高中数学《直接证明与间接证明》文字素材4 新人教A版选修1-2

直接证明与间接证明教材精析 在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.　　一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.　　1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.　　其推理方式可用框图表示为：  　　其中表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，表示中间结论．　　综合法常用的表达格式为：，；　　又，；，；又，．　　2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.　　其推理方式可用框图表示为：　　  　　其中表示要证明的结论，分别表示使成立的充分条件，表示最后寻求到的一个明显成立的条件．　　分析法常用的表达格式为：　　要证，只需证，只需证，，只需证，由于显然成立，所以成立．　　综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.　　二、反证法是间接证明的一种基本方法.　　对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.　　简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“”“”．　　用反证法证题的格式一般为：　　假设不成立，若，，则，这与已知（定义、公理、定理等）相矛盾，　　∴假设不成立，成立．　　1．综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错.　　2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论.　　例1　求证．　　错证：，　　，，　　，，显然原不等式成立．　　错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了.　　正：只需将“∵”改为“要证”，“∴” 改为“只需证”.　　3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书例3）.一般是先用综合法由已知条件P推出一个中间结论M，再用分析法探求，发现M正是使所要证结论Q成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q成立的充分条件M，再用综合法由已知条件P推出M.证明过程用框图2表示.          或        例2  教科书中对例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.　　证明：要证，　　只需证， 　　即证　　即证，　　即证　　　③．　　另一方面，因为，所以将已知中的①②代入上式，　　即得与③相同，于是问题得证．　　4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.　　5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.　　例3  证明不可能成等差数列．　　证明（一）：假设成等差数列，即，下面（用分析法）证明．　　要证，　　只需证，　　即证，即证，　　即证，而该式显然成立，　　故，这与假设相矛盾，　　所以假设不成立，从而不成等差数列．　　证明（二）：假设成等差数列，即，下面（用综合法）证明．　　，，，　　即，　　即，　　，这与假设相矛盾，故假设不成立，从而不成等差数列．