2022年广东省初中学业水平考试模拟卷（3）卷
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（共25题，共120分）
一、选择题（共10题，共30分）
- （3分）已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是
A．图象必经过点
B．图象位于第二、四象限
C．若 ，则
D．在每一个象限内， 随 值的增大而增大
- （3分）已知实数 ，（其中 ）满足 ，，则 的值是
A． 或 B． 或
C． D．
- （3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A． B． C． D．
- （3分）如图，在边长为 的正方形 中，当第 次作 ，第 次作 ；第 次作 ， 依次方法继续作垂直线段，当作到第 次时，所得的最小的三角形的面积是
A． B． C． D．
- （3分）如图，，则 ，，， 满足的数量关系是
A． B．
C． D．
- （3分）如图所示，在 中，，．将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 交 于点 ．已知 ，则 等于
A． B． C． D．
- （3分）如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 次从原点运动到点 ，第 次接着运动到点 ，第 次接着运动到点 ， 按这样的运动规律，经过第 次运动后，动点 的坐标是
A． B． C． D．
- （3分）如图，在 中，，， 平分 交 于 ， 于 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 为 中点，则 ，其中正确的结论有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
- （3分）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则
A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于
C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于
- （3分）下列命题中是真命题的是
A．同位角相等
B．有两边及一角分别相等的两个三角形全等
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．垂直于半径的直线是圆的切线
二、填空题（共7题，共28分）
- （4分）如图，在直线上摆放着三个等边三角形：，，，已知 ，， 分别是 ， 的中点，， 设图中三个平行四边形的面积依 ，，，若 ，则 ．
- （4分）如图，三角形纸片 中，点 ，， 分别在边 ，， 上，，．将这张纸片沿直线 翻折，点 与点 重合，若 ，，则四边形 的面积为 ．
- （4分）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范围为 ．
- （4分）永定塔是北京园博会的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博会全貌．如图，在 处测得 ，在 处测得 ，并测得 米，那么永定塔的高 约是 米．（，结果保留整数）．
- （4分）如图，在 中，点 在边 上， 与 的边 ， 分别相切于 ， 两点，与边 交于点 点，弦 与 平行，与 的延长线交于点 ．若点 是 的中点，，则 的长为 ．
- （4分）对某条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位：）：，，，若用 作为这条线段长度的近以值，当 时， 最小．对另一条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位：）：，，，，若用 作为这条线段长度的近似值，当 时， 最小．
- （4分）在平面直角坐标系 中，点 ，以 为半径在第一象限内作圆弧 ，连接 ，，圆心角 ，点 为弧 的中点， 为半径 上一动点，点 关于直线 的对称点为 ，若点 落在半径 上，则点 的坐标为 ；若点 落在半径 上，则点 的坐标为 .
三、解答题（共8题，共62分）
- （6分）如图， 是 经过某种变换得到的图形，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
(1) 分别写出点 与点 ，点 与点 ，点 与点 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征．
(2) 若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ， 的值．
- （6分）用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
- （6分）已知：如图，点 ， 在 上，，，．求证：．
- （8分）华联超市预购进 两种品牌书包共 个．已知两种书包的进价和售价如下表所示．设购进 种书包 个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为 元．
(1) 求 关于 的函数关系式；
(2) 如果购进两种书包的总费用不超过 元，那么商场如何进货才能获利最大？并求出最大利润．（提示：利润 售价 进价．）
- （8分）在矩形 中，点 在 上，，，将三角板的直角顶点放在点 处，三角板的两直角边分别能与 ， 边相交于点 ，，连接 ．
(1) 如图，当点 与点 重合时，点 恰好与点 重合，求此时 的长；
(2) 将三角板从（1）中的位置开始，绕点 顺时针旋转，当点 与点 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
① 的大小是否发生变化？请说明理由；
②求从开始到停止，线段 的中点所经过的路线长．
- （8分）如图 ，四边形 中，，我们知道，取 边的中点 ，连 并延长交 的延长线于点 ，显然有 ，则 ，请你根据以上结论解决下面的问题．
(1) 如图 ，已知锐角 内有一定点 ，过点 作一条直线 ，使得 分别交射线 ， 于点 ，．将直线 绕着点 旋转，请问当直线 在什么位置时， 的面积最小，并说明理由．
(2) 如图 ，在直角坐标系中，，，，，过点 的直线 与四边形 的一组对边相交，将它分成两个四边形，求其中以点 为顶点的四边形的面积的最大值．
- （10分）如图，已知在直角梯形 中，， 轴于点 ．，．动点 从 点出发，沿 轴正方向以每秒 个单位长度的速度移动．过 点作 垂直于直线 ，垂足为 ，设 点移动的时间为 秒 ， 与直角梯形 重叠部分的面积为 ．
(1) 求经过 ，， 三点的抛物线解析式．
(2) 求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(3) 将 绕着点 顺时针旋转 ，是否存在 ，使得 的顶点 或 旋转后的对应点在拋物线上？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
- （10分）在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．
(1) 如图 ，取点 ，则点 到直线 的距离为多少？
(2) 如图 ，点 是反比例函数 在第一象限上的一个点，过点 分别作 ，作 ，记 到直线 的距离为 ，问是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
(3) 如图 ，若直线 与抛物线 相交于 轴上方两点 ，（ 在 的左边）．且 ，求点 到直线 的距离最大时，直线 的解析式．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】C
【解析】A、当 时，，所以点 在函数 的图象上，所以A选项的结论正确，不符合题意；
B、反比例函数 分布在第二、四象限，所以B选项的结论正确，不符合题意；
C、若 ，则 ，所以C选项的结论正确，符合题意；
D、在每一个象限内， 随着 的增大而增大，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：C．
【知识点】反比例函数的增减性
2. 【答案】B
【解析】 ，，
解关于 ， 的一元二次方程可以得到 ，，
，
，
，
或 ．
故选：B．
【知识点】公式法
3. 【答案】D
【解析】
解不等式①得，，
解不等式②得，．
不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
【知识点】常规一元一次不等式组的解法
4. 【答案】B
【解析】 四边形 是正方形，边长为 ，
，正方形的面积为 ，
第 次作 ，
则最小 的面积 ；
第 次作 ，
最小 的面积 ；
第 次作 ，
最小 的面积 ；
，
依此类推，作到第 次时最小三角形的面积 ．
【知识点】用代数式表示规律
5. 【答案】C
【知识点】内错角相等、同旁内角互补
6. 【答案】C
【解析】由旋转不改变图形的形状和大小可知 ，
所以 ．
由勾股定理得 ，
所以 ．
因为将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
【知识点】相似三角形的性质与判定、旋转
7. 【答案】D
【解析】分析图象可以发现，点 的运动每 次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
所以 ，
当第 循环结束时，点 位置在 ，在此基础之上运动三次到 ．
【知识点】平面直角坐标系及点的坐标
8. 【答案】D
【解析】① ，，
，
，
即 ，故①确；
② ，
，故②正确；
③作 ，
则 ，
平分 ，
，
，
，
故③正确；
④若 为 中点，
则 ，
，，
，
，
故④正确，
故选D．
【知识点】两角分别相等
9. 【答案】D
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得出，把代入求出即可．
【解析】解：，，
，
，
是直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于．
【知识点】三角形的内角和
10. 【答案】C
【解析】【分析】根据平行线的性质对进行判断；根据三角形全等的判定方法对进行判断；根据平行线的判定对进行判断；根据切线的判定对进行判断．
【解析】解：、两直线平行，同位角相等，故错误；
、两边和夹角相等的两个三角形全等，故错误；
、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确；
、垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
【知识点】命题的真假
二、填空题（共7题，共28分）
11. 【答案】
【知识点】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形、等边三角形三个角相等，都等于60°
12. 【答案】
【解析】由题意易知 是 的中位线，
，
由折叠可知 ，
又 ，
是等边三角形，
，
由折叠的性质及 可得 ，
，
在 中，，，
，
．
【知识点】折叠问题
13. 【答案】
【解析】
① ②，得 ，即 ，
，
，解之得 ．
【知识点】常规一元一次不等式的解法
14. 【答案】
【解析】 ，，
，，
，
设 ，
在 中，
，
，
，
，
即永定塔的高 约为 ．
【知识点】测高
15. 【答案】
【解析】连接 ，，设 交 于 ．
与 相切于点 ，
于 ．
．
，
．
．
点 是 的中点；
，
，
是 的中点，
垂直平分 ，
，
是等边三角形，
，
， 分别是 的切线，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
的半径为 ．
【知识点】切线的性质、切线长定理
16. 【答案】 ；
【解析】（）整理 得：，
设 ，
由二次函数的性质可知：当 时，函数有最小值，
即：当 时， 的值最小．
（）整理 得：，
设 ，
由二次函数性质可知：
当 时， 有最小值，
即：当 时， 的值最小．
【知识点】二次函数的最值
17. 【答案】，；，
【解析】（1）当点 与点 重合时，点 的坐标为 ；
当点 在 上（与 不重合时），如图，连接 .
，， .
在 中，得 ，
．
．
的坐标为 ．
(2)当点 与点 重合时，点 落在 点 ．点 的坐标为 ；
当点 在 上（与 不重合时)，如图.
连接 ，．
．
，
．
由①知，．
．
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ．
点 为 ．
【知识点】图形成轴对称、30度所对的直角边等于斜边的一半、弧、弦、圆心角的关系定理
三、解答题（共8题，共62分）
18. 【答案】
(1) 由图象可知，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ；对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数．
(2) 由（）可知，，，解得 ，．
【知识点】坐标平面内图形的旋转变换
19. 【答案】
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【知识点】常规一元一次不等式的解法
20. 【答案】，
．
在 和 中，
．
．
【知识点】边角边
21. 【答案】
(1)
(2) 该商场购进 书包 个， 书包 个时，能获得最大利润 元．
【知识点】一次函数的解析式、一次函数的应用
22. 【答案】
(1) 在矩形 中，
因为 ，，，
所以 ，．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ，即 ．
所以 ．
(2) ① 的大小不变．
理由：过点 作 于点 ，如图．
因为 ，
所以 ，四边形 是矩形．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．
在 中，
因为 ，
所以 的大小不变．
②取 的中点 ，连接 ，，，如图．
因为 ，点 为 的中点，
所以 ，
所以点 在线段 的垂直平分线上．
如图，
当点 在点 处时，点 在 的中点 处；
当点 在点 处时，点 在 的中点 处．
根据三角形中位线定理得 ．
所以从开始到停止，线段 的中点 所经过的路线长 为 ．
【知识点】正切、矩形的性质、两角分别相等、圆周角定理及其推理
23. 【答案】
(1) 如图 ，当直线旋转到 时， 最小．
理由：设过点 的另一条直线 交 ， 于点 ，，
设 ，过点 作 交 于 ，
由题目结论可得 ，
，
，
当 时， 最小．
(2) ①如图 ，过点 的直线 与 ， 分别交于点 ，，
延长 ， 交于点 ，
当 时， 的面积最小，
四边形 的面积最大，
设直线 的解析式为 ，把 代入，可得 ，
，
， 的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
，，
；
②如图 ，过点 的直线 与 ， 分别交于 ，，延长 交 轴于点 ，
当 时， 的面积最小，
四边形 的面积最大，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，
可得 ，，
，
，
， 的纵坐标为 ，
的纵坐标为 ，
，，
，
，
以点 为顶点的四边形的面积的最大值为 ．
【知识点】一次函数与四边形的综合、坐标平面内图形的面积、一般三角形面积公式、平行线间的距离
24. 【答案】
(1) 设抛物线解析式为 ，
将 ， 点坐标代入得出：
解得：
故经过 ，， 三点的抛物线解析式为：．
(2) ①当 时，重叠部分为 ，过点 作 轴于点 ，如图 ．
在 中，，．
在 中，，．
，
．
②当 时，设 交 于点 ，重叠部分为梯形 ，作 轴于点 ，如图 ．
，
四边形 是等腰梯形，
．
．
③当 时，设 交 于点 ，交 于 点，重叠部分为五边形 ，如图 ．
，，
．
和 都是等腰直角三角形，
，
(3) 存在，当点 在抛物线上时，．当点 在抛物线上时，．
【解析】
(3) 将 绕着点 顺时针旋转 ，
此时 ，，
①当点 在抛物线上时，，
解得：．
②当点 在抛物线上时，，
解得：．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的解析式
25. 【答案】
(1) 如图 ，设直线 与 轴， 轴的交点为点 ，点 ，过点 作 ，
直线 与 轴， 轴的交点为点 ，点 ，
点 ，点 ，且点 ，
，，，
，
，
，
，
点 到直线 的距离为 ．
(2) 设点 ，，
，，
，
，，，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，（舍去），，（舍去），
点 ．
(3) 如图 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设点 ，点 ，
，
，且 ，
，且 ，
，
，
，
，
直线 与抛物线 相交于 轴上方两点 ，，
， 是方程 的两根，
，，
，
，
，
直线 过定点 ，
当 时，点 到直线 的距离最大，
设直线 的解析式为 ，
解得
直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ．
【知识点】解直角三角形、一次函数与一元一次方程的关系、二次函数与方程、两角分别相等、反比例函数系数k的几何意义
2022长沙初中学业水平考试模拟数学B卷： 这是一份2022长沙初中学业水平考试模拟数学B卷，共4页。
2022长沙初中学业水平考试模拟数学A卷： 这是一份2022长沙初中学业水平考试模拟数学A卷，共4页。
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