北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数2 函数2.1 函数概念导学案

2.2.1 函数的概念

【教学目标】

重点、难点

1、理解函数的概念；（重点）

2、会求函数的定义域；（重点）

3、在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题。（难点）

学科素养

1、通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养；

2、通过求函数的定义域、值域等问题，提升学生的数学运算核心素养。

【知识清单】

1. 函数的有关概念

 一般地，给定两个    实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的      实数x，按照对应关系f，在集合B中都有     的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：              。

其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合               ，称为函数的值域．

2. 函数的三要素

                  ，            ，            

3.同一个函数

   如果两个函数表达式表示的函数          相同，       也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．

【基础过关】

1．下列三个说法：

①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；

②若f(x)＝5(x∈R)，则f(π)＝5一定成立；

③函数就是两个集合之间的对应关系．

其中正确说法的个数为(　　)

A．0　 　 　　B．1　 　 　　C．2　 　 　　D．3

2.如图可作为函数y＝f(x)的图像的是(　　)

【经典例题】

题型一 函数的概念

【例1】下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)

①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；

②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；

③A＝R，B＝R，f：x→y＝；

④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝.

题型二 求函数的定义域

【例2】求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝；  (2)f(x)＝＋；  (3)f(x)＝＋x0＋；

题型三  求函数值

【例3】已知f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x＋1

(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；（2）求f(g(3))的值

题型三  判断是否为同一个函数

【例4】下列各组函数：

①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；

③f(x)＝·，g(x)＝；④f(x)＝，g(x)＝x＋3.

其中表示同一个函数的是________(填上所有同一个函数的序号)．

【课堂达标】

1．若f(x)＝，则f(3)＝(　　)

A．2　　　　　　　　　　　 B．4

C．2   D．10

2．下列图象表示函数图象的是(　　)

3.下列四组函数中，表示相等函数的一组是(　　)

A．f(x)＝|x|，g(x)＝   B．f(x)＝，g(x)＝()2

C．f(x)＝，g(x)＝x＋1    D．f(x)＝·，g(x)＝.

4.已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

5.函数的图象与直线的公共点数目是（    ）

A．1 B．0 C．0或1 D．1或2

6.（多选题）已知，则下列结论正确的是(    )

A． B． C．   D．

7．已知，则______________.

8．若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________.

9.已知函数f(x)＝－.

(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．

【能力提升】

1．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与  D．与

2．函数的定义域为(    )

A．且 B．且 

C．                    D．

3．已知函数的定义域为，则的定义域为（  ）

A． B． C． D．

4．已知函数，若，则实数（    ）

A． B． C．2 D．9

5．下列函数中，不满足：的是（ ）

A． B． C． D．

6．（多选题）下列说法正确的是（    ）

A．函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应

B．函数的定义域和值域可以是空集

C．函数的定义域和值域一定是数集

D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了

E.函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了

7．（多选题）下列各组函数表示不同函数的是（    ）

A．，B．，

C．，D．，

E.，

8．若函数的定义域为[－2，2]，则函数的定义域为 ______．

9．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.

①，；

②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

③，；

④，.

10．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是________.

11．已知函数

（1）求函数的定义域；（2）求的值；

（3）求的值（其中且）.

12．已知函数.

（1）求，的值；

（2）求证：是定值；

（3）求的值．

13．(1)已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x2＋1)的定义域.

(2)已知函数f(2x2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.

【参考答案】

【知识清单】

1. 非空，每一个，唯一确定，y＝f(x)，x∈A，{y∈B|y＝f(x)，x∈A}

2.定义域，对应关系，值域

3.定义域，对应关系

【基础过关】

1.(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素；

②正确．因为f(x)＝5，这个数值不随x的变化而变化，所以f(π)＝5；

③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．

2.观察图像可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图像．D中图像是函数图像．

【经典例题】

例1、答案：②　

解析：对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．

例2、[解析]　(1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，

即f(x)的定义域为.

(2)要使f(x)有意义，则⇒x≥－1且x≠2，

即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．

(3)要使f(x)有意义，则

解得x≥－4且x≠0，x≠－2，

即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．

例3、[解析]　(1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，f(a)＝a2－4a＋2，

f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.

(2)g(3)＝3＋1＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.

例4、【答案】　(1)B　(2)③

解析：

①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.

②对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝.

③定义域、对应关系都相同．

④对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.

综上，只有③中两个函数表示同一个函数．

[课堂达标]

1．答案：A.

【解析】

因为f(x)＝，所以f(3)＝＝2.

2．答案：C　

【解析】

根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．

3.答案：A

【解析】

　A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．

4.B

【解析】

【分析】

直接代入化简求解即可.

【详解】

解：因为，所以．

故选：B

【点睛】

此题考查由已知函数的解析式求复合函数的解析式，属于基础题.

5.C

【解析】

【分析】

根据函数概念即可判断选择.

【详解】

由函数概念得：对应定义域内每一个自变量有且仅有一个函数值与之对应，

即当在定义域内时，函数的图象与直线的交点有且仅有一个，

当不在定义域内时，函数的图象与直线没有交点，

所以函数的图象与直线的公共点数目是0或1，

故选：C

【点睛】

本题考查函数概念，考查基本分析判断能力，属基础题.

6.BD

【解析】

【分析】

利用换元法求出的解析式，再对选项进行一一验证，即可得答案.

【详解】

令，∴.

∴.

故选：BD.

【点睛】

本题考查换元法求函数的解析式、函数值的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

7.8

【解析】

【分析】

先用换元法求出函数解析式，再计算函数值．

【详解】

，则，代入得：

，∴，

∴．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查求函数解析式，求函数值，解题方法是换元法．另解：令，则，∴．

8．

【解析】

【分析】

将代入计算，再将代入即可得结果.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数值的求解，属于基础题.

9.【解析】

(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为：

[－4，1)∪(1，＋∞)．

(2)f(－1)＝－＝－3－.

f(12)＝－＝－4＝－.

【能力提升】

1．B

【解析】

试题分析：取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B.

考点：函数图像．

2．A

【解析】

【分析】

由公路上行驶的汽车，每个行驶的时间，都有唯一的速度对应，结合函数的概念，即可求解.

【详解】

由题意，公路上行驶的汽车，每个行驶的时间，都有唯一的速度，

所以两个变量“时间”与“速度”之间是函数关系.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了函数概念及其应用，其中解答中熟记函数的基本概念，合理判定是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3．（1）距离地面的高度，温度；（2）t＝﹣6h+20；（3）﹣22℃

【解析】

【分析】

（1）由于温度是随高度的变化而变化的，所以自变量是距离地面的高度，因变量是温度，

（2）由表中的数据可知，高度每增加1千米，温度降低6℃，所以两个变量之间是一次函数的关系，所以利用待定系数法求解函数关系式；

（3）直接用（2）中得到的关系式求解

【详解】

（1）由图可知，

表中自变量是距离地面的高度，因变量是温度，

（2）设t＝kh+b，

则，   得，

即h与t关系是：t＝﹣6h+20；

（3）当h＝7时，t＝﹣6×7+20＝﹣22（℃）．

所以距离地面7千米的高空温度是﹣22℃

【点睛】

此题考查了两变量间的关系，属于基础题.

4．（1）随着单价的提高，日销售量在减少，销售单价每提高1元，日销售量减少40桶，销售单价与日销售量之间为函数关系；（2）单价确定为11.5元，获得最大利润为1490元.

【解析】

【分析】

（1）由销售单价与日销售量的表格可知，销售单价与日销量成函数关系；
（2）先求解出日销售量与销售单价的函数关系式，再列出利润关于的解析式，然后确定利润最值及利润最大时销售单价的值.

【详解】

（1）随着单价的提高，日销售量在减少，销售单价每提高1元，日销售量减少40桶，销售单价与日销售量之间为函数关系；

（2）设销售单价为元，获得的利润为元.设日销售量满足：，

由图表可知，日销售量为：，解得，，

即，

根据题意得，

即

当时， 

所以单价确定为11.5元，获得最大利润为1490元.

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用问题，考查学生处理问题分析问题的能力，难度一般.解答时，关键在于列出利润关于销售单价的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解最值.

5．（1）共行驶了22分钟，期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；（2）函数关系式，发12分钟时车速为20千米/小时.

【解析】

【分析】

（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶时间，以及最大速度和车速为20千米/小时的时间点，得到答案；

（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，设为，根据表中的数据列出方程组，即可求得速度与时间的函数关系式，进而得到答案.

【详解】

（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶了分钟，

期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；

（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，速度与时间是一次函数关系，

设为，

由图表中的数据，可得当时，，当时，，

代入得，解得，

所以速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式：，其中

当时，即，解得，即出发12分钟时车速为20千米/小时.

【点睛】

本题主要考查了一次函数的解析式的求解，以及函数的图象的识别与应用，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题.