高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算教学设计及反思

高中数学④2．1～2．2教材解读

　　一、平面向量的基本概念

　　1．向量

　　既有大小、又有方向的量叫做向量．

　　注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可．

　　2．向量的表示

　　①用一个小写字母表示向量，如a，b等．

　　②用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为，注意起点写在前面、终点写在后面．

　　3．向量的模

    向量的大小，称作向量的长度（或称模），记作．

注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小．

4．零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作0．

注：①0；②零向量的方向是任意的．

5．单位向量

长度等于１个单位的向量，叫做单位向量．

6．平行向量

　　方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a，b平行，记作．

　　注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．

　　7．相等向量

　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作．

　　注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；④；反之不成立．

　　8．相反向量

    与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作．

　　注：①a与互为相反向量；②；③相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立．

二、平面向量的线性运算

　　１．向量的加法运算

　　（1）向量的和：已知向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作，即．

　　（2）向量的加法：求两个向量和的运算．

　　（3）对于零向量与任一向量a，有．

　　（4）向量的加法满足交换律与结合律，即，．

　　（5）向量加法运算的几何意义：

　　①向量加法的三角形法则：如图1，根据定义，；②向量加法的平行四边形法则：如图2，以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作，则以A为起点的对角线就是a与b的和．

　　注：①向量加法的三角形法则，既适用于两向量不共线，也适用于两向量共线．而平行四边形法则只适用于两向量不共线，当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性．因此两种法则都应熟练掌握．

　　②两个向量的和仍是一个向量．

　　1°．当向量a与b不共线时，的方向与a，b都不相同，且；

2°．当向量a与b同向时，，a，b都同向，且；

3°．当向量a与b反向时，若，则的方向与相同，且；若，则的方向与b相同，且；若，则．总之，一般地，若．

2．向量的减法运算

（1）向量a与b的差：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，即．

（2）向量的减法：求两个向量差的运算．

（3）向量减法运算的几何意义：如图3，已知向量a，b，在平面内任取一点，作，，则，即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量．（可简记为：共起点，连两终点，指向被减向量的终点）．

注：①两个向量的差仍是一个向量；②要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别；③由向量的加、减法，可以得出两个常用的结论：

1．首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链

时，各向量的和为，即：．

2．平行四边形中，有，．

3．向量的数乘运算

（１）向量的数乘：实数与向量的积是一个向量，它的长度与方向规定如下：

①；

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反．特别地，当时，．

　　（2）设为实数，为向量，则有

　　①；

　　②（第一分配律）；

　　③（第二分配律）；

　　特别地，有；

　　．

　　注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量，以及任意实数，恒有．

　　4．向量共线的条件

　　如果与共线，那么有且只有一个实数，使．即，（唯一确定）．

　　注：①．否则且时，就不存在了；②此条件是由向量的数乘运算推出的，常用它证明几何中的三点共线和两直线平行的问题．但要注意直线平行与向量平行的区别．