高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例当堂达标检测题

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平面向量应用举例编稿：丁会敏　　审稿：王静伟【学习目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）。（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）。（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式。（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。（4）夹角问题：利用公式。要点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积。（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。【典型例题】类型一：向量在平面几何中的应用例1．如下图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P。求证：BP⊥CD。     【思路点拨】将向量和用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成的问题。【解析】设，正三角形ABC的边长为a，则。又，，∴。∴。于是有，解得。∴，，∴，，从而，即，故BP⊥CD。【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示。当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知。举一反三：【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例3】【变式1】平面内△ABC及一点O满足，，则点O是△ABC的（    ）A．重心   B．垂心   C．内心   D．外心【答案】D【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________. 【答案】1  1 【解析】==1=             =             =           （F是E点在上的投影）                 当F与C点重合时，上式取到等号。例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。求证：AF=AE。     【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量和，证明=。【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则，。因为BE∥AC，即，所以x+y―1=0。又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。由，得，即。又设F（x＇，1），由和共线，得，解得，所以。所以，。所以。所以AF=AE。【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。举一反三：类型二：向量在解析几何中的应用例3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且，求动点P的轨迹方程。【思路点拨】设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程。【答案】【解析】设P，则 由得：即化简得。【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。举一反三：【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。（1）求直线DE、EF、FD的方程；（2）求AB边上的高CH所在直线的方程。【答案】（1）x―y+2=0  x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），设M（x，y）是直线DE上任意一点，则。，。∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，即x―y+2=0为直线DE的方程。同理可求，直线EF，FD的方程分别为x+5y+8=0，x+y=0。（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则。∴。又，。∴4(x+6)+4(y―2)=0，即x+y+4=0为所求直线CH的方程。【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。类型三：向量在物理学中“功”的应用例4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m / s2） 【答案】   ―22 【解析】 设木块的位移为s，则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×（J）。F在竖直方向上的分力的大小为。则（N）。则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）。即F与f所做的功分别是J与―22 J。【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。举一反三：【变式1】三个力F1=i+j，F2=4i―5j，F3作用于同一质点，使该质点从点A（20，15）平移到点B（7，0），其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，求该过程中，（1）F1，F2分别对质点做的功；（2）F1，F2的合力对质点做的功。【答案】（1）―28，23；（2）―5 【解析】。（1）F1做的功，F2做的功。（2）F=F1+F2=5i―4j，故合力F做的功W=F·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―13）+（―4）×（―15）=―5。类型四：向量在力学中的应用例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G。两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为。（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；（2）求F1的最小值；（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围。【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大。（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为。（3）由题意，，∴，即。由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，∴∈[0°，120°]为所求。【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释。举一反三：【变式1】两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（   ）A、40N     B、   C、     D、【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.【解析】对于两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N时，这二个力的大小都是N，对于它们的夹角为时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是，这样就会错选答案D.类型五：向量在速度中的应用例6．某人骑摩托车以20 km / h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40 km / h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向及风速的大小。【答案】东北方向  【解析】设a表示车的速度20 km / h，在无风时，此人感受到风速度为―a，实际风速为b时，此人所感受到的风速为b―a，如图，令，，实际风速为b。因为，所以，这就是当车的速度为20 km / h时，人感受到的由正南方向吹来的风速。因为，所以，这就是当车的速度为40 km / h时，人感到的风速，由题意得∠CBD=45°，CA⊥BD，BA=AD，所以△BCD为等腰三角形，CB=CD，∠CDA=45°，∠ACD=45°，所以CD=CB=DA=。所以km / h，b的方向是东北方向。答：实际风向是东北方向，风速的大小为km / h。【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用。此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考。在本题中，人感到的风速在无风时与车速a互为相反向量，当实际风速为b时，此人感受到的风速是b―a，这一点要搞清，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法。举一反三：【变式1】在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。【答案】   北偏西60°【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，。所以，。从而，∠CAD=30°。所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°。