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高中数学3.3.1几何概型课文配套课件ppt
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这是一份高中数学3.3.1几何概型课文配套课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。
题型1 几何概型的理解
3.3.1+3.3.2 刷基础
1．下列关于几何概型的说法错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．
2．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．A．1 B．2 C．3 D．4
①不是几何概型，虽然区间[－10，10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10，10]和[－1，1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的机会是相等的，故满足无限性和等可能性．故选B.
题型2 与长度（角度）有关的几何模型
3．[北京丰台区2019高一期末]在区间[0，9]内随机取一个实数x，则x∈[0，3]的概率为( )A． B． C． D．
在区间[0，9]内随机取一个实数x，区间长度为9，且x∈[0，3]的区间长度为3，所以x∈[0，3]的概率为 ＝ .故选C
4．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A． B． C． D．
设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，8：20至8：30之间时，小明等车时间不超过10分钟，故P＝ ＝ .故选B.
5．已知A是圆心为O的圆周上的一定点，若在圆周上另取一点B，则∠AOB≤60°的概率为( )A． B． C． D．
由题意知所求概率P＝ ＝ ，故选C.
6．[黑龙江牡丹江2019高二期末]已知函数f(x)＝ －x－6，在区间[－6，4]内任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为( )A． B． C． D．
由f(x)≥0得(x－3)(x＋2)≥0，故x≥3或x≤－2.由－6≤x0≤4，得－6≤x0≤－2或3≤x0≤4，故使f(x0)≥0的概率P＝ ＝ .
7．[云南师范大学附属中学2019月考]小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的一个路口，红灯的时间为35秒，绿灯的时间为40秒．某天早上小明从家步行到学校，他在这个路口等待通过的时间不超过20秒的概率是( )A． B． C． D．
记“小明在这个路口等待通过的时间不超过20秒”为事件A，则P(A)＝ ＝ .故选D.
题型3 与面积有关的几何模型
8．某人向图中的靶子上射箭，假设每次射击都能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，则最容易射中阴影区的是( )
由题意，设图中每个等边三角形的面积为1，则正六边形的面积为6.选项A，阴影面积为2，射中阴影区的概率为 ；选项B，阴影面积为3，射中阴影区的概率为 ；选项C，阴影面积为2，射中阴影区的概率为 ；选项D，阴影面积为2.5，射中阴影区的概率为 .因为 所以最容易射中阴影区的是选项B.故选B.
9．[河南2019高一期末]如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3∶2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块．在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为( )
设大圆半径为3r，则小圆半径为2r，则整个圆形的面积S＝9πr2，白色部分的面积S白＝ ×4πr2＝2πr2.则所求概率 故选B.
10．[重庆巴蜀中学2019高二半期考]圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米(米的大小忽略不计)，那么该粒米落入正方形小孔内的概率为( )
设事件A为“该粒米落入正方形小孔内”．因为正方形小孔的面积为16平方毫米，铜钱加正方形小孔的面积为64π平方毫米，所以 故选A.
11．[湖北华中师范大学第一附属中学2018高一月考]水面直径为0.2 m的鱼缸的水面上飘着一块面积为0.02 m2的浮萍，则向鱼缸随机撒鱼食时，鱼食掉在浮萍上的概率为( )A．0.1 B．0.02 C．0.2 D.
由已知得水面半径r＝ ＝0.1 m，面积S＝π×0.12＝0.01π m2.则所求概率为
12．水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．
如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域．因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积为 ×20×20，所以所求的概率
13．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，以 为半径的扇形．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个地方的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．
14．[北京怀柔区2018一模]小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
3.3.1+3.3.2 刷基础
记“小波周末去看电影”为事件A，则 ；记“小波周末去打篮球”为事件B，则 .因为点到圆心的距离大于 与点到圆心的距离小于 不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，则“小波周末不在家看书”为事件A＋B.P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝
题型4 与体积有关的几何概型
15．在底面半径为1，高为2的圆柱内随机取一点P，则点P到圆柱下底面圆心O的距离大于1的概率为( )
到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图．则点P到点O的距离大于1的概率故选C.
16．在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，则蜜蜂落入第二实验区的概率为_________．
记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B.依题意可知，所以蜜蜂落入第二实验区的概率为 .
17．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC< VS－ABC的概率是________．
设正三棱锥S－ABC的高为h，设SA，SB，SC的中点分别为E，F，G，则当点P在过SA，SB，SC的中点构成的平面EFG内运动时，满足VP－ABC＝ VS－ABC，因此当点P在几何体EFG－ABC内运动时，满足VP－ABC< VS－ABC.由于S△EFG＝S△ABC，所求概率
题型5 均匀随机数的产生
18．[湖北华中师范大学第一附属中学2019高二期末]把[0，1]内的均匀随机数x分别转化为[0，2]和[－2，1]内的均匀随机数y1，y2，需实施的变换分别为( )A．y1＝－2x，y2＝－3x＋2 B．y1＝－4x，y2＝－6x＋4C．y1＝2x，y2＝3x－2 D．y1＝4x，y2＝6x－2
将[0，1]内的随机数x转化为[0，2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设y1＝2x＋b1(b1是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x＝ 时，y1＝1，所以1＝2× ＋b1，解得b1＝0，因此x与y1的关系为y1＝2x.将[0，1]内的随机数x转化为[－2，1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的3倍，因此设y2＝3x＋b2(b2是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x＝ 时，y2＝－ ，所以－ ＝3× ＋b2，解得b2＝－2，因此x与y2的关系为y2＝3x－2.故选C.
19．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率
很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
20．[福建南平2019高二期末]如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( )A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32
由题意可估计出黄豆在椭圆内的概率 又 解得S椭圆＝24×0.68＝16.32.故选C.
21．[湖北安陆一中2019高二摸底]为测算图中阴影图案的面积，向边长为2的正方形内随机投掷1 000个点，经过试验恰有450个点落在阴影图案内，根据试验结果可估计阴影图案的面积为( )
向正方形内随机投掷1 000个点，相当于1 000个点均匀分布在正方形内，而有450个点落在阴影图案内，可得投入阴影图案的概率为 ，所以估计阴影图案的面积为 故选A.
22．由于计算器不能直接产生[a，b]区间上的均匀随机数，只能通过线性变换得到：如果x是[0，1]区间上的均匀随机数，则[a＋(b－a)x]就是[a，b]区间上的均匀随机数．据此，[0，1]区间上的均匀随机数0.8对应于[3，5]区间上的均匀随机数为________．
因为x是[0，1]区间上的均匀随机数，则[a＋(b－a)x]就是[a，b]区间上的均匀随机数，所以[0，1]区间上的均匀随机数0.8对应于[3，5]区间上的均匀随机数为3＋(5－3)×0.8＝4.6.
易错点 几何度量(长度、角度、面积或体积)的选择错误
23．在AB＝4，AD＝2的长方形ABCD内任取一点M，则∠AMD＞90°的概率为( )
如图，若∠AMD＞90°，则点M位于阴影半圆内，对应的面积 则对应的概率 故选A.
3.3.1+3.3.2 刷易错
本题中由于点M在矩形ABCD内部，因此基本事件为平面图形的面积，所以应是面积之比而不是角度之比．
24．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM>AC的概率是( )
设AC＝BC＝a，则AB＝a.在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM>AC)＝P(AM>AC′)= ，即AM>AC的概率为 .
25．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为________．
当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形， 当∠ACM<67.5°时，AM
1．[重庆八中2019高二月考]在区间[1，10]上任取一个实数x，则满足2x≤8的概率为( )
由已知在区间[1，10]上任取一个实数x，对应集合的区间长度为9.由2x≤8，解得x≤3，对应区间长度为2，所以所求概率为 .故选B.
3.3.1+3.3.2 刷提升
2．[山东济宁2018高一检测]如图，在正方形围栏内均匀地撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )
设事件A表示小鸡正在正方形的内切圆中，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积．由几何概型的概率公式可得 即小鸡正在正方形的内切圆中的概率是 .
3．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，点B在x轴正半轴上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠BOT内的概率是( )
记“射线OA落在∠BOT内”为事件M，射线OA落在平面直角坐标系的每个位置的可能性是一样的．因为周角是360°，∠BOT＝60°，所以
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜ 的概率为( )
5．[湖南张家界2019高一期末]如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以大圆半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
由题意知，大圆的面积S＝ π·22＝4π，阴影部分的面积S′＝ π·22－π·12＝π，则所求的概率 故选D.
6．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )
∵a，b使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，∴Δ≥0，∴a2＋b2≥π.又试验发生时包含的所有事件Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}，∴由几何概型的概率公式得
7．[江西南昌十中2019高一月考]七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千馀．体物肖形，随手变幻．盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
设题图中最小的等腰直角三角形的面积为t，由题图可知大正方形的面积为16t，由几何概型中的面积型可得此点取自阴影部分的概率为 故选A.
8．[重庆八中2019高一月考]小明和小波约好在周日下午4：00－5：00之间在某处见面，并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟．则小明和小波两人能见面的概率为( )
设小明到达时间为x，小波到达时间为y，x，y∈(0，1)，则由题意可得 画出图像如图所示，可得阴影部分面积与正方形的面积的比值为 由几何概型中的面积型可得小明和小波两人能见面的概率为 故选C.
9．[河南郑州2019高一期末]如图所示，在△ABC内随机选取一点P，则△PBC的面积不超过四边形ABPC面积的概率是( )
当△PBC的面积等于四边形ABPC面积时，△PBC的面积是△ABC面积的一半，此时点P在三角形ABC的中位线上，如图所示．当点P在中位线下方时，满足“△PBC的面积不超过四边形ABPC面积”．根据面积比等于相似比的平方可知 所以根据几何概型概率计算公式得 故选D.
10．在正方形ABCD中，E是边BC的中点，在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是________．
11.如图，半径为5 cm的圆形纸板内有一个相同圆心且半径为1 cm的小圆区域，现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为________．
记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A.硬币要落在纸板内，硬币圆心到纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π.硬币与小圆无公共点也就意味着硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2 cm，以纸板的圆心为圆心，作一个半径为2 cm的圆，硬币的圆心在此圆外时，硬币与半径为1 cm的小圆无公共点，此半径为2的圆的面积是4π.所以硬币与小圆有公共点的概率为 硬币与小圆无公共点的概率
12．已知正方形ABCD的边长为1，如图所示．(1)在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；(2)用芝麻颗粒将正方形均匀铺满，经清点，发现芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD内，请据此估计圆周率π的近似值．(精确到0.001)
(1)如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内(阴影部分)，由几何概型概率计算公式得 ∴事件“|AM|≤1”发生的概率为 (2)正方形内的56粒芝麻颗粒中有44粒落在扇形BAD内，频率为 用频率估计概率，由(1)知 即π的近似值为3.143.
13．[卓越联盟2014自主招生]已知0
3.3.1+3.3.2 刷素养
题型1 几何概型的理解
3.3.1+3.3.2 刷基础
1．下列关于几何概型的说法错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．
2．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．A．1 B．2 C．3 D．4
①不是几何概型，虽然区间[－10，10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10，10]和[－1，1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的机会是相等的，故满足无限性和等可能性．故选B.
题型2 与长度（角度）有关的几何模型
3．[北京丰台区2019高一期末]在区间[0，9]内随机取一个实数x，则x∈[0，3]的概率为( )A． B． C． D．
在区间[0，9]内随机取一个实数x，区间长度为9，且x∈[0，3]的区间长度为3，所以x∈[0，3]的概率为 ＝ .故选C
4．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A． B． C． D．
设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，8：20至8：30之间时，小明等车时间不超过10分钟，故P＝ ＝ .故选B.
5．已知A是圆心为O的圆周上的一定点，若在圆周上另取一点B，则∠AOB≤60°的概率为( )A． B． C． D．
由题意知所求概率P＝ ＝ ，故选C.
6．[黑龙江牡丹江2019高二期末]已知函数f(x)＝ －x－6，在区间[－6，4]内任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为( )A． B． C． D．
由f(x)≥0得(x－3)(x＋2)≥0，故x≥3或x≤－2.由－6≤x0≤4，得－6≤x0≤－2或3≤x0≤4，故使f(x0)≥0的概率P＝ ＝ .
7．[云南师范大学附属中学2019月考]小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的一个路口，红灯的时间为35秒，绿灯的时间为40秒．某天早上小明从家步行到学校，他在这个路口等待通过的时间不超过20秒的概率是( )A． B． C． D．
记“小明在这个路口等待通过的时间不超过20秒”为事件A，则P(A)＝ ＝ .故选D.
题型3 与面积有关的几何模型
8．某人向图中的靶子上射箭，假设每次射击都能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，则最容易射中阴影区的是( )
由题意，设图中每个等边三角形的面积为1，则正六边形的面积为6.选项A，阴影面积为2，射中阴影区的概率为 ；选项B，阴影面积为3，射中阴影区的概率为 ；选项C，阴影面积为2，射中阴影区的概率为 ；选项D，阴影面积为2.5，射中阴影区的概率为 .因为 所以最容易射中阴影区的是选项B.故选B.
9．[河南2019高一期末]如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3∶2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块．在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为( )
设大圆半径为3r，则小圆半径为2r，则整个圆形的面积S＝9πr2，白色部分的面积S白＝ ×4πr2＝2πr2.则所求概率 故选B.
10．[重庆巴蜀中学2019高二半期考]圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米(米的大小忽略不计)，那么该粒米落入正方形小孔内的概率为( )
设事件A为“该粒米落入正方形小孔内”．因为正方形小孔的面积为16平方毫米，铜钱加正方形小孔的面积为64π平方毫米，所以 故选A.
11．[湖北华中师范大学第一附属中学2018高一月考]水面直径为0.2 m的鱼缸的水面上飘着一块面积为0.02 m2的浮萍，则向鱼缸随机撒鱼食时，鱼食掉在浮萍上的概率为( )A．0.1 B．0.02 C．0.2 D.
由已知得水面半径r＝ ＝0.1 m，面积S＝π×0.12＝0.01π m2.则所求概率为
12．水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．
如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域．因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积为 ×20×20，所以所求的概率
13．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，以 为半径的扇形．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个地方的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．
14．[北京怀柔区2018一模]小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
3.3.1+3.3.2 刷基础
记“小波周末去看电影”为事件A，则 ；记“小波周末去打篮球”为事件B，则 .因为点到圆心的距离大于 与点到圆心的距离小于 不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，则“小波周末不在家看书”为事件A＋B.P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝
题型4 与体积有关的几何概型
15．在底面半径为1，高为2的圆柱内随机取一点P，则点P到圆柱下底面圆心O的距离大于1的概率为( )
到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图．则点P到点O的距离大于1的概率故选C.
16．在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，则蜜蜂落入第二实验区的概率为_________．
记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B.依题意可知，所以蜜蜂落入第二实验区的概率为 .
17．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC< VS－ABC的概率是________．
设正三棱锥S－ABC的高为h，设SA，SB，SC的中点分别为E，F，G，则当点P在过SA，SB，SC的中点构成的平面EFG内运动时，满足VP－ABC＝ VS－ABC，因此当点P在几何体EFG－ABC内运动时，满足VP－ABC< VS－ABC.由于S△EFG＝S△ABC，所求概率
题型5 均匀随机数的产生
18．[湖北华中师范大学第一附属中学2019高二期末]把[0，1]内的均匀随机数x分别转化为[0，2]和[－2，1]内的均匀随机数y1，y2，需实施的变换分别为( )A．y1＝－2x，y2＝－3x＋2 B．y1＝－4x，y2＝－6x＋4C．y1＝2x，y2＝3x－2 D．y1＝4x，y2＝6x－2
将[0，1]内的随机数x转化为[0，2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设y1＝2x＋b1(b1是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x＝ 时，y1＝1，所以1＝2× ＋b1，解得b1＝0，因此x与y1的关系为y1＝2x.将[0，1]内的随机数x转化为[－2，1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的3倍，因此设y2＝3x＋b2(b2是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x＝ 时，y2＝－ ，所以－ ＝3× ＋b2，解得b2＝－2，因此x与y2的关系为y2＝3x－2.故选C.
19．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率
很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
20．[福建南平2019高二期末]如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( )A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32
由题意可估计出黄豆在椭圆内的概率 又 解得S椭圆＝24×0.68＝16.32.故选C.
21．[湖北安陆一中2019高二摸底]为测算图中阴影图案的面积，向边长为2的正方形内随机投掷1 000个点，经过试验恰有450个点落在阴影图案内，根据试验结果可估计阴影图案的面积为( )
向正方形内随机投掷1 000个点，相当于1 000个点均匀分布在正方形内，而有450个点落在阴影图案内，可得投入阴影图案的概率为 ，所以估计阴影图案的面积为 故选A.
22．由于计算器不能直接产生[a，b]区间上的均匀随机数，只能通过线性变换得到：如果x是[0，1]区间上的均匀随机数，则[a＋(b－a)x]就是[a，b]区间上的均匀随机数．据此，[0，1]区间上的均匀随机数0.8对应于[3，5]区间上的均匀随机数为________．
因为x是[0，1]区间上的均匀随机数，则[a＋(b－a)x]就是[a，b]区间上的均匀随机数，所以[0，1]区间上的均匀随机数0.8对应于[3，5]区间上的均匀随机数为3＋(5－3)×0.8＝4.6.
易错点 几何度量(长度、角度、面积或体积)的选择错误
23．在AB＝4，AD＝2的长方形ABCD内任取一点M，则∠AMD＞90°的概率为( )
如图，若∠AMD＞90°，则点M位于阴影半圆内，对应的面积 则对应的概率 故选A.
3.3.1+3.3.2 刷易错
本题中由于点M在矩形ABCD内部，因此基本事件为平面图形的面积，所以应是面积之比而不是角度之比．
24．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM>AC的概率是( )
设AC＝BC＝a，则AB＝a.在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM>AC)＝P(AM>AC′)= ，即AM>AC的概率为 .
25．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为________．
当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形， 当∠ACM<67.5°时，AM
1．[重庆八中2019高二月考]在区间[1，10]上任取一个实数x，则满足2x≤8的概率为( )
由已知在区间[1，10]上任取一个实数x，对应集合的区间长度为9.由2x≤8，解得x≤3，对应区间长度为2，所以所求概率为 .故选B.
3.3.1+3.3.2 刷提升
2．[山东济宁2018高一检测]如图，在正方形围栏内均匀地撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )
设事件A表示小鸡正在正方形的内切圆中，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积．由几何概型的概率公式可得 即小鸡正在正方形的内切圆中的概率是 .
3．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，点B在x轴正半轴上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠BOT内的概率是( )
记“射线OA落在∠BOT内”为事件M，射线OA落在平面直角坐标系的每个位置的可能性是一样的．因为周角是360°，∠BOT＝60°，所以
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜ 的概率为( )
5．[湖南张家界2019高一期末]如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以大圆半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
由题意知，大圆的面积S＝ π·22＝4π，阴影部分的面积S′＝ π·22－π·12＝π，则所求的概率 故选D.
6．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )
∵a，b使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，∴Δ≥0，∴a2＋b2≥π.又试验发生时包含的所有事件Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}，∴由几何概型的概率公式得
7．[江西南昌十中2019高一月考]七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式，多至千馀．体物肖形，随手变幻．盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
设题图中最小的等腰直角三角形的面积为t，由题图可知大正方形的面积为16t，由几何概型中的面积型可得此点取自阴影部分的概率为 故选A.
8．[重庆八中2019高一月考]小明和小波约好在周日下午4：00－5：00之间在某处见面，并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟．则小明和小波两人能见面的概率为( )
设小明到达时间为x，小波到达时间为y，x，y∈(0，1)，则由题意可得 画出图像如图所示，可得阴影部分面积与正方形的面积的比值为 由几何概型中的面积型可得小明和小波两人能见面的概率为 故选C.
9．[河南郑州2019高一期末]如图所示，在△ABC内随机选取一点P，则△PBC的面积不超过四边形ABPC面积的概率是( )
当△PBC的面积等于四边形ABPC面积时，△PBC的面积是△ABC面积的一半，此时点P在三角形ABC的中位线上，如图所示．当点P在中位线下方时，满足“△PBC的面积不超过四边形ABPC面积”．根据面积比等于相似比的平方可知 所以根据几何概型概率计算公式得 故选D.
10．在正方形ABCD中，E是边BC的中点，在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是________．
11.如图，半径为5 cm的圆形纸板内有一个相同圆心且半径为1 cm的小圆区域，现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为________．
记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A.硬币要落在纸板内，硬币圆心到纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π.硬币与小圆无公共点也就意味着硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2 cm，以纸板的圆心为圆心，作一个半径为2 cm的圆，硬币的圆心在此圆外时，硬币与半径为1 cm的小圆无公共点，此半径为2的圆的面积是4π.所以硬币与小圆有公共点的概率为 硬币与小圆无公共点的概率
12．已知正方形ABCD的边长为1，如图所示．(1)在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；(2)用芝麻颗粒将正方形均匀铺满，经清点，发现芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD内，请据此估计圆周率π的近似值．(精确到0.001)
(1)如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内(阴影部分)，由几何概型概率计算公式得 ∴事件“|AM|≤1”发生的概率为 (2)正方形内的56粒芝麻颗粒中有44粒落在扇形BAD内，频率为 用频率估计概率，由(1)知 即π的近似值为3.143.
13．[卓越联盟2014自主招生]已知0
3.3.1+3.3.2 刷素养
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