度的概率为 ( ) A. B. C. D.
解析 如图所示,当AA′长度等于半径时,A′位于B或C点,此时∠BOC=120°,则优弧 ∴满足条件的概率为答案 B
5.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT落在30°角的终边上,任作一条 射线OA,则射线OA落在∠yOT内的 概率为_____. 解析 如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分 布的,则OA落在∠yOT内的概率为
题型一 与长度有关的几何概型【例1】有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段 不小于3米的概率有多大？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,基 本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等, 故是几何概型.
解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的 两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件,所以 从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.
知能迁移1 平面上有一组平行线,且相邻平行线间 的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在 这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故所求概率为
题型二 与面积(或体积)有关的几何概型【例2】街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正 方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正 方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5 角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？ 应用几何概型的概率计算公式P(A)= 即可解决此类问题.
解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm的正方形围成的区域内,所以概率为(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为 几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.
知能迁移2 在边长为2的正△ABC内任取一点P, 则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率 是_____. 解析 以A、B、C为圆心,以1为半 径作圆,与△ABC交出三个扇形, 当P落在其内时符合要求.
题型三 与角度有关的几何概型 【例3】在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射 线CM交线段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率. 如图所示,因为过一 点作射线是均匀的,因而应把在 ∠ACB内作射线CM看做是等可能 的,基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处,使 |AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关,这符合 几何概型的条件.
解 设事件D为“作射线CM,使|AM|>|AC|”. 在AB上取点C′使|AC′|=|AC|,因为△ACC′是等腰三角形,所以 几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测度”.因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度”,就是错误的,因为M在AB上的落点不是等可能的.
知能迁移3 在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心O 为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率. 解 如图所示,把圆弧AB三等分,则 ∠AOF=∠BOE=30°,记A为“在扇 形AOB内作一射线OC,使∠AOC和 ∠BOC都不小于30°”,要使∠AOC和∠BOC都不小 于30°,则OC就落在∠EOF内,
题型四 可化为几何概型的概率问题 【例4】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率. 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达 约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用 0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵 轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、 乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会 面的时间由|x-y|≤15所对应的图中阴影部分表示.
解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：所以,两人能会面的概率是
探究提高 (1)甲、乙两人都是在6~7时内的任意时 刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用 x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中正方形内的任一点.(2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.(3)本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积型几何概型的问题.
知能迁移4 已知函数f(x)=x2-2ax +b2,a,b∈R. (1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合 {0,1,2}中任取一个元素,求方程f(x)=0有两个不相 等实根的概率； (2)若a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中 任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率. 解 (1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合 {0,1,2}中任一个元素,
∴a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为12.设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为a>b.当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即A包含的基本事件数为6,∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构成区域 ={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形区域,其面积设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a