高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算优秀学案

§2.2　平面向量的线性运算

2．2.1　向量加法运算及其几何意义

学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．

知识点一　向量加法的定义及其运算法则

分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．

(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000N，F2＝2000N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．

思考1　从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？

答案　后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线表示的力是与表示的力的合力．体现了向量的加法运算．

思考2　上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则？

答案　三角形法则和平行四边形法则．

梳理　(1)向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

(2)向量求和的法则

向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．

知识点二　向量加法的运算律

思考1　实数加法有哪些运算律？

答案　交换律和结合律．

思考2　根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)

答案　∵＝＋，

∴＝a＋b.

∵＝＋，∴＝b＋a.

∴a＋b＝b＋a.

思考3　根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)

答案　∵＝＋

＝(＋)＋，

∴＝(a＋b)＋c，

又∵＝＋＝＋(＋)，

∴＝a＋(b＋c)，

∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

梳理　向量加法的运算律

1．0＋a＝a＋0＝a.(　√　)

2．＋＝.(　√　)

3．＋＝0.(　√　)

4．＋>.(　×　)

5．||＋||＝||.(　×　)

类型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则

例1　如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.

(1)　　　　　　　(2)

考点　向量加法的定义及几何意义

题点　求作和向量

解　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.

(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.

反思与感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．

区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．

联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．

跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．

(1)＋＝________；(2)＋＝________；(3)＋＝________.

考点　向量加法的定义及其几何意义的应用

题点　向量加法在平面几何中的应用

答案　(1)　(2)　(3)0

类型二　向量加法运算律的应用

例2　化简：

(1)＋；(2)＋＋；

(3)＋＋＋＋.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　化简向量

解　(1)＋＝＋＝.

(2)＋＋＝＋＋

＝(＋)＋＝＋＝0.

(3)＋＋＋＋

＝＋＋＋＋

＝＋＋＋

＝＋＋

＝＋＝0.

反思与感悟　(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．

(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.

跟踪训练2　(2017·上饶高一检测)向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)

A. B.

C. D.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　化简向量

答案　D

解析　向量(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝.

类型三　向量加法的实际应用

例3　在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．

考点　向量加法的定义及其几何意义的应用

题点　向量的加法在运动学中的应用

解　作出图形，如图所示．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，

在Rt△ACD中，

||＝||＝|v水|＝10m/min，

||＝|v船|＝20m/min，

∴cosα＝＝＝，

∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．

∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进．

引申探究

1．若本例中条件不变，则经过1h，该船的实际航程是多少？

解　由例3知v船＝20m/min，v实际＝20×sin60°＝10(m/min)，

故该船1h行驶的航程为10×60＝600(m)＝(km)．

2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．

解　如图，作平行四边形ABDC，则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，

则tanα＝＝＝2.

即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.

反思与感悟　向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．

跟踪训练3　如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)

考点　向量加法的定义及其几何意义的应用

题点　向量的加法在物理学中的应用

解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则＋＝.

由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.

∴||＝||cos30°

＝10×＝5(N)，

||＝||cos60°

＝10×＝5(N)．

∴A处所受的力为5N，B处所受的力为5N.

1．化简＋＋等于(　　)

A.B.C．0D.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　化简向量

答案　D

解析　＋＋＝＋＝.

2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)

A．0 B.

C. D.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　几何图形中的向量加法运算

答案　D

解析　＋＋＝＋＋＝＋＝.

3．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　)

A．1 B.

C．3 D．2

考点　向量加法的平行四边形法则

题点　利用向量的加法求模

答案　B

解析　在正方形ABCD中，AB＝1，可知AC＝，

所以|＋|＝||＝|AC|＝.

4.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为(　　)

A．矩形

B．正方形

C．平行四边形

D．菱形

考点　向量加法的平行四边形法则

题点　判定四边形的形状

答案　C

解析　∵＝＋，

∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，

即＝，∴AB＝DC，AB∥DC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

5.如图，已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：

(1)＋；(2)＋.

考点　向量加法的定义及几何意义

题点　求作和向量

解　(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．

(2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求．

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.

一、选择题

1．化简＋＋等于(　　)

A.B.C．0D.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　化简向量

答案　D

2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　)

A.B.C.D.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　几何图形中的向量加法运算

答案　B

解析　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

3．下列说法正确的个数为(　　)

①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；

②在△ABC中，必有＋＋＝0；

③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；

④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.

A．0B．1C．2D．3

考点　向量加法的定义及几何意义

题点　向量加法的三角形不等式

答案　B

解析　①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；

②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.

4．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(　　)

A.＋＝ B.＋＝

C.＋＝ D.＋＝

考点　向量的加法运算与运算律

题点　几何图形中的向量加法运算

答案　C

解析　对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，

所以＋＝；对于D，＋≠.

5．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)

A．2B．4C．12D．6

考点　向量加法的平行四边形法则

题点　利用向量的加法求模

答案　B

解析　因为＋＝，

所以＋＋的长度为的模的2倍．

又||＝＝2，

所以向量＋＋的长度为4.

6．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)

A．正三角形 B．锐角三角形

C．斜三角形 D．等腰直角三角形

考点　向量加法的平行四边形法则

题点　判定四边形的形状

答案　D

解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形，故选D.

二、填空题

7．如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．

(1)＋＋＝________；

(2)＋＋＝________.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　几何图形中的向量加法运算

答案　(1)　(2)0

8．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　化简向量

答案　0

解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0.

9．小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.

考点　向量加法的定义及其几何意义的应用

题点　向量的加法在运动学中的应用

答案　20

解析　如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20km/h，即小船航行速度的大小为20 km/h.

10．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.

考点　向量加法的平行四边形法则

题点　利用向量的加法求模

答案　1

解析　在菱形ABCD中，连接BD，

∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，

又∵||＝1，∴||＝1，

|＋|＝||＝1.

三、解答题

11．如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12N．求F1和F2的合力大小．

考点　向量加法的定义及其几何意义的应用

题点　向量的加法在物理学中的应用

解　如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.在△OCA中，||＝24，

||＝12，∠OAC＝60°，

∴∠OCA＝90°，∴||＝12.

∴F1与F2的合力大小为12N，方向为与F2成90°角竖直向上．

12．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.

考点　向量的加法运算与运算律

题点　证明几何图形中的向量等式

证明　＝＋，＝＋，

∴＋＝＋＋＋.

∵与大小相等，方向相反，

∴＋＝0，

故＋＝＋＋0＝＋.

四、探究与拓展

13．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为____________．

考点　向量加法的平行四边形法则

题点　利用向量的加法求模

答案　[0,3]

解析　因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.

14．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________km，a＋b的方向是________．

考点　向量加法的定义及其几何意义的应用

题点　向量的加法在运动学中的应用

答案　8　北偏东45°

解析　如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.