高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算课时训练

第二章　平面向量

2.2　平面向量的线性运算

2.2.1　向量加法运算及其几何意义

2.2.2　向量减法运算及其几何意义

基础过关练

题组一　向量的加法运算

1.化简++=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.0 C. D.0

2.(2020上海三林中学高二上段考)若a+b+c=0,则a,b,c(　　)

A.一定可以构成三角形

B.都是非零向量时能构成三角形

C.一定不可以构成三角形

D.都是非零向量时也可能无法构成三角形

3.(2020浙江高一月考)如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则++=(　　)

A.0 B.0 C. D.

4.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是(　　)

A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定

5.如图,已知向量a,b,c,则下列结论正确的是(　　)

A.a+b=c B.a+b=-c C.a+c=b D.b+c=a

题组二　向量的减法运算

6.可以写成①+;②-;③-;④-.其中正确的是(　　)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

7.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a-b的方向(　　)

A.与a的方向相同 B.与a的方向相反

C.与b的方向相同 D.无法确定

8.若||=8,||=5,则||的取值范围是(　　)

A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)

题组三　向量加、减法的综合运算

9.(2019湖南高一期末)化简+-的结果是(　　)

A. B. C. D.

10.已知下列不等式和等式:

①|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|;②|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|;

③|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|;④|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|.

其中,一定不成立的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

11.(2019河北高一期中)化简+--.

12.(2019河南高考模拟)在矩形ABCD中,||=2,||=4,求|+-|.

13.如图,点O在▱ABCD外,已知=a,=b,=c,请用a,b,c表示.

能力提升练

一、选择题

1.(2019山东高一期末,★★☆)如图,在矩形ABCD中,O是两条对角线AC,BD的交点,则+-=(　　)

A. B. C. D.

2.(2019宁夏银川一中高一下期中,★★☆)在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(　　)

A.||=||一定成立         B.=+一定成立        C.=一定成立            D.=-一定成立3.(2020山东枣庄高一下期中,★★☆)下列四个式子中不能化简为的是(　　)

A.(+)+           B.(+)+(+)            C.(+)-           D.(-)+

4.(★★☆)化简以下各式:①++;②-+;③++-.

结果为零向量的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.0

5.(2020福建闽侯四中高一上期末,★★☆)已知向量a与b反向,则下列等式中成立的是(　　)

A.|a|-|b|=|a-b| B.|a+b|=|a-b|         C.|a|+|b|=|a-b| D.|a|+|b|=|a+b|

6.(★★☆)一条河的两岸平行,河水由西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸.已知船的速度|v1|=20 km/h,水流速度|v2|=10 km/h,要使该船行驶的航程最短,则船速v1的方向与河的南岸上游的夹角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

二、填空题

7.(★★☆)化简(-)-(-)的结果是　          　　. 

8.(★★☆)如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有　　　　.(填序号) 

①;②;③;④;⑤+;⑥-;⑦+.

三、解答题

9.(★★☆)如图所示,O为△ABC内一点,直线AO交BC于点D,直线BO交CA于点E,直线CO交AB于点F,=a,=b,=c,=d,=e,=f.连接DE,EF,FD,试用a,b,c,d,e,f表示下列向量.

(1);     (2);    (3)-;       (4)+;       (5)-.

10.(★★☆)用向量法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.

答案全解全析

第二章　平面向量

2.2　平面向量的线性运算

2.2.1　向量加法运算及其几何意义

2.2.2　向量减法运算及其几何意义

基础过关练

1.B　++=(+)+=+=0.故选B.

2.D　∵a+b+c=0,∴a,b,c都是非零向量且不共线时可以构成一个三角形,而共线时不能构成三角形.

故选D.

3.A　∵+=,=-,∴++=+=0.故选A.

4.B　因为|+|=||,|+|=||,所以平行四边形ABCD的对角线相等,故为矩形.故选B.

5.B　根据题图可知,a+b与c反向且模相等,所以a+b=-c.同理c+a=-b,b+c=-a.故选B.

6.D　①+=,②-=+≠,③-=,④-=.故选D.

7.A　由题意得当a、b反向时,a-b的方向与a的方向相同;当a、b同向时,∵|a|>|b|,∴a-b的方向仍与a的方向相同.

8.C　=-,当,同向共线时,||=||-||=3;当,反向共线时,||=||+||=13;

当,不共线时,由|||-|||<|-|<||+||,可得3<||<13.综上,||的取值范围是[3,13].

9.A　+-=-=+=.故选A.

10.A　①当a与b不共线时成立;②当b=0时成立;③当a与b共线,方向相反,且|a|≥|b|时成立;④当a与b共线,且方向相同时成立.故一定不成立的个数是0.

11.解析　+--=+-(+)=+-=+=.

12.解析　在矩形ABCD中,因为+-=++=2,所以|+-|=2||=2=4.

13.解析　由题意可得=+=+,因为=-,所以=+-=a+c-b.

能力提升练

一、选择题

1.B　+-=-=.故选B.

2.A　在平行四边形ABCD中,因为AB与AD的长度不确定,所以||=||不一定成立;由向量加法的平行四边形法则知=+一定成立;由平行四边形的性质知AD?BC且与同向,所以=一定成立;由向量减法的几何意义知=-一定成立.故选A.

3.C　选项A,(+)+=++=+=;选项B,(+)+(+)=+++=+(+)=+0=;选项C,(+)-=++=2+;选项D,(-)+=+=.所以选项C不能化简为.故选C.

4.C　①++=+=0;

②-+=+-=-=0;

③++-=+=0.

结果为零向量的个数是3.故选C.

5.C　因为向量a与b反向,所以|a-b|=|a|+|b|,|a+b|=||a|-|b||.故选C.

6.C　设船的实际速度为v,则v=v1+v2,记v1与v的夹角为θ,要使船行驶的航程最短,

则v⊥v2,所以sin θ==,解得θ=30°,所以船速v1的方向与河的南岸上游的夹角为60°.故选C.

二、填空题

7.答案　0

解析　(-)-(-)=--+=+++=(+)+(+)=+=0.

8.答案　①

解析　由题图可得-+=+=,故①符合题意;由正六边形的性质,结合题图可得向量,,与向量不相等,故②③④不符合题意;+=+=≠ ,故⑤不符合题意;-=≠,故⑥不符合题意;+=≠,故⑦不符合题意.故答案为①.

三、解答题

9.解析　(1)=-=c-a.

(2)=-=--=-d-a.

(3)-==-=--=-d-b.

(4)+=O-+-=---=b-a-f-c.

(5)-==-=-+=d-f.

10.证明　如图所示,在四边形ABCD中,已知=,=,所以=+=-+=-+=,故BA?CD.

所以四边形ABCD是平行四边形.

所以对角线互相平分的四边形是平行四边形.