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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式课文内容ppt课件
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2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离1.探索平面上点到直线的距离公式,了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.3.初步掌握用解析法研究几何问题.1 | 距离公式1.点到几种特殊直线的距离公式(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.2.两条特殊平行直线间的距离两条垂直于x轴的直线x=a,x=b的距离d=|a-b|;两条垂直于y轴的直线y=a,y=b的距离d=|a-b|.2 | 距离公式的特殊情况1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . ( ✕ )提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .3.直线外一点与直线上任一点间距离的最小值就是点到直线的距离. ( √ )提示:由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短,知结论成立,这是点到 直线距离的代数特征.4.连接两条平行直线上两点,即得两平行直线间的距离. ( ✕ )提示:两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长,并不是两平行直线 上任意两点间的距离,故结论不正确.5.两平行直线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也能看作是两条直线上各取一点的最短距离.( √ )提示：由两条平行直线间距离的定义知结论正确.1 | 点到直线的距离公式及其应用 计算点到直线的距离的步骤 应用点到直线的距离公式的注意事项(1)当点在直线上时,点到该直线的距离为0,点到直线的距离公式仍然适用.(2)点到直线的距离公式对于直线方程中A=0或B=0时的情况仍然适用.(3)在应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式. 已知正方形中心的坐标为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在直 线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.思路点拨根据所求的三边中有一边所在直线与直线x+3y-5=0平行,另两边所在直线与直线 x+3y-5=0垂直,并结合正方形的中心到四条边所在直线的距离相等解题.解析 由 得正方形的中心的坐标为(-1,0).设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在直线的方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5).由点(-1,0)到两直线l、l1的距离相等,得 = ,解得c=7或c=-5(舍去),∴l1:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线均与l垂直,∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,∴ = = ,解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0. 两条平行直线间距离的求法(1)当直线的方程为一般式时,可利用两条平行直线间的距离公式,其步骤如下: 解题时必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等,若不相等,则先将系数化为相2 | 两条平行直线间距离公式的应用等,再代入公式.(2)当直线的方程为斜截式时,l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2,则d= .(3)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点 到另一条直线的距离. 两条平行直线间距离的应用已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般先设 出直线方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.也可以把两平行直线间的距 离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题,然后利用点到直线 的距离公式求解. (1)直线l1:3x+4y-5=0关于l:3x+4y+1=0的对称直线l2的方程为 ;(2)已知△ABC的两顶点A,B在直线l1:2x-y+3=0上,点C在直线l2:2x-y-1=0上.若△ ABC的面积为2,则AB边的长为 .思路点拨(1)l1关于和它平行的直线l对称的直线l2满足条件:①l1∥l2,②l1、l2与直线l间的距 离相等;(2)因为两直线l1与l2平行,所以l2上的点C到l1的距离即为以AB为底时三角形的高.3x+4y+7=0 解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间 的距离,则 = ,解得d=7或d=-5(舍去).故直线l2的方程为3x+4y+7=0.(2)已知直线l1:2x-y+3=0,直线l2:2x-y-1=0,可知l1∥l2,两平行直线间的距离d= = ,根据三角形的面积公式得 × ×|AB|=2,解得|AB|= . 常见距离公式的应用问题的解题策略(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题.用数形结合的思想方法解决与点到直线的距离有关的最值问题的方法:一般地,形如 的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离,所以解决相关的最值问题时,可应用数形结合思想,借助两点间的距离公式,将其转化为点 到直线的距离或两平行线之间的距离.(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.3 | 与距离有关的最值问题 (1)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则 的最小值为 ( C )A. B. C.1 D. (2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,则 的最小值为 .解析 (1)设P(m,n),Q(a,b),则|PQ|= .依题意,P,Q两点分别在直线l1:3x+4y-6=0与l2:3x+4y-1=0上,则直线l1与l2平行,所以|PQ|的最小值就是两平行直线间的距离d,又d= =1,所以 的最小值为1,故选C.(2) = ,设P(x,y),A(-1,0),则 表示点P与点A之间的距离.又点P(x,y)在直线l:2x+y+3=0上,所以 的最小值即为点A到直线l的距离d,又d= = ,故所求最小值为 .
2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离1.探索平面上点到直线的距离公式,了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.3.初步掌握用解析法研究几何问题.1 | 距离公式1.点到几种特殊直线的距离公式(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.2.两条特殊平行直线间的距离两条垂直于x轴的直线x=a,x=b的距离d=|a-b|;两条垂直于y轴的直线y=a,y=b的距离d=|a-b|.2 | 距离公式的特殊情况1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . ( ✕ )提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .3.直线外一点与直线上任一点间距离的最小值就是点到直线的距离. ( √ )提示:由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短,知结论成立,这是点到 直线距离的代数特征.4.连接两条平行直线上两点,即得两平行直线间的距离. ( ✕ )提示:两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长,并不是两平行直线 上任意两点间的距离,故结论不正确.5.两平行直线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也能看作是两条直线上各取一点的最短距离.( √ )提示：由两条平行直线间距离的定义知结论正确.1 | 点到直线的距离公式及其应用 计算点到直线的距离的步骤 应用点到直线的距离公式的注意事项(1)当点在直线上时,点到该直线的距离为0,点到直线的距离公式仍然适用.(2)点到直线的距离公式对于直线方程中A=0或B=0时的情况仍然适用.(3)在应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式. 已知正方形中心的坐标为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在直 线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.思路点拨根据所求的三边中有一边所在直线与直线x+3y-5=0平行,另两边所在直线与直线 x+3y-5=0垂直,并结合正方形的中心到四条边所在直线的距离相等解题.解析 由 得正方形的中心的坐标为(-1,0).设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在直线的方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5).由点(-1,0)到两直线l、l1的距离相等,得 = ,解得c=7或c=-5(舍去),∴l1:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线均与l垂直,∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,∴ = = ,解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0. 两条平行直线间距离的求法(1)当直线的方程为一般式时,可利用两条平行直线间的距离公式,其步骤如下: 解题时必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等,若不相等,则先将系数化为相2 | 两条平行直线间距离公式的应用等,再代入公式.(2)当直线的方程为斜截式时,l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2,则d= .(3)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点 到另一条直线的距离. 两条平行直线间距离的应用已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般先设 出直线方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.也可以把两平行直线间的距 离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题,然后利用点到直线 的距离公式求解. (1)直线l1:3x+4y-5=0关于l:3x+4y+1=0的对称直线l2的方程为 ;(2)已知△ABC的两顶点A,B在直线l1:2x-y+3=0上,点C在直线l2:2x-y-1=0上.若△ ABC的面积为2,则AB边的长为 .思路点拨(1)l1关于和它平行的直线l对称的直线l2满足条件:①l1∥l2,②l1、l2与直线l间的距 离相等;(2)因为两直线l1与l2平行,所以l2上的点C到l1的距离即为以AB为底时三角形的高.3x+4y+7=0 解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间 的距离,则 = ,解得d=7或d=-5(舍去).故直线l2的方程为3x+4y+7=0.(2)已知直线l1:2x-y+3=0,直线l2:2x-y-1=0,可知l1∥l2,两平行直线间的距离d= = ,根据三角形的面积公式得 × ×|AB|=2,解得|AB|= . 常见距离公式的应用问题的解题策略(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题.用数形结合的思想方法解决与点到直线的距离有关的最值问题的方法:一般地,形如 的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离,所以解决相关的最值问题时,可应用数形结合思想,借助两点间的距离公式,将其转化为点 到直线的距离或两平行线之间的距离.(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.3 | 与距离有关的最值问题 (1)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则 的最小值为 ( C )A. B. C.1 D. (2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,则 的最小值为 .解析 (1)设P(m,n),Q(a,b),则|PQ|= .依题意,P,Q两点分别在直线l1:3x+4y-6=0与l2:3x+4y-1=0上,则直线l1与l2平行,所以|PQ|的最小值就是两平行直线间的距离d,又d= =1,所以 的最小值为1,故选C.(2) = ,设P(x,y),A(-1,0),则 表示点P与点A之间的距离.又点P(x,y)在直线l:2x+y+3=0上,所以 的最小值即为点A到直线l的距离d,又d= = ,故所求最小值为 .
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