人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课文内容ppt课件

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1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题学习目标1.理解空间角、空间距离的概念.2.会用向量法求空间角.3.会用向量法求空间距离.1 | 用空间向量研究距离 1.直线外一点到直线的距离 如图,直线l的单位方向向量为u,设 =a,则向量 在直线l上的投影向量 =①　(a·u)u    .在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离PQ= =②         . 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ= = =③         .2 | 用空间向量研究空间角1.直线与平面所成的角α和该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余.(    ✕　)提示:当直线的方向向量与平面的法向量的夹角β是锐角时,直线与平面所成的角α和其互余.2.若一条直线在某一平面外,则该直线上任一点到平面的距离d必为一个正数. (    ✕　)提示:直线在平面外也有可能与平面相交.当直线与平面相交时,该说法不成立.3.平面的斜线与平面所成的角是锐角. (　√　)判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .4.若两个平面的法向量分别为n1,n2,则这两个平面的夹角与两个法向量的夹角一定相等. (    ✕　)提示:也可能互补.5.设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点B到α的距离d= .     （ ✕　）提示:当A在平面内,B在平面外时结论才正确.1 | 用空间向量研究距离问题 用向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法.(2)直接套用点线距公式求解.注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.点面距的求解步骤:(1)过已知点求出平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.两条异面直线之间的距离也可以转化为点到平面的距离.　　已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.思路点拨思路一:(1)先建立合适的空间直角坐标系,再作DH⊥平面PEF,垂足为H,由线面垂直关系求得 的坐标,从而求出 的模,即点D到平面PEF的距离;(2)设AH'⊥平面PEF,求出| |即可.思路二:(1)求出平面PEF的法向量n,利用公式d= 求点D到平面PEF的距离;(2)由AC∥平面PEF,将直线AC到平面PEF的距离转化为点A到平面PEF的距离求解.解析    解法一:(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E ,F ,∴ = , = , =(0,0,1).作DH⊥平面PEF,垂足为H,则 =x +y +z = ,其中x+y+z=1, = , = ,∵ · =x+ y+  -z= x+y-z=0.同理, · =x+ y-z=0,又x+y+z=1,∴x=y= ,z= .∴ = ,∴| |= .因此,点D到平面PEF的距离为 .(2)设AH'⊥平面PEF,垂足为H',则 ∥ ,由(1)知 = ,所以设 =λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),则 = + = +(2λ,2λ,3λ)= .∵ · =4λ2+4λ2-λ+9λ2=0,∴λ= .∴ = (2,2,3)= ,| |= .又AC∥平面PEF,∴AC到平面PEF的距离为 .解法二:(1)由解法一建立的空间直角坐标系知 = , = , = ,设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),则 ⇒ 解得 令x=2,则n=(2,2,3),∴点D到平面PEF的距离d= = = .(2)∵AC∥平面PEF,∴直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离.又 = ,∴点A到平面PEF的距离d= = = .∴直线AC到平面PEF的距离为 . 利用向量法求空间角时,要注意空间角的范围与向量夹角范围的区别.1.两异面直线所成角的向量求法(1)基底法:在一些不适合建立坐标系的题中,我们经常用基底法.在由公式cos= 求向量a、b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a、b用一个基底表示出来,再求有关的量.(2)用坐标法求异面直线的夹角的方法:①建立恰当的空间直角坐标系;②找到两条异面直线的方向向量并写出其坐标形式;③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;2 | 利用空间向量求空间角④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.2.求直线与平面的夹角的方法与步骤方法一:求出直线在平面内的射影的方向向量,将直线与平面的夹角转化为两向量夹角计算.方法二:利用平面的法向量求直线与平面的夹角,基本步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量 ;(3)求平面的法向量n;(4)计算:设线面角为θ,则sin θ= .3.两个平面夹角的向量求法设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角,用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量n1,n2;(3)计算:cos θ= .　　如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,对角线AC,BD交于点O,OA=8,OB=6,OP=8,OP⊥底面ABCD,设点M满足 =λ (0